第5章 计算机控制系统的控制算法

1、第5章 计算机控制系统的控制算法5.1 5.1 线性离散系统的线性离散系统的Z Z变换及变换及Z Z反变换反变换5.2 5.2 脉冲传递函数和差分方程脉冲传递函数和差分方程5.3 5.3 数字控制器的连续化设计方法数字控制器的连续化设计方法 5.4 5.4 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法5.5 5.5 施密斯预估控制施密斯预估控制5.6 5.6 串级控制串级控制5.1 5.1 线性离散系统的线性离散系统的Z Z变换及变换及Z Z反变换反变换u 连续系统连续系统输入量和输出量之间的关系可用输入量和输出量之间的关系可用微分方程微分方程来描述，借助来描述，借助于于拉氏变换拉氏变

2、换建立系统的建立系统的传递函数传递函数，可以非常方便地分析系统的特，可以非常方便地分析系统的特性。性。u 计算机控制系统是一种采样控制系统，即离散系统计算机控制系统是一种采样控制系统，即离散系统，对于离散系，对于离散系统主要用统主要用差分方程差分方程来描述，并借助于来描述，并借助于Z Z变换变换来建立系统的来建立系统的脉冲传脉冲传递函数递函数，也可以方便地分析离散系统的性能。，也可以方便地分析离散系统的性能。u 由于连续控制系统和离散控制系统的控制方法不同，所以它们使由于连续控制系统和离散控制系统的控制方法不同，所以它们使用的数学工具、研究方法也不同，表用的数学工具、研究方法也不同，表5.15

3、.1列出了它们的研究方法列出了它们的研究方法对照表。对照表。Z Z 变换变换的最初思想来源于连续系统，它是由拉普拉斯的最初思想来源于连续系统，它是由拉普拉斯变换直接引申出来的一种变换，实际上它是拉氏变换变换直接引申出来的一种变换，实际上它是拉氏变换的一种变形，有时又称为采样拉普拉斯变换，是研究的一种变形，有时又称为采样拉普拉斯变换，是研究离散系统的重要数学工具。离散系统的重要数学工具。5.1.1 Z5.1.1 Z变换变换1. Z1. Z变换的定义变换的定义 设连续函数设连续函数f(tf(t) )是符合拉普拉斯变换条件的，则采样后的信是符合拉普拉斯变换条件的，则采样后的信号号f f* *(t)(

4、t)也可以进行拉普拉斯变换。采样周期为也可以进行拉普拉斯变换。采样周期为T T的理想采样后得的理想采样后得到的采样信号信号到的采样信号信号f f* *(t)(t)是一组加权理想脉冲序列，每个采样时刻是一组加权理想脉冲序列，每个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，即采样后其离散函数的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，即采样后其离散函数信号信号f f* *(t)(t)为：为： *00( )() ()( )()kkftf kTtkTf ttkT 采样信号采样信号f f* *(t)(t)可像连续函数一样对离散信号可像连续函数一样对离散信号f f* *(t)(t)采用采用拉普拉斯变换，可得拉

5、普拉斯变换，可得 式中右边为无穷多项之和，每一项中都有因子，同时它式中右边为无穷多项之和，每一项中都有因子，同时它是一个是一个s s的指数函数，因为复变量的指数函数，因为复变量s s在指数里不方便计算，无在指数里不方便计算，无法使问题简化，因此引入一个新的复变量：法使问题简化，因此引入一个新的复变量： 00*( )*( ) ( )()()kTskkL ftFsL f ttkTf kT eTsze - -轾轾- - -= =臌臌0 0s st t0 00 0L L f f( (t tt t ) )u u( (t tt t ) )F F( (s s) )e eTsze1lnszT将上述变化代入式（

6、将上述变化代入式（5.25.2）中，可得）中，可得上式称作离散信号上式称作离散信号f f* *(t)(t)的的z z变换，变换，并记为并记为 1ln00*( )|( )()()()TskkszkkTFsF zf kT ef kT z*0( )( )()kkF zZ ftf kT z上式为上式为单边单边Z Z变换变换，若式中，若式中k k范围满足：范围满足： ，则称为，则称为双边双边Z Z变换变换。但是由于控制系统中研究的信号都是从研究时。但是由于控制系统中研究的信号都是从研究时刻开始算起（零时刻），所以使用的都是单边变换，在这里刻开始算起（零时刻），所以使用的都是单边变换，在这里也简称为也简称

7、为Z Z变换变换。 Z Z变换的求解方法就是求取采样函数的变换的求解方法就是求取采样函数的Z Z变换式，其求法变换式，其求法有很多，比如：级数求和法、部分分式法、留数计算法等，有很多，比如：级数求和法、部分分式法、留数计算法等，这里重点介绍这里重点介绍级数求和法级数求和法和和部分分式法部分分式法这两种比较常用的变这两种比较常用的变换方法。换方法。2. Z2. Z变换的求法及简单函数的变换的求法及简单函数的Z Z变换变换(1)(1)级数求和法级数求和法 级数求和法是级数求和法是直接应用直接应用Z Z变换的定义进行求取变换的定义进行求取。设时间。设时间连续函数为连续函数为f(tf(t) ) ，其对

8、应的离散时间函数为，其对应的离散时间函数为f f* *(t)(t) ，则其，则其Z Z变换根据式（变换根据式（5.65.6）可表示为）可表示为将上式右边展开，即得将上式右边展开，即得 这就是离散时间函数这就是离散时间函数f f* *(t)(t)进行进行Z Z变换的一种变换的一种级数表达形式级数表达形式。 *0( )( )()kkF zZ ftf kT z120( )()(0)( )(2 ).().kkkF zf kT zff T zfT zf kT z9例如：求单位阶跃函数的例如：求单位阶跃函数的z z变换变换【例5.1】求指数函数 的z变换。( )atf te【例5. 2】求单位斜坡函数 的

