求导法则与公式实用教案

1、2022-5-211一、问题(wnt)的提出（Introduction）1. 导数的定义0 xxy)(0 xf 000( )()limxxf xf xxx)()(0 xfxfy0 xxx0limxyx 000()()limxf xxf xx 000()()limhf xhf xh第1页/共26页第一页，共26页。2022-5-2122. 利用导数的定义(dngy)得出以下导数公式：(sin )cosxx （3）(cos )sinxx （4）()ln(0,1)xxaaaaa （5）(e )exx （6）1(log)(0,1)lnaxaaxa （7）1(ln)（8）xx ( )0C （1）1()（

2、2） xx 第2页/共26页第二页，共26页。2022-5-213但是，对于(duy)比较复杂的函数，直接(zhji)根据定义求它们的导数往往(wngwng)很困难. 例如，求下列函数的导函数：为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！第3页/共26页第三页，共26页。2022-5-214二、函数(hnsh)的和、差、积、商的求导法则定理(dngl)1 具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、积、商 (除分母(fnm)为0的点外) 都在点 x 可导,且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()

3、()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.)0)(xv第4页/共26页第四页，共26页。2022-5-215此法则(fz)可推广到任意有限项的情形.设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu例如(lr),证: （1）()uvwuvw第5页/共26页第五页，共26页。2022-5-216vuvuvu )(证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)(

4、)(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论(tuln): )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C为常数(chngsh) )（2）第6页/共26页第六页，共26页。2022-5-217)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2uu vuvvv证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )

5、(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论(jiln)成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论(tuln):2CCvvv( C为常数(chngsh) )（3）第7页/共26页第七页，共26页。2022-5-21832cosxyxax的导数(do sh). 例1 求函数答案(d n)：23ln2sinxyxaax tanyx和例2 求函数的导数. cotyx2(tan )secxx 答案(d n)：2(cot )cscxx secyx和例3 求函数的导数. cscyx(sec )sectanxxx 答案：(csc )csc cotxxx 第8页/共26页第八页，共26页。2

6、022-5-219三、反函数的求导法则(fz) )( xf定理(dngl)2 y 的某邻域(ln y)内单调可导, 证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11第9页/共26页第九页，共26页。2022-5-2110例4 求反三角函数(snjihnsh)的导数。1解: 设,arcsinxy 则si n,2 2xy yp p轾=? 犏犏臌)(arcsinx)(si

7、nyycos1y2sin11211x类似(li s)可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccoscos0y因为, 则第10页/共26页第十页，共26页。2022-5-2111四、复合函数(hnsh)的求导法则在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理(dngl)3 )(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合(fh)函数 fy ( )g x且d( )( )dyf u g xx在点 x 可导,证:)(ufy 在点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有( )

8、( )f u g xuy)(uf( )(0)yuuf uxxxx 第11页/共26页第十一页，共26页。2022-5-2112 说 明：第12页/共26页第十二页，共26页。2022-5-2113例如(lr),)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构(jigu), 由外向内逐层求导.（3） 此法则(fz)可推广到多个中间变量的情形.第13页/共26页第十三页，共26页。2022-5-21141 2exy的导数(do sh). 例5 求函数答案(d n)：11 21 22e( 12 )e(12 )xxyxxln| |,

9、yx.y求例6 设提示(tsh)：分情况讨论。答案：1(ln |)xx由此可见，即|(n)l|f x)ln(f x( )( )fxf x答案：( )( )( )( )ln ( )( ) .( )v xv xyu xv xu xu xu x第14页/共26页第十四页，共26页。2022-5-2115, )cos(lnxey 求.ddxy解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考(sko): 若)(uf 存在(cnzi) , 如何求)cos(lnxef的导数(do sh)?ddfx)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同

10、例8 设练习第15页/共26页第十五页，共26页。2022-5-2116五、基本求导法则与导数(do sh)公式1. 常数和基本初等(chdng)函数的导数 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxsinx )(tanxx2sec )(cot x2csc x )(secxxxtansec )(cscxcsc cotxx )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsinx211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x第16页/共26页第十六页，共26页。2022-5-21172. 函数(

11、hnsh)的和、差、积、商的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数(chngsh) )0( v3. 反函数的求导法则(fz)单调可导, ,)()(1的反函数为设yfxxfy1( )fyy邻在 的某域1( )0fy ，且则 )( xf1 )(1yf4. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd5. 初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数第17页/共26页第十七页，共26页。2022-5-2118若函数(hnsh)(xfy 的导数(do sh)(xfy可导,或,dd22xy即()yy 或22ddd()dddy

12、yxxx类似地 , 二阶导数(do sh)的导数(do sh)称为三阶导数(do sh) ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数 ,记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称高阶导数 第18页/共26页第十八页，共26页。2022-5-2119三、一些常见(chn jin)函数的高阶导数的求法例1 设 求解：1. 直接(zhji)法求高阶导数(do sh)就是多次接连地求导数(do sh).,yaxb,0ya yxye,xye 例2 求 的n 阶导数. ,xye ( ).nxye,解：.y第19页/共

13、26页第十九页，共26页。2022-5-2120,sin xy 求解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般(ybn)地 ,( )(sin )sin(nxx类似(li s)可证:( )(cos )cos(nxx2)n2)n例3 设2. 数学(shxu)归纳法证明高阶导数.)(ny第20页/共26页第二十页，共26页。2022-5-2121例4 设 求(),yxR解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn)()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn

14、. 0 ( ).ny若 为自然数 ，则 n第21页/共26页第二十一页，共26页。2022-5-2122内容(nirng)小结1. 掌握(zhngw)函数求导的法则四则运算(s z yn sun)的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .2.记住一些基本初等函数的导数公式3. 求高阶导数的方法第22页/共26页第二十二页，共26页。2022-5-2123思考(sko)与练习41143x1.xx1431x对吗?1423 114xx.)2(,) 1 (xbbayxay2. 求下列函数(hnsh)的导数答案(d n)：11bba byx （）2lnxbbyaa （ ）第23页/共26页第二十三页，共26页。2022-5-2124, )()()(xaxxf其中(qzhng)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确(zhngqu)解法:)(af 时, 下列做法是否(sh fu)正确?在求处连续,3. 设第24页/共26页第二十四页，共