电路理论第10章含耦合电感的电路

1、第第1010章章 含有耦合电感的电路含有耦合电感的电路l重点重点 1. 1.互感、互感电压和同名端互感、互感电压和同名端 2. 2.含有互感电路的计算含有互感电路的计算 3. 3.空心变压器和理想变压器的电路模型空心变压器和理想变压器的电路模型变压器变压器变压器变压器有载调压变压器有载调压变压器小变压器小变压器调压器调压器整流器整流器牵引电磁铁牵引电磁铁电流互感器电流互感器10.1 10.1 互感互感1. 1. 互感互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器电视机中的中周线圈、振

2、荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。线圈线圈1 1中通入电流中通入电流i i1 1时，在线圈时，在线圈1 1中产生磁通中产生磁通( (magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过邻近线圈，同时，有部分磁通穿过邻近线圈2 2，这部分磁通称为，这部分磁通称为互感磁通。两线圈间有磁的耦合。互感磁通。两线圈间有磁的耦合。+u11+u21i1 11 21N1N2定义定义 ：磁链磁链 (magnetic link

3、age)， =N 当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质( (空心线圈空心线圈) )时时， 与与i 成正比成正比, ,当只有当只有一个线圈时：一个线圈时： 。为自感系数，单位亨称(H) 111111LiL 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：互磁链的代数和： 2121112111 iMiL 1212221222 iMiL 。为互感系数，单位亨、称H)( 2112MM注注（1 1）M值与线圈的形状、几何位置、空间介质有关，与值与线圈的形状、几何位置、空间介质有关，与线圈中的电流无关，满足线圈中的电流无关，满足M12=M21

4、；（2 2）L L总为正值，总为正值，M值有正有负值有正有负. .自磁链自磁链 11 = L1 i1， 互磁链互磁链 21 = M21 i1， 22 = L2 i2， 12 = M12 i22. 2. 耦合系数耦合系数 (coupling coefficient) 用耦合系数用耦合系数k 表示两个表示两个线圈磁耦合的紧密程度线圈磁耦合的紧密程度。121def LLMk当当 k=1 称全耦合称全耦合: 漏磁漏磁 s1 = s2=0即即 11= 21 ， 22 = 121)(2211211222112121221 iLiLMiMiLLMLLMk一般有：一般有：耦合系数耦合系数k与线圈的结构、相互几

5、何位置、空间磁介质有关与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关互感现象互感现象利用利用变压器：信号、功率传递变压器：信号、功率传递避免避免干扰干扰克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。当当i i1 1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。圈两端产生感应电压。 dddd111111tiLtu 当当i1、u11、u21方向与方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：应定律和楞次定律： 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压当两个

6、线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：均包含自感电压和互感电压：tiMtudd dd 12121 自感电压自感电压互感电压互感电压3. 3. 耦合电感上的电压、电流关系耦合电感上的电压、电流关系在正弦交流电路中，其相量形式的方程为在正弦交流电路中，其相量形式的方程为22122111 jjjj ILIMUIMILU 两线圈的自磁链和互磁链两线圈的自磁链和互磁链相助相助，互感电压取正，互感电压取正，否则取负。表明互感电压的正、负：否则取负。表明互感电压的正、负：（1）与电流的参考方向有关。）与电流的参考方向有关。（2）与线圈的相对位置和绕向有关。）与线圈的相对位置和绕向有

7、关。注注tiLtiMuuutiMtiLuuudd dd dd dd2212221221112111 4.4.互感线圈的同名端互感线圈的同名端对自感电压，当对自感电压，当u, i 取关联参考方向，取关联参考方向，u、i与与 符合符合右螺旋定则，其表达式为右螺旋定则，其表达式为 dddd dd 111111111tiLtNtu 上式上式 说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。出，可不用考虑线圈绕向。i1u11对互感电压，因产生该电压的电流

8、在另一线圈上，因对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的概为解决这个问题引入同名端的概念。念。tiMutiMudd dd1313112121 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。 * 同名端同名端i1+u11+u21 11 0N

9、1N2+u31N3 si2i3注意：线圈的同名端必须两两确定。注意：线圈的同名端必须两两确定。确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1) (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入( (或流出或流出) )时，两时，两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。(2) (2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。会引起另一线圈相应同名端的电位升高。i1*L1L2+_u1+_u2i2M i1122*112233* 例例引入同名端的概念后，可以用带有互感引入同名端的概念后