9、z变换。( )f tt 设时间连续函数为设时间连续函数为f(t)，其对应的拉氏变换为，其对应的拉氏变换为F(s)。已知。已知F(s)，而，而f(t)没有给出，可以直接通过没有给出，可以直接通过F(s)求出求出f(t)的的Z变换变换F(z) 。 部分分式法也即先将连续函数的拉氏变换展开成部分分式部分分式法也即先将连续函数的拉氏变换展开成部分分式之和的形式，之和的形式，然后对各个分式分别求其然后对各个分式分别求其z变换，其和即为所求的变换，其和即为所求的z变换。变换。1( )niiiAF ssp（2 2）部分分式法）部分分式法( ) ()aF ss sa【例例5. 3】求解求解 的的z变换。变换。

10、( )sinf tt【例例5. 4】求解求解 的的z变换。变换。222222222222( )sin11112222ssjjL f tLtsssjsjjjjjsssjsj（）（）1()1jtLesj1221111211221111sin( )2 12 11sinsin12cos2 cos1j Tj Tj Tj TzTF zZsjezjezezezzzTzTzTzzzT 解：因为解：因为而而所以可得其所以可得其z z变换为：变换为： 常用函数的拉氏变换和常用函数的拉氏变换和Z Z变换变换如表如表5.25.2所示所示，利用，利用此表可以根据给定的函数或其拉普拉斯变换直接查出此表可以根据给定的函数或

11、其拉普拉斯变换直接查出其对应的其对应的Z Z变换，不必进行繁琐的计算，这也是实际中变换，不必进行繁琐的计算，这也是实际中广泛应用的方法。广泛应用的方法。常用函数的常用函数的Z Z变换变换173. Z3. Z变换的性质和定理变换的性质和定理 1122( ) ( ),( )( ),( )( )F zZ f tF zZ f tF zZ f t设设(1) 线性定理线性定理 1212( )( )( )Z aftbf taF zbF z(2) 迟后与超前定理迟后与超前定理(平移定理平移定理)(迟后定理迟后定理)(超前定理超前定理)-式中式中 k 为正整数。为正整数。令当令当t0时时f(t)=0(6) 卷积

12、和定理卷积和定理120kif kTfiTfkTiT120fkTfkTf kT 12120kiZf kTZf kTfiTfkTiTF z Fz1212120( )*( )()()( )( )kiZ f tftZf iT fkTiTF z F z且有且有k0k0)有关，这种情况在现实的系统中是矛盾的。有关，这种情况在现实的系统中是矛盾的。2. 2. 差分方程的求解差分方程的求解 差分方程的求解就是在差分方程的求解就是在系统初始值和输入序列已知系统初始值和输入序列已知的条的条件下，件下，求出求出差分方程描述的系统在任何时刻的差分方程描述的系统在任何时刻的输出序列值输出序列值。常系数线性差分方程的常用

13、求解方法有经典解法、基于解析常系数线性差分方程的常用求解方法有经典解法、基于解析方法的方法的Z Z变换法和基于计算机求解的迭代法三种基本方法。变换法和基于计算机求解的迭代法三种基本方法。(1)(1)Z Z变换法求解差分方程的步骤是变换法求解差分方程的步骤是： 对描述离散系统的差分方程进行对描述离散系统的差分方程进行Z Z变换，并利用变换，并利用Z Z变换的变换的迟后与超前定理将时域差分方程化为迟后与超前定理将时域差分方程化为Z Z域的代数方程域的代数方程; ; 求其解求其解; ; 再将再将Z Z域的代数方程经域的代数方程经Z Z反变换求得差分方程的时域解。反变换求得差分方程的时域解。超前定理超

14、前定理【例【例5.105.10】用】用Z Z变换求解下列差分方程变换求解下列差分方程 迭代法迭代法是是已知已知离散系统的差分方程和输入序列，且离散系统的差分方程和输入序列，且给定输出序列的给定输出序列的初始值初始值，可以利用，可以利用递推迭代关系递推迭代关系逐步计算出所需要的输出序列值的方法逐步计算出所需要的输出序列值的方法。但求出的不是但求出的不是y(kT)的数学解析表达式。的数学解析表达式。 迭代法的优点是便于用计算机编程来求解实现。迭代法的优点是便于用计算机编程来求解实现。（2）迭代法）迭代法41%由于在由于在MATLAB中数组的编号必须从中数组的编号必须从1开始，根据初始条件开始，根据

15、初始条件y(0)=0，并根据编程循环的需要计算，并根据编程循环的需要计算y(2)=-5y(1)=1;y(2)=-5;for k=1:10 %循环次数即为要计算的的拍数，根据需要来设置循环次数即为要计算的的拍数，根据需要来设置y(k+2)=-5*y(k+1)-6*y(k) %用迭代法计算的值用迭代法计算的值end迭代法迭代法MatlabMatlab程序：程序：42迭代法迭代法MatlabMatlab程序运算结果：程序运算结果：1. 1. 脉冲传递函数定义脉冲传递函数定义 在零初始条件下，一个系统或环节的输出脉冲序列的在零初始条件下，一个系统或环节的输出脉冲序列的Z Z变换与输入脉冲序列的变换与输

