高中全程复习方略配套选修-线性变换与矩阵运算ppt课件

1、第二节 线性变换与矩阵运算三年三年6 6考考 高考指数高考指数: :1.1.了解矩阵与矩阵的乘法的意义，了解矩阵乘法不满足交换律、了解矩阵与矩阵的乘法的意义，了解矩阵乘法不满足交换律、消去律，会验证消去律，会验证2 2矩阵乘法满足结合律矩阵乘法满足结合律. .2.2.了解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵能够不存在了解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵能够不存在. .3.3.了解逆矩阵的独一性和了解逆矩阵的独一性和(AB)-1=B-1A-1(AB)-1=B-1A-1等简单性质，了解其在等简单性质，了解其在变换中的意义变换中的意义. .4.4.了解行列式的定义，会用行列式求逆矩阵了解行列式的定义，会用行列式求逆矩阵

2、. .5.5.能用变换与映射的观念认识解线性方程组的意义，会用系数能用变换与映射的观念认识解线性方程组的意义，会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组，了解线性方程组解的存在性、独矩阵的逆矩阵解线性方程组，了解线性方程组解的存在性、独一性一性. .1.1.计算计算2 22 2矩阵的乘法，求矩阵的乘法，求2 22 2矩阵的逆矩阵、逆矩阵与线性矩阵的逆矩阵、逆矩阵与线性变换及利用逆矩阵解线性方程组是高考热点变换及利用逆矩阵解线性方程组是高考热点. .2.2.以解答题方式出现以解答题方式出现. . 1.1.线性变换的根本性质线性变换的根本性质(1)(1)定理定理1:1:设设 t,k t,k是实数，那么是实数

3、，那么A(tX1)=_A(tX1)=_；AX1+AX2= _AX1+AX2= _；A(tX1+kX2)=_.A(tX1+kX2)=_.121212xxabA,X,X,cdyyt(AX1)t(AX1)A(X1+X2)A(X1+X2)tAX1+kAX2tAX1+kAX2(2)(2)定理定理2 2：可逆的线性变换具有如下性质：可逆的线性变换具有如下性质将直线变成将直线变成_；将线段变成将线段变成_；将平行四边形变成将平行四边形变成_._.直线直线线段线段平行四边形平行四边形2.2.复合变换与矩阵乘法复合变换与矩阵乘法(1)(1)复合变换：普通地，设复合变换：普通地，设A A，B B是平面上的两个变换

4、，将平面是平面上的两个变换，将平面上每个点上每个点P P先用变换先用变换A A变到变到PP，再用变换，再用变换B B将将PP变到变到PP，那么，那么从从P P到到PP也是平面上的一个变换，称为也是平面上的一个变换，称为A A，B B的复合变换，也称的复合变换，也称为为B B与与A A的乘积，记作的乘积，记作_._.BABA(2)(2)矩阵乘法法那么：对恣意两个矩阵乘法法那么：对恣意两个2 22 2矩阵矩阵A=A=和和B= B= ，规定它们的乘积，规定它们的乘积BA=BA=矩阵的乘法不满足矩阵的乘法不满足_律与律与_律，满足律，满足_律律. .(3)(3)变换的乘法与矩阵的乘法都不满足变换的乘法

5、与矩阵的乘法都不满足_._.1111abcd2222abcd212 12121212 12121a ab ca bb d.c ad cc bd d交换交换消去消去结合结合交换律交换律 纯量矩阵纯量矩阵零矩阵零矩阵单位方阵单位方阵对角阵对角阵_k00k00001001a00b(4)(4)特殊矩阵特殊矩阵【即时运用】【即时运用】 (1) (1)思索：矩阵的乘法与实数的乘法能否完全一样？思索：矩阵的乘法与实数的乘法能否完全一样？提示：不完全一样提示：不完全一样. .矩阵的乘法与实数的乘法相比较，最重要矩阵的乘法与实数的乘法相比较，最重要的差别是，矩阵的乘法不满足交换律和消去律的差别是，矩阵的乘法不满

