数学高三复习教案第八章

1、第八章立 体 几 何高考考纲(1) 空间几何体 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求） 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(2) 点、直线、平面之间的位置关系 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理

2、和定理· 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内· 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面· 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线· 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行· 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理理解以下判定定理· 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行·

3、如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行· 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直· 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直理解以下性质定理，并能够证明· 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行· 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行· 垂直于同一个平面的两条直线平行· 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命

4、题(3) 空间向量及其运算 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示： 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直(4) 空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图一、多面体的结构特征多面体结构

5、特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y

6、轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45°(或135°)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：侧棱垂直于底面；底面是正多边形(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层

7、含义：顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体2对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线3对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”(2)

8、按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图S原图形，S原图形2S直观图空间几何体的结构特征例1下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线自主解答解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断1如果四棱锥的四条侧棱都相等

9、，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上几何体的三视图 例2某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()自主解答三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”注意画三视图时，要注意虚、实线的区别2(1)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的() (2)如图，正三棱

10、柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A2B4C. D2几何体的直观图例3已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求原ABC的面积自主解答用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”“三变”“三不变”3如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A2B. C. D1三视图识图中易误点 典例(2012·陕西高考)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()尝试解题1.因没有区分几何体中的

11、可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，误选A、C.2.因为忽视了B1C被遮挡，误认为无投影，不用画出，误选D.3.对于由几何体画出其三视图时，首先要看清几何体的结构特征，在绘制三视图时，若相邻两几何体的两表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都是用实线画出，被挡住的轮廓线用虚线画出，其次要注意三视图的长、宽、高的要求及排放规则.1若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()2将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()第二节 空间几何体的表面积和体积柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rlVShr2h圆锥S

12、侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR31.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行2求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性3求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理几何体的表面积 例1某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是

13、_自主解答1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用1(2012·河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为()A.B2C4D4几何体的体积例2 (1)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A72B48C30 D24 (2)(2012·山东高考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一

14、点，则三棱锥ADED1的体积为_自主解答本例(1)中几何体的三视图若变为：其体积为_1计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握3等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积法”可求“点到面的距离”2(1)四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥PANC与四棱锥PABCD的体积比为()A12 B

15、13C14 D18如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A32 B24C8 D.与球有关的几何体的表面积与体积问题例3已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A. B. C. D.自主解答1解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系2记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，正方体的外接球，则2Ra；正方体的内切球，则2Ra；球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为

16、a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为13.3(1)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A2 B. C4 D.(2)如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_补形法破解体积问题 某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略补形法.常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题

17、.1对称补形典例1(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B3C. D6 题后悟道“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助2联系补形(2012·辽宁高考)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形若PA2，则OAB的面积为_解析题后悟道三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求第三节 空间点、直线、平面间的位置关系一、平面的基本性质名称图示文字表

18、示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl二、空间直线的位置关系1位置关系的分类2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(2)范围：.三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共

19、点个数直线l在平面内l无数个直线l与平面相交lA一个直线l与平面平行l0个四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面平行0个两个平面相交l无数个(这些公共点均在交线l上)1.三个公理的作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线2异面直线的有关问题(1)判定方法：反证法；利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图(2)所成的角的求法：平移法平面的基本性质及

20、应用 例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点自主解答本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面1证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合1(1)在空间中，下列命题正确的是()A对边相等的四边形一定是平面图形B四边相等的四边形一定是平面图形C有一组对边平行的四边形一定是平面图形D有一组对角相等的四边形一定是平面

21、图形(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点异面直线的判定 例2在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)自主解答1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中

22、经常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线2已知m，n，l为不同的直线，为不同的平面，有下面四个命题：m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面，l，m，n，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；m，n是内两相交直线，则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交则四个结论中正确的个数为()A1B2C3 D4异面直线所成角 例3已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_自主解答求异