16、入脉冲序列的Z Z变换之比，变换之比，即即: :(z)(z)(z)YGR5.2.3 5.2.3 脉冲传递函数脉冲传递函数 零初始条件是指在零初始条件是指在t t0 0时，输入脉冲序列各采样值时，输入脉冲序列各采样值R(-T)R(-T)、 R(-2T)R(-2T) 、 R(-3T)R(-3T) 以及输出脉冲序列各采样以及输出脉冲序列各采样值值Y(-T)Y(-T) 、 Y(-2T)Y(-2T) 、 Y(-3T)Y(-3T) 均为均为0 0。 与连续系统的传递函数一样，它与连续系统的传递函数一样，它只与系统本身的特性有只与系统本身的特性有关关，而，而与系统外部输入的信号形式无关与系统外部输入的信号形

17、式无关，并且，并且仅适用于线性、仅适用于线性、时不变系统时不变系统，而不适用于非线性系统和时变系统。，而不适用于非线性系统和时变系统。采样系统的离散输出信号采样系统的离散输出信号 11( ) ( ) ( )( )y tZY zZG zR z 系统输出的离散信号的系统输出的离散信号的Z Z变换可表示为系统的脉冲变换可表示为系统的脉冲传递函数与输入信号的传递函数与输入信号的Z Z变换的乘积，即变换的乘积，即: :( )( )*( )Y zG zR z通过对通过对Y(Z)Y(Z)的的Z Z反变换可求出系统的输出响应反变换可求出系统的输出响应y(kTy(kT) )，即，即: :2. 2. 脉冲传递函数

18、的求解脉冲传递函数的求解（1 1）由差分方程求脉冲传递函数）由差分方程求脉冲传递函数【例例5.125.12】已知线性离散系统的差分方程为已知线性离散系统的差分方程为且初始条件为零，试求系统的脉冲传递函数。且初始条件为零，试求系统的脉冲传递函数。解：对差分方程两边求解：对差分方程两边求Z Z变换，得变换，得 整理得整理得 所以系统的脉冲传递函数为所以系统的脉冲传递函数为( )(1)(1)y ky kTr k11( )( )( )Y zz Y zTz R z11( )(1)( )Y zzTR z z11( )( )( )1Y zTzG zR zz（2 2）由连续系统传递函数求脉冲传递函数）由连续系

19、统传递函数求脉冲传递函数【例例5.135.13】已知某系统的传递函数为已知某系统的传递函数为 求求G G（s s）所对应的脉冲传递函数。所对应的脉冲传递函数。解：将解：将G G（s s）分解为部分分式）分解为部分分式 查表得出其查表得出其Z Z变换，即系统脉冲传递函数为变换，即系统脉冲传递函数为 1(1)G ss s111( )(1)1G ss sss(1)( ) ( )1(1)()TTTzzzeG zZ G szzezze47常用函数的常用函数的Z Z变换变换 5.3.1 5.3.1 数字控制器连续化设计步骤数字控制器连续化设计步骤 5.3.2 5.3.2 数字数字PIDPID控制器设计控制

20、器设计 5.3.3 5.3.3 数字数字PIDPID控制器算法的改进控制器算法的改进 5.3.4 5.3.4 数字数字PIDPID控制器参数的整定控制器参数的整定5.3 5.3 数字控制器的连续化设计方法数字控制器的连续化设计方法 数字控制器的连续化设计是先数字控制器的连续化设计是先根据给定的性能指标根据给定的性能指标以及以及各项参数各项参数，将整个控制系统，将整个控制系统看成是模拟系统看成是模拟系统，应用连续系应用连续系统的设计理论和方法来设计模拟控制器统的设计理论和方法来设计模拟控制器，然后在满足一定，然后在满足一定条件下，条件下，再通过某种离散化近似处理再通过某种离散化近似处理，将模拟控

21、制器离散，将模拟控制器离散化为数字控制器，最后通过计算机来实现。化为数字控制器，最后通过计算机来实现。计算机控制系统的结构框图：计算机控制系统的结构框图：在如上图所示的单回路计算机控制系统中，在如上图所示的单回路计算机控制系统中，G(S)G(S)是被控对象是被控对象的传递函数，的传递函数，H(S)H(S)是零阶保持器的传递函数，是零阶保持器的传递函数，D(Z)D(Z)是数字控是数字控制器的脉冲传递函数，制器的脉冲传递函数，U(kU(k) )是控制量。是控制量。22()1112( )(1)2sTTssTsTeTH sTsTess5.3.1 5.3.1 数字控制器的连续化设计步骤数字控制器的连续化

22、设计步骤数字控制器数字控制器被控对象被控对象数字计算机数字计算机测量元件测量元件A/DD/A-)(*te)(*tu)(tuh)(te)(tr)(tc50数字控制器的连续化设计步骤：数字控制器的连续化设计步骤：1.1.设计假想的设计假想的连续系统的连续系统的连续控制器连续控制器D(S)D(S)；2.2.选择采样周期选择采样周期T T； 3.3.将将D(S)D(S)离散化为离散化为D(Z)D(Z)；4.4.设计由计算机实现的控制算法；设计由计算机实现的控制算法； 5.5.校验。校验。 设计的第一步就是找一种近似的结构，根据给定的被控对象的特性以及设计的第一步就是找一种近似的结构，根据给定的被控对象

23、的特性以及设计要求的性能指标，来设计一种假想的连续控制器设计要求的性能指标，来设计一种假想的连续控制器D(S)D(S)，这时候我们的结，这时候我们的结构图可以简化为：构图可以简化为： 已知已知G(S)G(S)来求来求D(S)D(S)的方法有很多种：的方法有很多种： 一种方法是事先确定控制器的结构一种方法是事先确定控制器的结构，比如常用的，比如常用的PIDPID算法等，然后通过其算法等，然后通过其控制参数的整定来完成设计；控制参数的整定来完成设计； 另一种是借助于连续控制系统中比较熟悉的设计方法另一种是借助于连续控制系统中比较熟悉的设计方法来设计控制器的结来设计控制器的结构和参数，比如采用根轨迹