6、足交换律和消去律. .(2)(2)知梯形知梯形ABCD, ABCD, 其中其中A(0 , 0), B(3 , 0), C(1 , 2), D(2 , A(0 , 0), B(3 , 0), C(1 , 2), D(2 , 2), 2), 先将梯形作关于先将梯形作关于x x轴的反射变换轴的反射变换, , 再将所得图形绕原点逆再将所得图形绕原点逆时针旋转时针旋转9090, ,那么延续两次变换所对应的变换矩阵那么延续两次变换所对应的变换矩阵M=_,M=_,它的几何意义是它的几何意义是_._.【解析】由条件得【解析】由条件得 这个复合变换的几何意这个复合变换的几何意义表示将原图形沿直线义表示将原图形沿

7、直线y=xy=x翻折变换翻折变换. .答案：答案： 表示将原图形沿直线表示将原图形沿直线y=xy=x翻折变换翻折变换cos90sin901001M,sin90cos9001100110(3) =_.(3) =_.【解析】【解析】 答案：答案：1243342112431 42 21 32 185.34213 44 23 34 12013 852013(4)(4)设设 假设假设ABABBABA，那么，那么k k的值为的值为_._.【解析】【解析】 由由ABABBABA，得，得k k3.3.答案：答案：3 31242AB34k7， ，4 2k161016ABBA12 4k34k212k28，3.3.

8、逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵(1)(1)假设矩阵假设矩阵A A，B B满足满足_,_,那么称那么称A A，B B是可逆矩阵，是可逆矩阵，B B是是A A的的逆，记为逆，记为B=_B=_，反过来，反过来A=_.A=_.(2)(2)定理定理1 1：设：设A= ,A= ,记记=ad-bc,=ad-bc,那么那么A A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是_；AB=BA=EAB=BA=EA-1A-1B-1B-1abcd00当当00时，时，A-1= =ad-bcA-1= =ad-bc称为矩阵称为矩阵A A的行列式，的行列式，记作记作 , ,且且 =_. =_.矩阵矩阵A A的行列式记作的行列式记作|A

9、|A|，也记，也记作作detA.detA.(3)(3)定理定理2:2:假设假设_，那么，那么ABAB可逆，且可逆，且(AB)-1=_.(AB)-1=_.4.4.逆矩阵与二元一次方程组逆矩阵与二元一次方程组记记 假设假设A A可逆，那么方程可逆，那么方程AX=BAX=B的解的解X=_.X=_.abcdabcdad-bcad-bcA,BA,B都可逆都可逆abxeA,X,B,cdyf A-1BA-1BB-1A-1B-1A-1db.ca【即时运用】【即时运用】根据变换的几何意义，矩阵根据变换的几何意义，矩阵A= A= 的逆矩阵为的逆矩阵为_._.【解析】矩阵【解析】矩阵A A表示的变换是绕原点逆时针旋

10、转表示的变换是绕原点逆时针旋转 ，其逆变换，其逆变换是绕原点逆时针旋转是绕原点逆时针旋转- - ，它的矩阵就是所求的逆矩阵，即，它的矩阵就是所求的逆矩阵，即132231223311322A.3122答案：答案：13223122 矩阵乘法及其运用矩阵乘法及其运用【方法点睛】【方法点睛】关于矩阵的乘法运算留意的问题关于矩阵的乘法运算留意的问题(1)(1)矩阵的乘法要严厉按照乘法法那么进展，特别留意位置的对矩阵的乘法要严厉按照乘法法那么进展，特别留意位置的对应要准确应要准确. .(2)(2)对于某一向量进展多次矩阵变换时，通常先进展矩阵乘法运对于某一向量进展多次矩阵变换时，通常先进展矩阵乘法运算，使