10、，可以用带有互感M和同名端标记的电感和同名端标记的电感L1和和L2表示耦合表示耦合电感，可见耦合电感可以看作是一个具电感，可见耦合电感可以看作是一个具有有4个端子的二端口电路元件。个端子的二端口电路元件。 同名端的实验测定：同名端的实验测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。0 , 0 22 dtdiMudtdi如图电路，当闭合开关如图电路，当闭合开关S时，时，i增加，增加， 当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。由同名端及由同名端及u、i参考方

11、向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。tiMudd121 tiMudd121 i1*u21+Mi1*u21+M注意：如果互感电压注意：如果互感电压“+”极性端子与产生它的电极性端子与产生它的电流流进的端子为一对同名端时，互感电压前应取流流进的端子为一对同名端时，互感电压前应取“+”号，反之取号，反之取“-”号。号。tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_

12、u2i2MtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2M例例写出图示电路电压和电流关系式写出图示电路电压和电流关系式10.2 10.2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算1. 1. 耦合电感的串联耦合电感的串联（1 1） 顺接串联顺接串联tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudd dd)2()( dddddddd21212211 MLLLRRR2 2121 iRLu+iM*u2+R1R2L1L2u1+u+去耦等效电路去耦等效电路（2 2）

13、 反接串联反接串联MLLLRRR2 2121 tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudddd)2()( dddddddd21212211 )(2121LLM 互感不大于两个自感的算术平均值。互感不大于两个自感的算术平均值。02 21 MLLLiM*u2+R1R2L1L2u1+u+iRLu+ 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：顺接一次，反接一次，就可以测出互感：4反反顺顺LLM 全耦合时全耦合时 21LLM 221212121)(22LLLLLLMLLL 当当 L1=L2 时时 , M=L4M 顺接顺接0 反接反接L=互感的测量方法：互感的测量方法：在正弦激励下：在正弦激

14、励下：*1 U+R1R2j L1+j L22 Uj M U I )2(j)(2121IMLLIRRU+ I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U相量图：相量图：(a) (a) 顺接顺接(b) (b) 反接反接（1） 同侧并联同侧并联tiMtiLudddd211 tiMLLMLLudd2)(21221 0 2)(21221 MLLMLLLeqi = i1 +i2 解得解得u, i 的关系：的关系：2. 2. 耦合电感的并联耦合电感的并联*Mi2i1L1L2ui+tiMtiLudddd122 等效

15、电感：等效电感：如全耦合：如全耦合：L1L2=M2当当 L1 L2 ，Leq=0 ( (物理意义不明确物理意义不明确) )L1=L2 ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变相当于导线加粗，电感不变) ) （2） 异侧并联异侧并联*Mi2i1L1L2ui+tiMtiLudddd211 i = i1 +i2 tiMtiLudddd122 tiMLLMLLudd2)(21221 解得解得u, i 的关系：的关系：等效电感：等效电感：0 2)(21221 MLLMLLLeq3.3.耦合电感的耦合电感的T T型等效型等效（1 1） 同名端为共端的同名端为共端的T T型去耦等效型去耦等效*j L1 I

16、1 I2 I123j L2j M21113 jj IMILU12223 jj IMILU 21 III j)(j11IMIML j)(j22IMIML j (L1-M) I1 I2 I123j Mj (L2-M)（2 2） 异名端为共端的异名端为共端的T T型去耦等效型去耦等效*j L1 I1 I2 I123j L2j Mj (L1M) I1 I2 I123j Mj (L2M)21113 jj IMILU 12223 jj IMILU 21 III j)(j11IMIML j)(j22IMIML *Mi2i1L1L2ui+*Mi2i1L1L2u+u+j (L1M) I1 I2 Ij Mj (L

17、2M)j (L1M)1 I2 Ij Mj (L2M)4. 4. 耦合电感的受控源等效电路耦合电感的受控源等效电路2111 IMjILjU 1222 IMjILjU *Mi2i1L1L2u+u+j L11 I2 Ij L2+2 IMj 1 IMj +2 U+1 U例例abL 求等效电感求等效电感M=3H6H2H0.5H4HabM=4H6H2H3H5HabM=1H9H2H0.5H7Hab-3HLab=5H4H3H2H1Hab3HLab=6H解解5. 5. 有互感的电路的计算有互感的电路的计算 (1) (1) 有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍

18、的 相量分析的方法均适用。相量分析的方法均适用。 (2) (2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感 电压。电压。 (3) (3) 一般采用支路法和回路法计算。一般采用支路法和回路法计算。列写下图电路的回路电流方程。列写下图电路的回路电流方程。例例1MuS+CL1L2R1R2*+ki1i1SUIIMjILjILjR )()(3231111 213MuS+CL1L2R1R2*+ki1i113132222)()(IkIIMjILjILjR 0)()()1(23132211321 IIMjIIMjILjILjICjLjLj 解解例例2 2求图

19、示电路的开路电压。求图示电路的开路电压。1I)2(313111 MLLjRUISM12+_+_SUocU* M23M31L1L2L3R1)2()( 31311312312313131123112ocMLLjRUMMMLjILjIMjIMjIMjUS解解1 1作出去耦等效电路，作出去耦等效电路，( (一对一对消一对一对消):):M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 解解2 2L1M12 +M23L2M12 M23L3+M12 M23 M13L1M12 +M23 M13

20、 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 R1 + +_SUocU1I)2(313111 MLLjRUIS )2()(3131131231230MLLjRUMMMLjUSc 10.3 10.3 耦合电感的功率耦合电感的功率 当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从耦合电感一边传输到另一边。从耦合电感一边传输到另一边。 * *j L11 I2 Ij L2j M+S

21、UR1R2例例求图示电路的复功率求图示电路的复功率 S2111 j) j(UIMILR0)j(j 2221ILRIM* *j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2*2*1S 11112 1(j)jSU IRL IMI I *221 22220j(j)SMI IRL I 线圈线圈1中中互感电压耦合的复功率互感电压耦合的复功率线圈线圈2中中互感电压耦合的复功率互感电压耦合的复功率*2 1j MI I *1 2j MI I 注意 两个互感电压耦合的复功率为虚部同号，而实两个互感电压耦合的复功率为虚部同号，而实部异号，这一特点是耦合电感本身的电磁特性部异号，这一特点是耦合电感本身的电磁特性所

22、决定的所决定的；耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功率从一个端口进入，必从另一端口输出，这是率从一个端口进入，必从另一端口输出，这是互感互感M非耗能特性的体现。非耗能特性的体现。*1 22 1I II I 与互为共轭复数，实部同号，虚部异号；互为共轭复数，实部同号，虚部异号；但乘以但乘以j后则变为虚部同号，实部异号。后则变为虚部同号，实部异号。耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影响、性质是相同的，即，当响、性质是相同的，即，当M

23、起同向耦合作用起同向耦合作用时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感中的磁能增加；当中的磁能增加；当M起反向耦合作用时，它的起反向耦合作用时，它的储能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减储能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减少。少。 具体说明请参看教材具体说明请参看教材P263例例10-6和和10-7。10.4 10.4 变压器原理变压器原理*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jX 变压器由两个具有互感的线圈绕在一个共同的芯子变压器由两个具有互感的线圈绕在一个共同的芯子上构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压上构成，一个

24、线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。其芯子为铁磁材料，当变压器线圈的芯或信号的器件。其芯子为铁磁材料，当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。子为非铁磁材料时，称空心变压器。1. 1. 变压器电路模型变压器电路模型原边回路原边回路副边回路副边回路2. 2. 分析方法分析方法（1 1） 方程法分析方程法分析*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jXS2111 j-) j( UIMILR 0)j(j2221 IZLRIM令令 Z11=R1+j L1， Z22=

25、(R2+R)+j( L2+X)回路方程：回路方程：S2111 j- UIMIZ 0j2221 IZIM )(22211S1 ZMZUI 222111Sin)( ZMZIUZ 1122211S2222211S2)(1j)(j ZMZZUMZZMZUMI 1 I+S UZ11222)(ZM原边等效电路原边等效电路2 I+oc UZ22112)(ZM副边等效电路副边等效电路（2 2） 等效电路法分析等效电路法分析lllXRXRXMXRRMXRMZMZjj j)(22222222222222222222222222222 Zl= Rl+j Xl2222222222XRRMRl 2222222222XR