24、法、频率特性法等。构和参数，比如采用根轨迹法、频率特性法等。1.1.设计假想的连续控制器设计假想的连续控制器 D(S)D(S)2. 2. 选择合适的采样周期选择合适的采样周期 根据香农采样定理，给出了从采样信号中恢复连续信号的最低采样频率根据香农采样定理，给出了从采样信号中恢复连续信号的最低采样频率： ，也即采样周期，也即采样周期 ，理论上应根据采样定理，理论上应根据采样定理来确定采样周期，但实际上，由于被控对象的物理过程和参数变化比较复来确定采样周期，但实际上，由于被控对象的物理过程和参数变化比较复杂，致使难以获得模拟信号的最高频率杂，致使难以获得模拟信号的最高频率 。并且并且采样定理仅从理

25、论上给采样定理仅从理论上给出了采样周期的上限，实际采样周期的选择还要受到实际多方面因素的制出了采样周期的上限，实际采样周期的选择还要受到实际多方面因素的制约。约。-可参考第可参考第3 3章章3.4.1.43.4.1.4。2maxffsmax/Tfmax 离散化的实质就是选择合理的离散化方法离散化的实质就是选择合理的离散化方法将原连续控制器等效成离将原连续控制器等效成离散的数字控制器。散的数字控制器。“等效等效”主要是指在以下表征控制器特性的主要指标方主要是指在以下表征控制器特性的主要指标方面相近：面相近：系统的频带、稳态增益、阶跃响应或脉冲响应形状、频率响应特系统的频带、稳态增益、阶跃响应或脉

26、冲响应形状、频率响应特性性等。等。 将连续控制器将连续控制器D(S)D(S)离散化为数字控制器离散化为数字控制器D(Z)D(Z)的方法有很多，比如的方法有很多，比如数值数值积分法积分法、差分变换法差分变换法、双线性变换法双线性变换法及及修正双线性变换法修正双线性变换法、零极点匹配法零极点匹配法、保持器等价法保持器等价法以及以及Z Z变换变换法法（脉冲响应不变法）等。（脉冲响应不变法）等。 不同的离散化方法所具有的特性不同，离散化的脉冲传递函数与原传不同的离散化方法所具有的特性不同，离散化的脉冲传递函数与原传递函数在上述几种特性方面的接近程度是不一致的。下面主要分析：递函数在上述几种特性方面的接

27、近程度是不一致的。下面主要分析： 3. 3. 连续控制器连续控制器D(S)D(S)离散化为离散化为D(Z)D(Z)(1)(1)前向差分法前向差分法(2)(2)后向差分法后向差分法(3)(3)双线性变换法双线性变换法 (1)(1)前向差分法前向差分法 利用幂级数展开可将利用幂级数展开可将Z=Z=e esTsT写成以下形式写成以下形式 Z=esT=1+sT+1+sT 由上式可得由上式可得则则D(S)D(S)离散化为离散化为D(Z)D(Z)： Tzs1z z 1 1s sT TD D( (z z) )D D( (s s) )- -= = =55前向差分法也可由数值微分中得到前向差分法也可由数值微分中

28、得到。设微分控制规律为。设微分控制规律为dttdetu)()( 两边求拉氏变换后可推导出控制器为两边求拉氏变换后可推导出控制器为采用采用前向差分前向差分近似可得近似可得上式两边求上式两边求Z变换后可推导出数字控制器为变换后可推导出数字控制器为ssEsUsD )()()(Tkekeku)()1()( =z z1 1s sT TU U ( (z z) )z z1 1E E ( (z z) )z z1 1D D ( (z z) )D D ( (s s) )E E ( (z z) )T TE E ( (z z) )T T- -= =- - -= = = =（）(2)(2)后向差分法后向差分法 利用级数

29、展开还可将利用级数展开还可将Z=Z=e esTsT写成以下形式写成以下形式 sTeeZsTsT 111Tzzs1 TzzssDzD1)()( 57后向差分法也可由数值微分中得到。后向差分法也可由数值微分中得到。设微分控制规律为设微分控制规律为dttdetu)()( 两边求拉氏变换后可推导出控制器为两边求拉氏变换后可推导出控制器为采用前向差分近似可得采用前向差分近似可得上式两边求上式两边求Z变换后可推导出数字控制器为变换后可推导出数字控制器为ssEsUsD )()()(Tkekeku)1()()( -=1 11 1z z 1 1s sT TZ ZU U( (z z) )E E( (z z) )

30、Z Z E E( (z z) )1 1Z ZZ Z1 1D D( (z z) )D D( (s s) )E E( (z z) )E E( (z z) )T TT TZ Z- - - -= =- - -= = = = =(3)(3)双线性变换法双线性变换法 2121212122sTsTsTsTeeezsTsTsT112zzTs112)()(zzTssDzD双线性变换或突斯汀（双线性变换或突斯汀（TustinTustin）近似）近似根据根据Z Z变换的定义，利用泰勒级数展开可得：变换的定义，利用泰勒级数展开可得： 双线性变换也可从双线性变换也可从数值积分的梯形法数值积分的梯形法对应得到。设积分控对

