材料力学答案

1、8.2.1 8.2.1 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法平衡原理的应用平衡原理的应用 微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程正正 应应 力力xxxx 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法剪剪 应应 力力 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法x y yx xyq 角角xyyxq 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法平衡原理的应用平衡原理的应用微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程0 yF0 xF y yxxx y xydAq qx0 xFq qq q - -cos)cos(dAx- - q qq qydA(sin )sin 0dA x

2、+ + q qq qdA(cos )sinxy+ + q qq qdA(sin )cosyx 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法 y yxxx y xydAq qx0 yF- - x ydA + + q qq qxdA(cos )sin+ + q qq qxydA(cos )cos 0- - q qq qydA(sin )cos- - q qq qyxdA(sin )sin 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法 y yxxx y xydAq qx x q qxcos2- - q qq qxysincos- - q qq qyxsincos+ + q qysin2 x y q qq q

3、xsincos+ + q qxycos2- - q qq qysincos- - q qyxsin2 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法 x xy+ +2+ +- - q qxy22cos- - q qxysin 2 x y q qxy- -22sin+ + q qxycos2 y yx xyxxy x y y y x xxy y xypxp 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法ax y cx b ay c n x yyx 0 F 0 nFdAcoscosdAx-sincosdAx+cossindAy+sinsindAy-0dAsincosdAx-coscosdAx-sinsindA

4、y+cossindAy+022cos1cos2+22cos1sin2-yx xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+8.2.2 8.2.2 二向应力状态分析的图解法二向应力状态分析的图解法 应力圆应力圆（Mohrs Circle for Stresses）222)(Ryax+-圆心坐标：圆心坐标： +0,2yx半径：半径： 222xyx+-任一点坐标：任一点坐标： ,上述方程所表示的圆上述方程所表示的圆应力圆或莫尔圆应力圆或莫尔圆二二.应力圆的画法：应力圆的画法： 1.设 ,轴，选取应力比例尺。 2.以 xx,为坐标，得D点， yy,得E点。 3.连DE交 轴于

5、C点，C点即为应力圆的圆心应力圆的圆心。4.以CD或CE为半径画圆。即得应力圆。5.以CD为基准线基准线，沿反时针方向另取角度 2圆交于G点 ，得一射线，与,三三.验证验证 ,的正确性由应力圆可得：由应力圆可得：6.按比例尺量出 ,值，即为单元体 斜面上的正应力和剪,应力 x x xy yx xy yx y yxyn O C220A1 1B1 2 222 , , EG1 G2 D( y, yx)BD( x, xy)A AF2yxOC+2yxCA-222222xyxCADACD+-+则：则： +2cos2sin2cos2sin2sin2cos2sin2cos2cos2sin22sinDACACD

6、CDCECEELCEOCCLLCOL+由上式可以看出：由应力圆得到的 ,与数解法 ,的计算公式相对照，完全相符，由此证明，应力圆上与点 xx,成 2角的点的坐标值为相应的 斜截面上的正应力 ，剪应力 值。 -+-+2sin2cos222sin2sin2cos2cos22cosxyxyxCDCDOCCGOCCLLCOL目录目录、几种对应关系 点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力；体某一方向面上的正应力和切应力； 转向对应转向对应半径旋转方向与斜截面法线旋转方向半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；一致；二倍角对应二倍角对应

7、半径转过的角度是斜截面旋转角度半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。的两倍。 yyxADxa( x , x)d( y , y)c o yyxx caA c2 2anb 某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。MPa20MPa103MPa30abc1n xy+ +22cos2yx-+2sinx-23010030+060cos23010-+060sin20-MPa32. 2- 2sin2yx-2cosx+03060sin230100-060cos20+MPa33. 12n23010

