(播放版)第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱

1、结束2022年5月23日星期一1第十三章第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路和信号的频谱主要内容主要内容1. 非正弦周期信号及其分解非正弦周期信号及其分解复习傅里复习傅里叶级数；叶级数；2. 非正弦周期信号的频谱、平均值、有非正弦周期信号的频谱、平均值、有效值、平均功率的概念和计算；效值、平均功率的概念和计算；3. 非正弦周期信号稳态电路的分析法非正弦周期信号稳态电路的分析法谐波分析法；谐波分析法；4. 对称三相电路的高次谐波。对称三相电路的高次谐波。结束2022年5月23日星期一2基本要求基本要求(1)了解周期函数分解为了解周期函数分解为傅里叶级数的方法和信傅里叶级数的

2、方法和信号频谱的概念。号频谱的概念。(2)理解周期量的有效值理解周期量的有效值和平均值的概念，掌握和平均值的概念，掌握周期量有效值的计算方周期量有效值的计算方法。法。(3)掌握非正弦周期电流掌握非正弦周期电流电路的谐波分析法和平电路的谐波分析法和平均功率的计算，进一步均功率的计算，进一步了解滤波器的概念。了解滤波器的概念。(1)非正弦周期电流电非正弦周期电流电路的电流、电压的路的电流、电压的有效值、平均值；有效值、平均值；(2)非正弦周期电流电非正弦周期电流电路的平均功率；路的平均功率；(3)非正弦周期电流电非正弦周期电流电路的计算方法路的计算方法(叠加叠加定理、戴维宁定理定理、戴维宁定理和诺

3、顿定理和诺顿定理)。 重点重点结束2022年5月23日星期一3 难点难点(1)叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用；叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用；(2)非正弦周期电流电路功率的计算。非正弦周期电流电路功率的计算。 与其它章节的联系与其它章节的联系 本章主要讨论在非正弦周期电流、电压信号本章主要讨论在非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。 非正弦周期信号可以分解为直流分量和一系非正弦周期信号可以分解为直流分量和一系列不同频率的正弦量之和，对每一信号单独作列不同频率的正弦量之和，对每一信号单独作用下的响应，与直流电路及交流电

4、路的求解方用下的响应，与直流电路及交流电路的求解方法相同，应用叠加定理将各分量的响应叠加得法相同，应用叠加定理将各分量的响应叠加得最后结果，是前面内容的综合。最后结果，是前面内容的综合。结束2022年5月23日星期一413- -1 非正弦周期信号非正弦周期信号生产实际中，会碰到许多非正弦信号，原因有：生产实际中，会碰到许多非正弦信号，原因有：激励本身是非正弦信号；激励本身是非正弦信号； 在电气工程、电子信息、自动控制、计算机等技在电气工程、电子信息、自动控制、计算机等技术领域中经常用到非正弦信号，例如交流发电机术领域中经常用到非正弦信号，例如交流发电机的输出电压严格地说是非正弦量。的输出电压严

5、格地说是非正弦量。电路中含有非线性元件。电路中含有非线性元件。例如整流电路等。例如整流电路等。不是正弦波不是正弦波；按周期规律变化。按周期规律变化。 非正弦周期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点f (t) = = f (t + + nT)结束2022年5月23日星期一5实践中常见的非正弦周期信号实践中常见的非正弦周期信号T2T锯齿波锯齿波T尖顶脉冲尖顶脉冲T整流波整流波数字电路、计算机的数字电路、计算机的CP等等通过显像管偏转通过显像管偏转线圈的扫描电流线圈的扫描电流晶闸管的触发脉冲等晶闸管的触发脉冲等桥式或全波整流桥式或全波整流电路的输出波形电路的输出波形otiotuT方波方波otuot