31、应得到。设积分控制规律为：制规律为： 两边求拉氏变换后可推导得出控制器为两边求拉氏变换后可推导得出控制器为当用当用梯形法求积分运算梯形法求积分运算可得算式如下可得算式如下: :上式两边求上式两边求Z Z变换后可推导得出数字控制器为变换后可推导得出数字控制器为 tdttetu0)()(ssEsUsD1)()()( )k(e)k(eT)k(udt)t (e)k(u)k(ukTT)k(12111 112111121121112 zzTs)s(DzzT)Z(TZZ)Z(T)z(E)z(U)z(De(t)0u(t)(K-1)TkT60三种变换方法的特点：三种变换方法的特点：双线性变换法双线性变换法的优点

32、在于能把左半平面转换到平面的优点在于能把左半平面转换到平面的单位圆内，所以一个稳定的连续控制系统变换之后仍将的单位圆内，所以一个稳定的连续控制系统变换之后仍将是稳定的；是稳定的； 前向差分法前向差分法则有可能把一个稳定的系统变成一个不稳则有可能把一个稳定的系统变成一个不稳定的离散控制系统；定的离散控制系统； 后向差分法后向差分法也能将一个稳定的系统变换后继续保持稳也能将一个稳定的系统变换后继续保持稳定。定。 因此在将离散化的转换中常用的有因此在将离散化的转换中常用的有后向差分法后向差分法和和双线双线性变换法性变换法，也是比较适合工程应用的方法。，也是比较适合工程应用的方法。61前向差分法的映射

33、关系前向差分法的映射关系62 后向差分法的映射关系后向差分法的映射关系63双线性变换法的映射关系双线性变换法的映射关系4. 4. 数字控制器的计算机算法实现数字控制器的计算机算法实现 数字控制器数字控制器D(Z)D(Z)的一般形式为下式，其中的一般形式为下式，其中nmnm, ,各系数各系数a ai i,b,bi i为实数，且有为实数，且有n n个极点和个极点和m m个零点。个零点。 上式用时域表示为：上式用时域表示为：nnmmzazazbzbbzEzUzD111101)()()(1201( )(1)(2)()( )(1)()nmu ka u ka u ka u knb e kbe kb e k

34、m 1211201( )() ( )() ( )nmnmU za za za zU zbb zb zE z 上式可改写为：上式可改写为：5.5.校验校验 控制器控制器D(z)D(z)设计完并求出控制算法后，须检验其闭环特设计完并求出控制算法后，须检验其闭环特性是否符合设计要求，这一步可由计算机控制系统的数字仿性是否符合设计要求，这一步可由计算机控制系统的数字仿真计算来验证，如果满足设计要求设计结束，否则应修改设真计算来验证，如果满足设计要求设计结束，否则应修改设计。计。 5.3.2 5.3.2 数字数字PIDPID控制器的设计（连续化设计）控制器的设计（连续化设计） 根据偏差的比例根据偏差的比

35、例(P)(P)、积分、积分(I)(I)、微分、微分(D)(D)进行控制进行控制( (简称简称PIDPID控制控制) )，是控制系统中应用最为广泛的一种控制规律。，是控制系统中应用最为广泛的一种控制规律。 PIDPID调节器之所以经久不衰，主要有以下优点：调节器之所以经久不衰，主要有以下优点： 1.1.技术成熟，通用性强技术成熟，通用性强 2.2.原理简单，易被人们熟悉和掌握原理简单，易被人们熟悉和掌握 3.3.不需要建立数学模型不需要建立数学模型 4.4.控制效果好控制效果好 1 1. .模拟模拟PIDPID调节器调节器 PIDPID控制规律为控制规律为K KP P为比例增益，为比例增益，T

36、Ti i为积分时间，为积分时间，T Td d为微分时间为微分时间 在工业控制中，典型的单回路在工业控制中，典型的单回路PIDPID控制如控制如下图所示：下图所示：01( )( )( )( )tpdide tu tKe te t dtTTdt其中：其中：K Kp p为比例系数，为比例系数，T Ti i为积分时间常数，为积分时间常数，T Td d为微分时间常为微分时间常数。数。 比例作用：比例作用：迅速反应误差，但不能消除稳态误差，过大容易迅速反应误差，但不能消除稳态误差，过大容易引起不稳定；引起不稳定； 积分作用：积分作用：消除静差，但容易引起超调，甚至出现振荡；消除静差，但容易引起超调，甚至出

37、现振荡； 微分作用：微分作用：减小超调，克服振荡，提高稳定性，改善系统的减小超调，克服振荡，提高稳定性，改善系统的动态特性。动态特性。拉氏变换求传递函数拉氏变换求传递函数2.2.数字数字PIDPID控制器控制器 在计算机控制系统中，由于是离散控制，控制器每隔一个控制周在计算机控制系统中，由于是离散控制，控制器每隔一个控制周期进行一次控制量的计算并输出到执行机构，因此要实现期进行一次控制量的计算并输出到执行机构，因此要实现PIDPID控制，控制，必须将模拟必须将模拟PIDPID算式离散化，使用数字算式离散化，使用数字PIDPID控制器是用计算机软件来实控制器是用计算机软件来实现现PIDPID控制

38、规律的。控制规律的。 当当采样周期足够小时采样周期足够小时，用求和代替积分用求和代替积分，用后向差分代替微分用后向差分代替微分，就可以将模拟就可以将模拟PIDPID离散化为数字离散化为数字PIDPID算法。算法。00( )( )ktie t dtTe i( )( )(1)de te ke kdtT(1)(1)数字数字PIDPID位置型控制算式位置型控制算式0( )(1)( ) ( )( )kpdiiTe ke ku kKe ke iTTT01( )( )( )( )tpdid e tutKe te td tTTd t(2)(2)数字数字PIDPID增量型控制算式增量型控制算式( )( )(1)