26、XMXl 11in2 , , 0ZZI 即副边开路即副边开路当当1 I+S UZ11222)(ZM副边对原边的引入阻抗。副边对原边的引入阻抗。引入电阻。引入电阻。恒为正恒为正 , 表示副边回路表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。吸收的功率是靠原边供给的。引入电抗。引入电抗。负号反映了引入电负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反。抗与付边电抗的性质相反。原边等效电路原边等效电路引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来

27、这个电流又影响原边电流电压。副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。从能量角度来说从能量角度来说 : :电源发出有功电源发出有功 P= I12(R1+Rl)I12R1 消耗在原边；消耗在原边；I12Rl 消耗在付边，由互感传输。消耗在付边，由互感传输。11Soc jZUMU 112)(ZM原边对副边的引入阻抗。原边对副边的引入阻抗。利用戴维宁定理可以求得利用戴维宁定理可以求得空心变压器副边的等效电路空心变压器副边的等效电路 。 副边开路时，副边开路时， 原边电流在副边产原边电流在副边产 生的互感电压。生的互感电压。2 I+oc UZ22112)(ZM副边等效电路副边等效电路（3 3）

28、去耦等效法分析去耦等效法分析 对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电路，再进行分析。路，再进行分析。已知已知 US=20 V , 原边引入阻抗原边引入阻抗 Zl=10j10 .求求: ZX 并求负载获得的有功功率并求负载获得的有功功率.101010j42222jZZMZXl 8 . 9 j2 . 010200)1010(41010104 jjjjZX此时负载获得的功率：此时负载获得的功率： W101010202 lRRPP）（引引 W104 , *2S11 RUPZZl实际是最佳匹配：实际是最佳匹配：解：解：* *j10 2 Ij10 j2+S U

29、10 ZX+S U10+j10 Zl=10j10 例例1解解L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2=0.08 , RL=42 , 314 314rad/s,V 0115o sU. , :21II求求应用原边等效电路应用原边等效电路4 .1130j20j1111 LRZ 85.18+08.42=j+=2222jLRRZL8188422)1 .24(3 .4621 .2411.46146)(o2222.-jZMZl1 I+S UZ11222)(ZM 例例2*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2RL解解1A)9 .64(111. 08 .1

30、884224 .1130200115o11S1 jjZZUIl应用副边等效电路应用副边等效电路VjjLjRUMjIMjUSOC085.144 .1130200115146 111 85.18906 .1130213164 .113020146)(2112jjZMAjjZIMjI1351. 01 .2411.461 .252 .1685.1808.429 .64111. 01462212 解解22 I+oc UZ22112)(ZMAjjUIOC0353. 008.42085.1485.1808.425 .182 例例3耦合互感电路如图，求电路初级端耦合互感电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗。

31、间的等效阻抗。* *L1aM+S UbL2解解1111 jLZ 222 jLZ 22222)(LMjZMZl )1()1( 21212122111kLjLLMLjLMjLjZZZlab 解解2画出去耦等效电路画出去耦等效电路L1M L2M+ SUMab)1( )1( )( )/()(212121222122121kLLLMLLMLLLMLMMLMLMMLLab )1 (21kLjLjZabab10.510.5 理想变压器理想变压器 121LLMk 1.1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器的三个理想化条件 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感

32、元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。（2）全耦合）全耦合（1）无损耗）无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。磁导率无限大。（3）参数无限大）参数无限大nLLMLL 2121, 2, 1NN ,但但 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。想变压器对待，可使计算过程简化。 i1122N1N2 2211212.2.

33、理想变压器的主要性能理想变压器的主要性能（1）变压关系）变压关系1 kdtdNdtdu 111 dtdNdtdu 222 nNNuu 2121*n:1+_u1+_u2理想变压器模型理想变压器模型若若nNNuu 2121注意注意i1和和i2的方向与同名端的关系的方向与同名端的关系i1和和i2都从都从同名同名端流入时端流入时i1和和i2都从都从同名同名端流入时端流入时*n:1+_u1+_u2i1i2（2）变流关系）变流关系i1*L1L2+_u1+_u2i2MdtdiMdtdiLu2111 )()(1)(210111tiLMduLtit 考虑到理想化条件：考虑到理想化条件： 121LLMk nLLL 21211NN ,0nLLLM1121 )(1)(21tinti 若若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：一个从同名端流出，则有：)(1)(21tinti n:1理想变压器模型理想变压器模型i1和和i2都从都从同名同名端流入时端