6、i结束2022年5月23日星期一6实践中常见的非正弦周期信号（续）实践中常见的非正弦周期信号（续）正弦电压在铁心线圈正弦电压在铁心线圈中产生的电流波形中产生的电流波形三角波三角波PWM调制器的时调制器的时间基准信号波形间基准信号波形半波半波otuT阶梯波阶梯波由数字电路或计算由数字电路或计算机产生的正弦信号机产生的正弦信号整流波整流波T尖顶波尖顶波otiT2otuTT2otiTT2结束2022年5月23日星期一713- -2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数1. 非正弦周期函数的分解非正弦周期函数的分解根据高等数学知识：若非正弦周期信号根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t

7、) 满足满足“狄里赫利条件狄里赫利条件”，就能展开成一个，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。收敛的傅里叶级数。系数系数 a0、ak、 bk 分别为分别为：f(t) = = a0 + +akcos(k 1t) + + bksin(k 1t)k= =1a0= =T10Tf(t) dtak= =T20Tf(t) cos(k 1t) dtbk= =T20Tf(t) sin(k 1t) dt结束2022年5月23日星期一8根据给定根据给定 f(t) 的形式，的形式，积分区间也可以改为：积分区间也可以改为：积分区间也可以是积分区间也可以是 02p 2p 或或 -p-pp p ，例如：，例如：= =p p1f

8、(t)cos(k 1t)d( 1t)-p-pp p02p pak= =p p1f(t)cos(k 1t)d( 1t)a0= =Tf(t) dt- -T/21T/2ak= =T2f(t) cos(k 1t) dt- -T/2T/2bk= =T2f(t) sin(k 1t) dt- -T/2T/2= =p p1f(t)sin(k 1t)d( 1t)-p-pp p02p pbk= =p p1f(t)sin(k 1t)d( 1t)a0 = =f(t)d( 1t)12p p02p p结束2022年5月23日星期一9展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号的对

9、比时不方便，而且数号的对比时不方便，而且数 ak、bk的意义也不明的意义也不明确。将展开式合并成另一种形式确。将展开式合并成另一种形式余弦级数：余弦级数：令令 ak= = Akmcos k bk= = - -Akmsin k 则则 f(t) = = A0+ +k= =1Akmcos (k 1t + + k)式中：式中： A0 = = a0Akm= =ak2+ + bk2 k = = arctgak - -bkf(t) = = a0+ +akcos(k 1t) + + bksin(k 1t)k= =1结束2022年5月23日星期一10 A0 是是 f(t) 的的恒定分量恒定分量，或称为或称为直流

10、分量直流分量。 k= =1的项的项 Amcos( 1t + 1) 具有与具有与 f(t) 相同的频率，称相同的频率，称基波分量基波分量。 基波占基波占f(t)的主要成分，基本代表了的主要成分，基本代表了f(t)的特征。的特征。 k2的各项，分别称为的各项，分别称为二次谐波，三次谐波二次谐波，三次谐波等。等。 统称统称高次谐波高次谐波。Akm= =ak2+ + bk2 k = = arctgak - -bkf(t) = = A0+ +k= =1Akmcos (k 1t + + k)结束2022年5月23日星期一112. 非正弦周期信号的频谱非正弦周期信号的频谱 f(t)中各次谐波的幅值和初相不同

11、，为形象地反映中各次谐波的幅值和初相不同，为形象地反映一个周期函数分解为傅里叶级数后包含哪些频率分一个周期函数分解为傅里叶级数后包含哪些频率分量，以及所占量，以及所占“比重比重”，引入振幅频谱和相位频谱，引入振幅频谱和相位频谱的概念。的概念。 振幅频谱：振幅频谱： f(t)展开式中展开式中Akm与与 (= =k 1)的关系。的关系。 反映了各频率成份的振幅所占的反映了各频率成份的振幅所占的“比重比重”，因，因 k是是正整数，故频谱图是离散的，也称线频谱。正整数，故频谱图是离散的，也称线频谱。 相位频谱：指相位频谱：指 k与与 的关系。的关系。f(t) = = A0+ +k= =1Akmcos