39、 ( )(1)( ) ( )2 (1)(2)PIDu ku ku kK e ke kK e kK e ke ke k可知可知k k采样时刻计算机的实际输出控制量为采样时刻计算机的实际输出控制量为( )(1)( )u ku ku k 为进一步编程方便，可以整理得到：为进一步编程方便，可以整理得到： 其中其中 在编写程序时，可以根据事先确定的比例系数、积分系数在编写程序时，可以根据事先确定的比例系数、积分系数和微分系数，计算出和微分系数，计算出A A 、B B 、 C C，存入内存单元即可。，存入内存单元即可。)2() 1()()(kCekBekAeku2(1)(1)dddpppiTTTTAKBK

40、CKTTTT （5.59）增量型数字增量型数字PIDPID控制算法流程控制算法流程 3 3. .两种标准数字两种标准数字PIDPID控制算法比较控制算法比较增量型算法优点：增量型算法优点： (1)(1)增量算法增量算法不需要做累加不需要做累加，仅与最近几次误差采样值有仅与最近几次误差采样值有关，关，累积误差影响较小。而位置算法要用到过去的误差的累加累积误差影响较小。而位置算法要用到过去的误差的累加值，容易产生大的累加误差。值，容易产生大的累加误差。 (2)(2)增量式算法得出的是控制量的增量，系统工作会更安增量式算法得出的是控制量的增量，系统工作会更安全。一旦计算机出现故障，会使控制信号全。一

41、旦计算机出现故障，会使控制信号 为零，此时执行为零，此时执行机构的位置仍能保持前一步的位置机构的位置仍能保持前一步的位置u u（k-1) k-1) ，因此，因此对系统安全对系统安全不会有大的影响不会有大的影响。但是增量式算法需要有相配合的具有记忆的。但是增量式算法需要有相配合的具有记忆的执行机构，比如步进电机。执行机构，比如步进电机。 (3)(3)采用增量算法，易于实现手动到自动的无冲击切换。采用增量算法，易于实现手动到自动的无冲击切换。( )u k 一般认为，采用调节阀、伺服电动机一般认为，采用调节阀、伺服电动机等执行器等执行器，应采，应采用用位置式算法位置式算法来表征执行机构的具体位置；来

42、表征执行机构的具体位置； 而执行机构如果是步进电机时应采用而执行机构如果是步进电机时应采用增量式算法增量式算法来表来表征，控制器输出的控制量是相对于上次增加的控制量。征，控制器输出的控制量是相对于上次增加的控制量。1.1.积分分离积分分离PIDPID控制算法控制算法2.2.不完全微分不完全微分PIDPID控制算法控制算法3.3.微分先行微分先行PIDPID控制算法控制算法4.4.带死区的带死区的PIDPID控制算法控制算法5.5.提高积分项积分的精度提高积分项积分的精度5.3.35.3.3 数字数字PIDPID控制器算法的改进控制器算法的改进1.1.积分分离积分分离PIDPID控制算法控制算法

43、 在过程的启动、结束或大幅度增减设定值时在过程的启动、结束或大幅度增减设定值时，短时间内，短时间内系统输出有很大的偏差，会造成系统输出有很大的偏差，会造成PIDPID运算的运算的积分积累积分积累。由于。由于系统的惯性和滞后，在积分累积项的作用下，往往会系统的惯性和滞后，在积分累积项的作用下，往往会产生较产生较大的超调和长时间的波动大的超调和长时间的波动。特别对于温度、成份等变化缓慢。特别对于温度、成份等变化缓慢的过程，这一现象更为严重。为此，可采用积分分离措施：的过程，这一现象更为严重。为此，可采用积分分离措施： 偏差偏差e(ke(k) )较大时，取消积分作用；较大时，取消积分作用； 偏差偏差

44、e(ke(k) )较小时，将积分作用投入。较小时，将积分作用投入。积分的作用？积分的作用？消除残差，提高精度消除残差，提高精度积分分离积分分离阈值阈值取值时注意：取值时注意： 积分分离积分分离PIDPID的偏差阈值的偏差阈值作为控制算法中的一个可调参作为控制算法中的一个可调参数，应根据具体对象的特性以及控制要求来决定，既不能过大，数，应根据具体对象的特性以及控制要求来决定，既不能过大，也不能过小。也不能过小。 若若值过大值过大，达不到积分分离的目的；，达不到积分分离的目的； 若若值过小值过小，一旦被控量，一旦被控量y(ty(t) )无法跳出积分分离区，始终无法跳出积分分离区，始终不能启用积分作

45、用，只进行不能启用积分作用，只进行PDPD控制，将会出现残差。控制，将会出现残差。 图图5.5.8 8 积分分离积分分离PIDPID控制效果图控制效果图2.2.微分项的改进微分项的改进 微分作用有助于控制系统减小超调，克服振荡，使系统趋于稳定，微分作用有助于控制系统减小超调，克服振荡，使系统趋于稳定，同时还能加快系统动作，减小调整时间，有利于改善系统的动态性能。同时还能加快系统动作，减小调整时间，有利于改善系统的动态性能。但，但， 对于具有高频扰动的生产过程，对于具有高频扰动的生产过程，由于标准由于标准PIDPID控制算式中的微分作控制算式中的微分作用过于灵敏，容易引起控制过程振荡，降低了调节