11、多次变换转化为一次变换，再利用矩阵与向量的乘法运算，使多次变换转化为一次变换，再利用矩阵与向量的乘法运算求向量算求向量. . 【例【例1 1】(2021(2021江苏高考江苏高考) )知矩阵知矩阵A= A= ，向量，向量求向量求向量 ，使得，使得【解题指南】此题是知向量【解题指南】此题是知向量进展两次矩阵变换进展两次矩阵变换A A后后, ,变为向变为向量量 , ,故先进展矩阵的乘法故先进展矩阵的乘法, ,得得A2,A2,再利用待定系数法求向量再利用待定系数法求向量 . .112112 ，2A.【规范解答】因【规范解答】因 故设故设 = =由由 得：得：2111132A,212143xy，32x

12、143y2 ，3x2y1x11,.4x3y2y22 2A.【反思【反思感悟】感悟】1.1.解答此题的关键是计算解答此题的关键是计算A2.A2.2.2.矩阵的乘法是矩阵的根本运算，在解题中作为根底工具广泛矩阵的乘法是矩阵的根本运算，在解题中作为根底工具广泛运用于矩阵相关知识中运用于矩阵相关知识中. .【变式训练】假设【变式训练】假设 试求试求x x的值的值. .【解析】【解析】3x=1,3x=1,31x110101，31x1x1x1x0101010112x1x13x11,010101011x.3【变式备选】设数列【变式备选】设数列anan、bnbn满足满足anan1 12an2an3bn3bn，

13、bnbn1 12bn2bn，且满足，且满足 求二阶矩阵求二阶矩阵M.M.【解析】依题设有【解析】依题设有令令A A ，那么，那么M MA4A4，n4nn4naaMbb，n1nn1naa23b02b，230222422323412A.MAA0202044124121696.0404016 矩阵的乘法与线性变换矩阵的乘法与线性变换【方法点睛】【方法点睛】1.1.矩阵乘法与复合变换矩阵乘法与复合变换矩阵矩阵MNMN对应的变换是一个复合变换，变换的顺序是先进展右边对应的变换是一个复合变换，变换的顺序是先进展右边的矩阵的矩阵N N对应的变换，再进展左边的矩阵对应的变换，再进展左边的矩阵M M对应的变换，

14、留意变对应的变换，留意变换顺序不能颠倒换顺序不能颠倒. .2.2.矩阵的乘法在线性变换中的运用矩阵的乘法在线性变换中的运用当对曲线延续进展变换时，可以先进展矩阵的乘法运算，从而当对曲线延续进展变换时，可以先进展矩阵的乘法运算，从而简化变换过程简化变换过程. . 【例【例2 2】(2021(2021莆田模拟莆田模拟) )直线直线l1:x=-4l1:x=-4先经过矩阵先经过矩阵A= A= 作作用，再经过矩阵用，再经过矩阵B= B= 作用，变为直线作用，变为直线l2:2x-y=4l2:2x-y=4，求矩阵，求矩阵A.A.【解题指南】此题知变换前后的直线【解题指南】此题知变换前后的直线l1l1、l2l

15、2，矩阵，矩阵B B，故可先表，故可先表示出示出BABA，再利用待定系数法列方程组求，再利用待定系数法列方程组求m m，n.n.4mn41101【规范解答】设【规范解答】设C=BA= C=BA= 那么直线那么直线l1l1上的点上的点(x,y)(x,y)经矩经矩阵阵C C变换为直线变换为直线l2l2上的点上的点(x,y)(x,y)，那么，那么x=(n+4)x+(m-4)y,x=(n+4)x+(m-4)y,y=-nx+4yy=-nx+4y，代入，代入2x-y=42x-y=4，得，得(3n+8)x+(2m-12)y=4(3n+8)x+(2m-12)y=4与与l1:x=-4l1:x=-4比较系数得，比