12、(k 1t + + k)结束2022年5月23日星期一12锯齿波的锯齿波的振幅频谱图振幅频谱图 今后若无说明，均指振幅频谱。今后若无说明，均指振幅频谱。iotI- -IT/2- -T/2Ti(t) = =p p2Icos( 1t- -90o) + +21cos(2 1t+ +90o) + +31cos(3 1t- -90o) + +41cos(4 1t+ +90o) + + 锯齿波的锯齿波的傅里叶级数展开式为傅里叶级数展开式为o 12 2 13 3 14 4 15 5 1Ikm2Ip pI2p pI3p pI4p p结束2022年5月23日星期一133. 波形特征及其与级数分解的关系波形特征及

13、其与级数分解的关系(1)若若f(t)为为“镜镜”对称对称 满足满足 f(t) = -= - f(tT/2) 则则a2k = = b2k = = 0, otf(t)T/2T移动半个周期，得移动半个周期，得另半个周期的镜像另半个周期的镜像知知 A0是是 f(t) 在一在一个周期内与横轴个周期内与横轴围成的面积。围成的面积。t1A由由A0 = =T10Tf(t) dt所以即使所以即使 f(t)不是不是“镜镜”对称，对称，只要它的正、负只要它的正、负半周与横轴围成的面积半周与横轴围成的面积相等，就有相等，就有 A0 = =0。另。另外，对某些外，对某些 f(t)，求，求 A0时也可以不用积分。时也可以

14、不用积分。无直流分量；无直流分量；展开式中展开式中不含偶次谐波。不含偶次谐波。又称又称奇谐函数奇谐函数。结束2022年5月23日星期一14(2) 若若f(t)是偶函数是偶函数即满足即满足 f(t)= f(- -t)(3) 若若f(t)是奇函数是奇函数outT/2- -T/2则则 ak= 0，只求只求bk即可：即可：A0 = =T20f(t) dtT/2ak = =T40f(t) cos(k 1t)dtbk = =T40f(t) sin(k 1t)dtiotT- -T/2T/2T/2T/2即满足即满足 f(- -t) = -= - f(t)则则 bk= 0。结束2022年5月23日星期一15(4

15、)若若 f(t)为半波对称为半波对称即满足即满足 f(t) = = f(tT/2) 对某些对某些 f(t)，适当移动纵坐标，适当移动纵坐标(另选一个计另选一个计时起点时起点)，就变为偶函数或奇函数。，就变为偶函数或奇函数。 Akm与计时起点无关，与计时起点无关， k与计时起点有关，与计时起点有关，所以所以ak、bk与计时起点有关与计时起点有关otuT/2- -T/2TT 是整流是整流电源周期电源周期即展开式中不含奇次谐波。即展开式中不含奇次谐波。则则a2k+1 = = b2k+1 = = 0结束2022年5月23日星期一16例：例：求右图方波的傅里叶求右图方波的傅里叶级数展开式及频谱。级数展开

16、式及频谱。矩形波电流在一个周矩形波电流在一个周期内的表达式为期内的表达式为:解：解：i(t) = =Im ， 0tT/20 0 ， T/2tToti(t)T/2ImT t2p pp pI0 = =T T0i(t)dtT T1= =T T0Im dtT T /2 /21= =2 2Im直流分量直流分量:基波、谐波分量基波、谐波分量:bk = =p p0i(t) sin(k t) d( t)2 2p p1 = =p p0Im sin(k t) d( t)p p1= =0k 为偶数为偶数kp p2Imk 为奇数为奇数= =Imkp p1- -cos(kp p)结束2022年5月23日星期一17ak

17、= =p p0Im cos(k t)d( t)p p1oti(t)T/2ImT t2p pp p= =Imkp psin(k t)0p p= 0= 0i(t) = =2 2Im(sin t + +31+ +2Imp psin3 t + +51sin5 t + +)f(t) = = a0+ +akcos(k 1t) + + bksin(k 1t)k= =1代入代入得得 i(t) 的展开式为的展开式为(k为奇数为奇数)Ikm= =ak2+ + bk2= = bk = =kp p2Im谐波振幅谐波振幅结束2022年5月23日星期一18o ti(t)i(t) = =2 2Im(sin t + +31+