46、品质。用过于灵敏，容易引起控制过程振荡，降低了调节品质。 另外对每个控制回路计算机的控制输出是短暂的，而执行机构的另外对每个控制回路计算机的控制输出是短暂的，而执行机构的动作需要一定的时间来完成，动作需要一定的时间来完成，如果输出值较大，执行机构在短暂的时间如果输出值较大，执行机构在短暂的时间内一下子达不到应有的相应开度，输出将会失真。内一下子达不到应有的相应开度，输出将会失真。 d( )(1)( )pde ke ku kK TT如：如：当当e e（k k）为阶跃函数时，）为阶跃函数时，微分项的输出仅在第一个周期起激励作用，微分项的输出仅在第一个周期起激励作用，对于时间常数较大的系统，其调节作

47、用很小，不能达到超前控制误差的目对于时间常数较大的系统，其调节作用很小，不能达到超前控制误差的目的。而且在第一个周期微分作用太大，在短暂的输出时间内，执行器达不的。而且在第一个周期微分作用太大，在短暂的输出时间内，执行器达不到应有的相应开度，会使输出失真。到应有的相应开度，会使输出失真。 因此，我们需要对微分项进行改进。主要有以下因此，我们需要对微分项进行改进。主要有以下两种方法：两种方法： (1)(1)不完全微分不完全微分PIDPID控制算法控制算法 (2)(2)微分先行微分先行PIDPID控制算法控制算法( (1 1) )不完全微分不完全微分PIDPID控制算法控制算法 可以在可以在PID

48、PID控制器之后串联一个低通滤波器控制器之后串联一个低通滤波器，也可以在微分也可以在微分部分串联一个低通滤波器部分串联一个低通滤波器，这就组成了不完全微分，这就组成了不完全微分PIDPID控制算法控制算法。如图。如图5.95.9所示。所示。作用：消除高频干作用：消除高频干扰扰（微分作用响应微分作用响应过于灵敏，容易引过于灵敏，容易引起震荡起震荡），延长微，延长微分作用的时间分作用的时间f ff f1 1G (s)G (s)T s1T s1= =+ +在单位阶跃输入时输出的控制作用在单位阶跃输入时输出的控制作用u su su ku k1kkTf ff ff ff f( ( ) )1 1G G (

49、 (s s) )( ( ) )T T s s1 1d du u( (t t) )T Tu u( (t t) )u u ( (t t) )d dt t( ( ) )( () )T Tu u( ( ) )u u ( ( ) )= = = = = + + + += = - - - + += =拉氏反变换拉氏反变换用后向差分法近似微分项用后向差分法近似微分项由上式可得：由上式可得：)()1 () 1()()()(kukukukukuTTT1TTTfff其中：其中：TTTff0i 01( )( )( )( )T(k)(k)e(i)(e(k)e(k1)TtPdikdPide tu tKe te t dtT

50、TdtTuKeT综上所述，在单位阶跃输入时输出的控制作用：综上所述，在单位阶跃输入时输出的控制作用：（1 1）标准标准PIDPID的控制品质比较差，的控制品质比较差，因为微分作用仅仅局限于第一个因为微分作用仅仅局限于第一个采样周期，并且有一个大幅度的输出。一般工业用的执行机构，无采样周期，并且有一个大幅度的输出。一般工业用的执行机构，无法在较短的采样周期内跟踪较大的微分作用输出，而且理想微分很法在较短的采样周期内跟踪较大的微分作用输出，而且理想微分很容易引进高频干扰。容易引进高频干扰。（2 2）不完全微分不完全微分PIDPID的控制品质较好，的控制品质较好，因为微分作用能缓慢地持续因为微分作用

51、能缓慢地持续多个采样周期，使得一般的工业用执行机构能够较好地跟踪微分作多个采样周期，使得一般的工业用执行机构能够较好地跟踪微分作用的输出。并且由于不完全微分用的输出。并且由于不完全微分PIDPID算式中含有一个低通滤波器，具算式中含有一个低通滤波器，具有滤波的能力，因此系统的抗干扰能力也比较强。有滤波的能力，因此系统的抗干扰能力也比较强。( (2 2) )微分先行微分先行PIDPID控制算法控制算法 为了避免给定值的升降为了避免给定值的升降给控制系统带来冲击，如超调给控制系统带来冲击，如超调量过大，调节阀动作剧烈，可量过大，调节阀动作剧烈，可采用微分先行采用微分先行PIDPID控制方案。控制方

52、案。 微分先行微分先行PIDPID控制与普通控制与普通PIDPID控制的不同之处是：控制的不同之处是：只对系统的只对系统的反馈量进行微分，而不对偏差微分，即对给定值无微分作用。反馈量进行微分，而不对偏差微分，即对给定值无微分作用。对于串级控制的副回路而言：对于串级控制的副回路而言：由于副控制回路的给定值是由由于副控制回路的给定值是由主控制器给定的，也应该对其作微分处理，主控制器给定的，也应该对其作微分处理，因此微分先行因此微分先行PIDPID这这种方法不适用种方法不适用。3.3.带死区的带死区的PIDPID控制算法控制算法 死区死区是一个可调参数，其具体数值可根据实际控制对象由实是一个可调参数

53、，其具体数值可根据实际控制对象由实验确定。验确定。 值太小值太小，使调节过于频繁，达不到稳定被调节对象的目的；，使调节过于频繁，达不到稳定被调节对象的目的； 取的太大，取的太大，则系统将产生很大的滞后；则系统将产生很大的滞后； =0=0，即为常规，即为常规PIDPID控制。控制。 该系统实际上是一个非线性控制系统。该系统实际上是一个非线性控制系统。即当偏差绝对值即当偏差绝对值e(k)时，时，P(k)为为0； 当当e(k)时，时， P(k)=e(k)，输出值，输出值u(k)以以PID运算结果输出。运算结果输出。 )k( e)k( y)k( r,0)k( e)k( y)k( r),k( e)k(P