16、较系数得，m=6,n=-3,A=m=6,n=-3,A=n4m4n4，46.34【互动探求】此题假设先经过矩阵【互动探求】此题假设先经过矩阵B B作用，再经过矩阵作用，再经过矩阵A A作用，作用，其他条件不变，试求矩阵其他条件不变，试求矩阵A.A.【解析】设【解析】设C=AB=C=AB=那么直线那么直线l1l1上的点上的点(x,y)(x,y)经过矩阵经过矩阵C C变换，变为直线变换，变为直线l2l2上的点上的点(x,y)(x,y)，那么那么4m1144mn401nn4，x44mxynn4y，x4x4m yynxn4 y ，代入代入2x-y=42x-y=4，得，得2 24x+(4-m)y4x+(4

17、-m)y- -nx+(n+4)ynx+(n+4)y=4=4，即即(8-n)x+(4-2m-n)y=4(8-n)x+(4-2m-n)y=4，与与l1l1：x=-4x=-4比较系数得：比较系数得：解得解得:n=9:n=9，8n142mn0 ，5m,2 54A.294【反思【反思感悟】感悟】1.1.矩阵的乘法不满足交换律即矩阵的乘法不满足交换律即ABBA.ABBA.2.2.假设知变换前后的曲线方程，求变换矩阵，普通求出变换前假设知变换前后的曲线方程，求变换矩阵，普通求出变换前或后的曲线方程，再比较系数列方程组求解或后的曲线方程，再比较系数列方程组求解. . 逆矩阵的求法及其运用逆矩阵的求法及其运用【

18、方法点睛】【方法点睛】1.1.逆矩阵的求法逆矩阵的求法(1)(1)定义法：利用定义法：利用AA-1=E,AA-1=E,待定系数法求待定系数法求A-1A-1；(2)(2)行列式法：利用公式行列式法：利用公式A-1=A-1=dbca；(3)(3)逆变换法：找出矩阵逆变换法：找出矩阵A A对应的变换的逆变换，从变换的角度对应的变换的逆变换，从变换的角度求求A-1.A-1.2.2.逆矩阵在线性变换中的运用逆矩阵在线性变换中的运用逆矩阵作为矩阵在线性变换中可以对曲线进展变换，而逆矩阵逆矩阵作为矩阵在线性变换中可以对曲线进展变换，而逆矩阵又对应特殊的变换又对应特殊的变换逆变换，因此留意逆变换在解题中的运逆

19、变换，因此留意逆变换在解题中的运用用. . 【例【例3 3】 知知A= A= 求圆求圆x2+y2=1x2+y2=1在在(AB)-1(AB)-1变换作用下的图形变换作用下的图形. .【解题指南】此题可利用几何变换的方法来求【解题指南】此题可利用几何变换的方法来求(AB)-1(AB)-1，再求知，再求知曲线经其变换后的方程，从而判别其外形曲线经其变换后的方程，从而判别其外形. .132022,B,013122【规范解答】根据题意可知，矩阵【规范解答】根据题意可知，矩阵A A表示逆时针旋转表示逆时针旋转6060的旋转的旋转变换，矩阵变换，矩阵B B表示沿表示沿x x轴方向伸长轴方向伸长2 2倍的伸缩

20、变换，从而倍的伸缩变换，从而于是于是11131cos60sin( 60 )022A,B,2sin60cos( 60 )3101221111313102244ABB A,23131012222 设设(x,y)(x,y)为为x2+y2=1x2+y2=1上恣意一点上恣意一点,(x,y),(x,y)为变换后对应的点为变换后对应的点, ,坐坐标变换公式为标变换公式为解得解得 ，代入方程，代入方程x2+y2=1,x2+y2=1,化简得化简得4x2+y2=1,4x2+y2=1,即即 ，它是一个焦点在，它是一个焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆. .13xxy4431yxy22 ，3xxy21y3xy2 22xy114【反思【反思感悟】从此题可知感悟】从此题可知(AB)-1=B-1A-1(AB)-1=B-1A-1变换是第一步实施变换是第一步实施A-A-1 1变换，此为旋转变换，