18、 +2Imp psin3 t + +51sin5 t + +)基波分量基波分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波直流分量直流分量o ti(t)取到取到5次谐波的情况次谐波的情况实用中，根据展开式的收实用中，根据展开式的收敛速度和误差要求取前几项，敛速度和误差要求取前几项，高次谐波可以忽略。高次谐波可以忽略。结束2022年5月23日星期一19矩形波的幅度频谱矩形波的幅度频谱矩形波的相位频谱矩形波的相位频谱13 32Imp pok 3 3 5 5 7 7 115 517 7 kok 3 3 5 5 7 7 - -90o k = = arctgak - -bk= -= -90oAkm= = bk =

19、=kp p2Im结束2022年5月23日星期一2013- -3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率三角函数的性质三角函数的性质 sin、cos在一个周期内的积分为在一个周期内的积分为0；02p pcosk t d( t) = = 002p pcos2k t d( t) = p= psin2、cos2 在一个周期内的积分为在一个周期内的积分为p p；例如：例如： 正交性质正交性质 (kq)02p pcosk t sinq t d( t) = =002p pcosk t cosq t d( t) = =002p psink t sinq t d( t) = =0结束2022年5月23

20、日星期一211. 有效值有效值为了找出有效值与各次谐波的关系，将展开式代入为了找出有效值与各次谐波的关系，将展开式代入I = =T0Ti2(t)dt若若 i = = I0 + +S Sk= =1Ikm cos(k 1t + + k)i2 = = I0 2+ + 2I0 S Sk= =1Ikmcos(k 1t+ + k) + + k= =1S SIkmcos(k 1t + + k)2 定义式积分：定义式积分：T10TI0 dt = = I0 22 第一项第一项第二项第二项T10T2I0 Ikmcos(k 1t+ + k) dt = = 0 1结束2022年5月23日星期一22k= =1S S I

21、km cos(k 1t + + k)2 = =S Sk= =1Ikmcos2(k 1t+ + k) 2S Sk= =1Ik 2 非正弦周期电流的有效值与各分量的关系为非正弦周期电流的有效值与各分量的关系为S Sk= =12Ikmcos(k 1t+ + k) Iqmcos(q 1t+ + q) + +T10TS Sk= =1Ikmcos2(k 1t+ + k) dt = = 2T10TS Sk= =12Ikmcos(k 1t+ + k) Iqmcos(q 1t+ + q)dt = = 0(kq)I0 + +2 S Sk= =1Ik 2 I = =I0 02+ + I1 12+ + I2 22+

22、+ I3 32+ += = 结束2022年5月23日星期一23结论结论 对非正弦周期电压对非正弦周期电压 当給出的电流或电压是展开的级数形式时，当給出的电流或电压是展开的级数形式时，可分别用以上两式计算有效值。可分别用以上两式计算有效值。U0 + +2 S Sk= =1Uk 2 U = =周期函数的有效值为直流分量及各次谐波周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。分量有效值平方和的方根。结束2022年5月23日星期一242. 平均值平均值对同一非正弦量进行测量时，不对同一非正弦量进行测量时，不同类型的仪表有不同的结果：同类型的仪表有不同的结果： IavdefT10T| i

23、| dt直流仪表直流仪表( (磁磁电系仪表电系仪表) )表表针的偏转角针的偏转角测量结果是测量结果是T10Ti dta a恒定分量恒定分量A0。交流仪表交流仪表( (电电磁系仪表磁系仪表) )表表针的偏转角针的偏转角测量结果测量结果是是T10Ti2 dta a有效值。有效值。全波整流全波整流( (磁磁电系电系) )仪表表仪表表针的偏转角针的偏转角测量结果是测量结果是T10T| i |dta a平均值。平均值。Uavot| i |T/2T结束2022年5月23日星期一253. 平均功率平均功率平均功率平均功率直流分量的直流分量的功率功率 + + 各次谐波的平均各次谐波的平均功率。功率。 式中，式