54、当当4.4.提高积分项积分的精度提高积分项积分的精度矩形矩形积分积分梯形梯形积分积分kitTieieedt002) 1()()(ieTedtk0it0 改进原因：减小残差，提高积分项的运算精度。改进原因：减小残差，提高积分项的运算精度。 改进方法：矩形积分改为梯形积分。改进方法：矩形积分改为梯形积分。 1.1.采样周期采样周期T T 的确定的确定2.2.扩充临界比例度法扩充临界比例度法3.3.扩充响应曲线法扩充响应曲线法4.PID4.PID归一参数整定法归一参数整定法5.5.试凑法试凑法5.3.4 5.3.4 数字数字PIDPID控制器参数控制器参数的整定的整定1.1.采样周期的选择采样周期的

55、选择 可参考第可参考第3 3章章3.4.1.43.4.1.4 扩充临界比例度法扩充临界比例度法-对模拟调节器中使用的临界比例度对模拟调节器中使用的临界比例度法的扩充和推广法的扩充和推广 。 整定数字控制器参数的步骤：整定数字控制器参数的步骤： 选择一个足够短的采样周期：选择一个足够短的采样周期：一般选择被控对象纯滞一般选择被控对象纯滞后时间的十分之一。后时间的十分之一。 去掉积分与微分作用，去掉积分与微分作用，逐渐较小比例度逐渐较小比例度(=1/k=1/kp p），），直到系统发生持续等幅振荡。此时的比例度即为临界比例度直到系统发生持续等幅振荡。此时的比例度即为临界比例度k k，振荡周期称为临

56、界振荡周期振荡周期称为临界振荡周期T Tk k 。2. 2. 扩充临界比例度法扩充临界比例度法 选择控制度选择控制度 控制度的定义就是数字控制系统与对应的模拟控制系控制度的定义就是数字控制系统与对应的模拟控制系统所对应的过渡过程的误差平方的积分之比，采用误差平方统所对应的过渡过程的误差平方的积分之比，采用误差平方积分表示。积分表示。 控制度控制度 控制度的指标含意：控制度的指标含意：控制度控制度=1.05=1.05，数字控制效果与模拟，数字控制效果与模拟控制效果相当；当控制度为控制效果相当；当控制度为2.02.0时，数字控制比模拟控制的控时，数字控制比模拟控制的控制质量差一倍。制质量差一倍。

57、根据选定的控制度根据选定的控制度，查表，查表5.45.4求得求得T T、kpkp、TiTi、TdTd的的值。值。2020( )( )e t dte t dt数字控制模拟控制 校验：校验：根据所求得的参数，将系统投入运行，观察控根据所求得的参数，将系统投入运行，观察控制效果，如果效果性能欠佳，可适当加大比例度，重新求取制效果，如果效果性能欠佳，可适当加大比例度，重新求取各个参数，继续观察控制效果，直到得到满意的控制效果。各个参数，继续观察控制效果，直到得到满意的控制效果。3. 3. 扩充响应曲线法扩充响应曲线法 扩充响应曲线法扩充响应曲线法是对模拟调节器中使用的响应曲线法的扩是对模拟调节器中使用

58、的响应曲线法的扩充充，它是建立在已知系统的动态特性的基础上，也，它是建立在已知系统的动态特性的基础上，也是一种实验是一种实验经验法经验法。其整定步骤如下。其整定步骤如下。 数字控制器不接入控制系统，让系统处于手动操作状态数字控制器不接入控制系统，让系统处于手动操作状态下，将被调量调节到给定值附近，并使之稳定下来。然后突然下，将被调量调节到给定值附近，并使之稳定下来。然后突然改变给定值，给对象一个阶跃输入信号。改变给定值，给对象一个阶跃输入信号。 用仪表记录被调量在阶跃输入下的整个变化过程曲线。用仪表记录被调量在阶跃输入下的整个变化过程曲线。 在曲线最大斜率处作切线，求得滞后时间在曲线最大斜率处

59、作切线，求得滞后时间，被控对象时，被控对象时间常数间常数T T以及它们的比值以及它们的比值T T。 选择某一控制度，查表选择某一控制度，查表5.55.5即可得数字控制器的即可得数字控制器的K KP P、T Ti i、T Td d及采样周期及采样周期T T。 已知增量型已知增量型PIDPID控制的公式为：控制的公式为： 如令如令T=0.1Tk;TI=0.5Tk;TD=0.125Tk。式中。式中Tk为纯比例作用为纯比例作用下的临界振荡周期。下的临界振荡周期。 则则: : u(ku(k)= )= K KP P2.45e(k)-3.5e(k-1)+1.25e(k-2)2.45e(k)-3.5e(k-1

60、)+1.25e(k-2) 这样，要整定的四个参数就简化为只要整定一个参数这样，要整定的四个参数就简化为只要整定一个参数K KP P。在线调整改变在线调整改变K KP P，观察控制效果，直到满意为止。该法为实现，观察控制效果，直到满意为止。该法为实现简易的自整定控制带来方便。简易的自整定控制带来方便。 4. PID4. PID归一参数整定法归一参数整定法( ) ( )(1)( ) ( )2 (1)(2)dPiTTu kKe ke ke ke ke ke kTT 试凑法是通过模拟或实际的系统闭环运行情况，观试凑法是通过模拟或实际的系统闭环运行情况，观察系统的响应曲线，然后再根据各调节参数对系统响应