8、060+-0120cos23010-+0120sin20-MPa32.42060120sin230100-0120cos20-+MPa33. 1-+-006030+yxMPa40在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其的和为一常数。分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。x xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+2sin2x0452045x2045xmax低碳钢试样拉伸至屈服时沿低碳钢试样拉伸至屈服时沿45o 表面表面出现滑移线，是由最大切应力引起的。出现滑移线，是由最大切应力引起的。

9、2cos22yx+x 分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。 xy+ +22cos2yx-+2sinx-2sin- 2sin2yx-2cosx+2cos045-max450+-max4500045minmax 铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即45o螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。例题例题4:mKNLPMC2542KNPQC502（压应力）MPaIyMZCC04.1106002001210150102512333-MPabISQZZCC469.010200106002001210225200150105039393-

10、MPaC04. 1-MPaC469. 0已知：MPaxyxyx07. 1)80sin(469. 0)80cos(204. 1204. 1)80sin()80cos(2240-+-+MPaxyx431.0)80cos()80sin(240-+-8-2-3 平面应力状态下的最大应力，主应力平面应力状态下的最大应力，主应力 yxxtg-22y0)2cos2sin2(2+-xyxddy22)max()2(2xyxyxmix+-+yO C220A1 1B1 2 222 , , EG1 G2 D( y, yx)BD( x, xy)A AF22max22xyxyxACAOC+-+1122min22xyxyx

11、BCBOC+-+-11yxxtgCFDFtg-22200DACA 圆A1、B1两点位于应力圆上同一直径的两端，即最大正最大正应力应力所在截面与最小正应力所在截面互相垂直，故，应力圆中各正应力极值所在截面的方位可表示如下：maxminyx0yminmaxx从应力圆中还可看出：应力圆上对应于G1G2两点，剪应力最大，由此可得到，最大、最小剪应力分别为：*从应力圆中可看出：它们所在截面也相垂直从应力圆中可看出：它们所在截面也相垂直目录目录O C220A1 1B1 2 222 , , EG1 G2 D( y, yx)BD ( x, xy)A AF22max2xyxKR+-22min2xyxMR+-平面

12、应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩轴向拉伸压缩2sin2 x)2cos1 (2 +xx 10 322minmaxx xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+平面应力状态的几种特殊情况扭扭 转转2cos x 2sin x-x 1x3- xminmax xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+0 2 弯 曲22minmax)2(xx+221322xxx+2sin2cos22xxx-+2cos2sin2xx+ 已知矩形截面梁已知矩形截面梁, ,某截面上的剪力某截面上的剪力Q=120kNQ=120kN及弯矩及弯矩M=10kNm.M=10k

13、Nm.绘出表示绘出表示1 1、2 2、3 3、4 4点应力状态的单元体，并点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm.b=60mm,h=100mm.bhzsFM123mm2541、画各点应力状态图、画各点应力状态图1323412、计算各点主应力、计算各点主应力123bhIz4500cm zIMy14310500501010MPa1001点021MPa1003-2点(处于纯剪状态处于纯剪状态)AFs23max1006021012033MPa3022134212xyxyx+-+MPa30102MPa303-3点(一般平面状态一般平面状态) zIMy343

14、10500251010MPa50bISFzzs*60105005 .3725601012043MPa5 .22MPa6 .58102MPa6 . 83-4点MPa10010203 自受力构件内取一单元体自受力构件内取一单元体, ,其上承受应力如图示其上承受应力如图示, ., .试求此点的主应力及主平面试求此点的主应力及主平面. .3abd060060abcxad面面,db面是该点的主面是该点的主平面平面.xy0 xF030cos30sin00+abxabAA3-x3-10233-3例例3：分别用解析法和图解法求图示单元体的分别用解析法和图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和剪应力指定

15、斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。最大剪应力值。单位：单位：MPa xyxxyxyxxyx-+-+8040602222102222220MPa, MPa MPa, =30MPaMPacossinsincos.解：(一)使用解析法求解 xyxxyxyxxyx-+-+8040602222102222220MPa, MPa MPa, =30MPaMPacossinsincos.maxmintan.+- +-xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmintan.+