24、中， Uk 、Ik 是第是第 k次谐波的有效值；次谐波的有效值；j jk 是第是第 k次谐波电流与次谐波电流与电压的相位差。电压的相位差。任意任意一端口一端口+ +- -uiP = =T10Tui dtP = = U0 I0 + +k= =1Uk Ikcosj jk设设 i = = I0 + +S Sk= =1Ikm cos(k 1t+ + ik)u = = U0+ +S Sk= =1Ukm cos(k 1t+ + uk)因电流与电压的参考方因电流与电压的参考方向关联，故一端口吸收向关联，故一端口吸收的瞬时功率为的瞬时功率为 p= =ui。所以平均功率为所以平均功率为利用三角函数的正交性利用三

25、角函数的正交性得得结束2022年5月23日星期一2613- -4 非正弦电流电路的计算非正弦电流电路的计算分解；分解；计算；计算；叠加。叠加。把给定电源的非正弦把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅周期电流或电压作傅里叶级数分解里叶级数分解。利用直流和正弦交流利用直流和正弦交流电路的计算方法，对电路的计算方法，对直流和各次谐波激励直流和各次谐波激励分别计算其响应。分别计算其响应。 将以上计算结果转换将以上计算结果转换为瞬时值迭加。为瞬时值迭加。 注意注意交流各次谐波电路计交流各次谐波电路计算可应用相量法，迭算可应用相量法，迭加时必须用瞬时值；加时必须用瞬时值；L、C 对直流分量、对直流分量、各次

26、谐波分量的各次谐波分量的“态态度度”是不同的：是不同的：XkL= = k LXkC= =k C1结束2022年5月23日星期一27例例1uS = = 10+ +141.40cos( 1t)+ +47.13cos(3 1t) + +28.28 cos(5 1t)+ +20.20 cos(7 1t) + +15.71 cos(9 1t) + + V, 试求试求 i 和和P。 k = = 0，C 有隔直作用有隔直作用k = = 1，基波作用，基波作用 .Im(1)= =3 - - j9.45141.4 0o解：分析步骤解：分析步骤分解；分解；已是级数形式。已是级数形式。分别求各分量单独作分别求各分量

27、单独作用的结果；用的结果； 注意感抗、容抗与频注意感抗、容抗与频率的关系！率的关系！ = =14.2672.39o AP(1)= = I(1)2R = =21Im(1)2R= = 305.02WRC+ +- -uSi3W W- -j9.45W W所以所以 I0 = = 0，P0 = = 0结束2022年5月23日星期一28同理可求得：同理可求得：和和 P(5)、P(7)、P(9)。用叠加原理，用叠加原理，按时域形式按时域形式叠加叠加k = = 3，XC(3)= =31XC(1)= =39.45= = 3.15W W .Im(3) = =3 - - j3.1547.13 0o = = 10.83

28、 46.4o AP(3)= = I(3)2R = =21Im(3)2R = = 175.93 W .Im(5)、 .Im(7)、 .Im(9)i = = 14.26cos( 1t+ +72.39o)P = = P0 + + P(1) + + P(3) + + + +P(9) 注意：注意：同频率的电压电流构成有功功率。同频率的电压电流构成有功功率。72.39o A, .Im(1) = = 14.26P(1) = = 305.02W+ + 10.83cos(3 1t+ +46.4o) + + = = 669.8WRC+ +- -uSi3W W- -j9.45W W结束2022年5月23日星期一29

29、例例2：已知：已知u(t)是周期函数是周期函数(波波形如图形如图), 求理想变压器原边求理想变压器原边电流电流i1(t)及输出电压及输出电压u2的有效的有效值。值。L= =1/2p p H , C= =125/p p F2410.5u/Vt/ms012解：解： = = 2p p/T = = 2p p103 rad/su(t)= =12+12cos t当当u= =12V作用时，电容开作用时，电容开路、电感短路，有：路、电感短路，有：i1 = = 12/8 = = 1.5 A ,2 : 18W W- -+ +uL- -+ +u2Ci1i2u2 = = 0 。当当u= =12cos t 作用时：作用

30、时：XC = -1/= -1/ C= - = - 4 W W2p p103125 10- -6- - p p= =结束2022年5月23日星期一30XL= = L= = 2p p103 2p p10- -3= =1W WXC = - = - 4 W W2 : 18W W- -+ +L- -+ +C .I1 .I2- -j4W Wj1W W .U212V .I1m = =j4 .U1m= =120oj4= - = - j3 A .U1m = = .Um0o V .U2m = =n1 .U1m = = 6 0o VU2 = = = 1226= = 4.243V ,i1 = =1.5 + 3cos(

31、 t - -90o) A8W W- -+ +C .I1- -j4W W12V- -+ + .U1j4W WL副边阻抗副边阻抗j1W W 折算到原边折算到原边为为j4W W。(Zeq= =n2ZL)发生并联谐振发生并联谐振结束2022年5月23日星期一31例例3：已知：已知求求Uab、i 及功率表的读数。及功率表的读数。2u1 = = 220 cos t Vu2 = =220 cos t+ +100 cos(3 t+ +30o)V22解：解：三次谐波作用：三次谐波作用：4402 + + 1002= = Uab= = 451.22V 一次谐波作用：一次谐波作用： .Uab(1)= = 440 0o

32、 V .I(1) = =60+j20440= = 6.96 - -18.4o A .Uab(3)= = 10030o V .I(3) = =60+j60= = 1.18 - -15o A10030oi = =6.9622cos(3 t- -15o)A+ +1.18P = = 2206.96 cos18.4测量的是测量的是u1的功率的功率= = 1452.92W- -+ + .I .U1j20W W- -+ + .U2W*60W Wabcos( t- -18.4o)结束2022年5月23日星期一32例例4：已知：已知 L= =0.1H，C3= =1 F，电容电容C1中只有基波电流，电容中只有基波

33、电流，电容C3中只有三次谐波电流，求中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。和各支路电流。 给定给定iS= =5+ +20cos1000t+ +10cos3000t A。LC2C1C3iSi1i2i3200W W100W W解：解： C1、C3“有隔直通有隔直通交交”的作用，所以的作用，所以i2、i3中不含直流分量。中不含直流分量。I1(0)= =5AC1中只有基波电流，说中只有基波电流，说明明 L和和 C2对三次谐波发对三次谐波发生并联谐振：生并联谐振： I2(0)= = I3(0)= =0，C2 = = 2 2L1= =910 FC3中只有三次谐波电流，中只有三次谐波电流，说明说明L

34、、C1、C2对基波对基波发生串联谐振：发生串联谐振：j C11+ +j( L-1/-1/ C2)L/C2= = 0C1 = =980 F结束2022年5月23日星期一33基波作用时发生串联谐振基波作用时发生串联谐振i2(1)= =20cos1000t Ai1(1)= = i3(1)= = 0 三次谐波作用时发生三次谐波作用时发生并联谐振并联谐振 .I3m(3) = =100+ +200- -j103/310010= =9- -j1030= = 2.23 48o A .I1m(3)= = .IS(3)- - .I3m(3)- -11o ALC2C1C3iSi1i2i3200W W100W WiS

35、= =5+ +20cos1000t+ +10cos3000t ALC2C1C3iSi1i2i3200W W100W W并联并联谐振谐振i2(3)= = 0。Z1(3)= = 100 W WZ3(3)= = 200 - - j3103W W= =8.67结束2022年5月23日星期一34iS= =5+ +20cos1000t+ +10cos3000t A直流作用时直流作用时 I1(0)= =5A，I2(0)= = I3(0)= =0基波作用时基波作用时 i2(1)= =20cos1000t Ai1(1)= = i3(1)= = 0 三次谐波作用时的瞬时值三次谐波作用时的瞬时值i3(3)= =2.

36、23cos(3000t+ +48o)A i1(3)= =8.67cos(3000t- -11o)A 按时域形式叠加：按时域形式叠加：i1= =5+ +8.67cos(3000t- -11o)Ai2= =20cos1000t Ai3= =2.23cos(3000t+ +48o)A .I3m(3) 三次谐波作用时三次谐波作用时 = = 2.23 48o A .I1m(3)= =8.67 - -11o Ai2(3)= = 0。LC2C1C3iSi1i2i3200W W100W W结束2022年5月23日星期一35*13- -5 对称三相电路的高次谐波对称三相电路的高次谐波io t设设 A相电压相电压

37、则则 uB= =u( t- -120o)由于三相发电机每相电压由于三相发电机每相电压或电流总是奇谐函数，或电流总是奇谐函数，uC= =u( t+ +120o)uo t所以所以傅里叶级数傅里叶级数展开展开式中不含偶次谐波。式中不含偶次谐波。三相发电机、变压器、电三相发电机、变压器、电动机等都带有铁心，所以动机等都带有铁心，所以由它们组成的对称三相电由它们组成的对称三相电路，其电压、电流都可能路，其电压、电流都可能含有高次谐波分量。含有高次谐波分量。uA= =u( t)结束2022年5月23日星期一361. 分析以分析以uA、 uB、uC为例为例的展开式的展开式(k为奇数为奇数)：注意到三角函数的

38、周期性，注意到三角函数的周期性， 展开式可以整理为展开式可以整理为uA = =Um1cos( 1t+ + 1 1)+ +Um3cos(3 1t+ + 3 3)+ +Um5cos(5 1t+ + 5 5)+ +Um7cos(7 1t+ + 7 7) + + + + Um(k)cos(k 1t+ + k) uB = =Um1cos( 1t- -120o+ + 1 1)+ +Um3cos(3 1t- -360o+ + 3 3) + +Um5cos(5 1t- -600o+ + 5 5)+ +Um7cos(7 1t- -840o+ + 7 7 )uC = =Um1cos( 1t+ +120o+ + 1

39、 1)+ +Um3cos(3 1t+ +360o+ + 3 3) + +Um5cos(5 1t+ +600o+ + 5 5)+ +Um7cos(7 1t+ +840o+ + 7 7 )+ + + + Um(k)cosk( 1t- -120o)+ + k)+ + + + Um(k)cosk( 1t+ +120o)+ + k)结束2022年5月23日星期一37uA = =Um1cos( 1t+ + 1 1) + + Um3cos(3 1t+ + 3 3)+ +Um5cos(5 1t+ + 5 5) + + Um7cos(7 1t+ + 7 7) + + uB = =Um1cos( 1t- -120

40、o+ + 1 1) + + Um3cos(3 1t+ + 3 3) + +Um5cos(5 1t+ +120o+ + 5 5)+ +Um7cos(7 1t- -120o+ + 7 7 ) + + uC = =Um1cos( 1t+ +120o+ + 1 1) + + Um3cos(3 1t+ + 3 3) + +Um5cos(5 1t- -120o+ + 5 5)+ +Um7cos(7 1t+ +120o+ + 7 7 ) + + 讨论讨论(n= =0,1,2,3, )：基波、基波、7次、次、 、(k= =6n+ +1)次谐波分别是正序对称的次谐波分别是正序对称的三相电压，构成三相电压，构成正

41、序组正序组；5次次、11次、次、 、(k= =6n+ +5)次谐波分别构成次谐波分别构成负序组负序组；3次次、9次、次、 、(k= =6n+ +3) 次谐波分别构成次谐波分别构成零序组零序组。结束2022年5月23日星期一38 结论结论三相对称的非正弦周期量三相对称的非正弦周期量(奇谐波奇谐波)可以分解为可以分解为3类对称组，即正序对称组、负序对称组和零类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序对称组。序对称组。分析计算时，按分析计算时，按 3 类对称组分别进行。对于正类对称组分别进行。对于正序和负序对称组，可直接引用第序和负序对称组，可直接引用第12章的方法和章的方法和有关结论。有关结论。结束2022年5月23日星期一39(1)对称的对称的电源电源零序组电压源等幅同相零序组电压源等幅同相k=3,9,15, k=6n+3 .UA(k)= = .UB(k)= = .UC(k)= = .US(k)在三角形电源的回路在三角形电源的