常微分方程第一章

1、 第一章第一章 绪论绪论l1.1 微分方程的例子微分方程的例子l1.2 微分方程的基本概念微分方程的基本概念l1.3 微分方程论的问题微分方程论的问题l在自然科学和工程技术中许多现象都可以在自然科学和工程技术中许多现象都可以用微分方程作为其数学模型描述它。下面用微分方程作为其数学模型描述它。下面我们介绍有关方面的几个实例。我们介绍有关方面的几个实例。1.1 微分方程的例子微分方程的例子l例一：一容器在开始时盛有盐水例一：一容器在开始时盛有盐水100升，其中含升，其中含净盐净盐10千克。现以每分钟千克。现以每分钟3升的速率注入清水，升的速率注入清水，同时以每分钟同时以每分钟2升的速率将冲淡的溶液

2、放出。容升的速率将冲淡的溶液放出。容器中装有搅拌器使容器中的溶液保持均匀。求器中装有搅拌器使容器中的溶液保持均匀。求过程开始后一小时溶液的含盐量。过程开始后一小时溶液的含盐量。解：设在过程开始后解：设在过程开始后t分钟容器内含盐分钟容器内含盐 千克，我们千克，我们求求x与与t的函数关系式。因为在的函数关系式。因为在t时刻，容器内的时刻，容器内的溶液为溶液为 故此时溶液的浓度为故此时溶液的浓度为 ttt 10023100)/(tx升升千千克克 100 xtdtt tx 100 考察从考察从到到这一小段时间。这一小段时间。dtdttx2100 txdtdx 1002在这段时间内，放出的溶液为在这段

3、时间内，放出的溶液为2升，因为时间短，浓度改变很小，所以可以认为浓度升，因为时间短，浓度改变很小，所以可以认为浓度保持不变，于是放出的溶液中含盐量微元保持不变，于是放出的溶液中含盐量微元 于是得到微分方程于是得到微分方程为为 tdtxdx 1002cln)tln(xln 10022100)t(cx 100 t|x510 cxt把它改写为把它改写为 两边积分得两边积分得 故有故有 由题意知道初值条件由题意知道初值条件是是，将其代入上式得，将其代入上式得，因此得到，因此得到与与的函数关系式的函数关系式2510010)t(x 因此可知，在过程开始后一小时，亦即当因此可知，在过程开始后一小时，亦即当时

4、时分分)(t60 容器内溶液的含盐量为容器内溶液的含盐量为 93160102560.|xt 返回例例2R-L-C电路电路 R-L-C电路是由电阻电路是由电阻R、电感、电感L、电容、电容C和电源和电源e(t)串联组成的串联组成的电路，其中电路，其中R，L及及C为常数，电源电动势为常数，电源电动势E=e(t)是时间的已知是时间的已知函数。试建立当开关函数。试建立当开关K合上后电路中的电流强度随时间变化关合上后电路中的电流强度随时间变化关系。系。 解解 当开关当开关 合上后，电路中经过电感合上后，电路中经过电感 、电阻、电阻 和电容和电容设两极板间的电压为设两极板间的电压为 ，电感电动势电感电动势

5、，电流强度为，电流强度为 ，即，即 由基尔霍夫第二定律知由基尔霍夫第二定律知 微分此式则有微分此式则有 KLRCU.dtdILE,C)t (QU,dtdQIl ,C)t (QRIdtdIL)t (e ,dt)t (deCIdtdIRdtIdL 22lEI这就是开关合上后电路中电流随时间的变化规律。这就是开关合上后电路中电流随时间的变化规律。 特别地，当电源电动势特别地，当电源电动势 为常数为常数 ，则方程变为，则方程变为)t (e,LCIdtdILRdtId022 若电路中还不含电阻即若电路中还不含电阻即 ，则方程变为，则方程变为0 R,LCIdtId022 3单摆（力学模型）单摆（力学模型）

6、 数学摆是系于一根长度为数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为的线上而质量为m的质点的质点M，在重力在重力mg的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，试确定摆的运动方程。试确定摆的运动方程。 设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角 的正方向。质点的正方向。质点M沿圆周切向速度沿圆周切向速度 可以表示为可以表示为 。作用于质点作用于质点M的重力的重力mg将摆拉回平衡位置将摆拉回平衡位置A。把重力。把重力mg分分解为两个分量解为两个分量 和和 ，第一个分量，第一个分量 沿着半径沿着半径OM的的方向

7、，与线的拉力相抵消，它不会引起质点的速度方向，与线的拉力相抵消，它不会引起质点的速度 的数值的数值的改变。第二个分量的改变。第二个分量 沿着圆周的切线方向，它引起质点沿着圆周的切线方向，它引起质点的速度的速度 的数值的改变。因为的数值的改变。因为 总总 是使质点是使质点 M向着平衡向着平衡位置位置A的方向运动，既当的方向运动，既当 角为正时，向减少角为正时，向减少 的方向运的方向运动；当角动；当角 为负时，向增大为负时，向增大 的方向运动，所以的方向运动，所以 的数的数值等于值等于 。因此，摆的运动方程是因此，摆的运动方程是 dtdl QMPMQMPM PM PM sinmg sinmgdtd

8、m即即 只研究摆的微小振动，既当只研究摆的微小振动，既当 比较小时的情况，我们比较小时的情况，我们可以取可以取 的近似值的近似值 代入方程，这样得到微小代入方程，这样得到微小振动时摆的运动方程振动时摆的运动方程 如果我们假设摆是在粘性的介质中摆动，那末沿着摆的如果我们假设摆是在粘性的介质中摆动，那末沿着摆的运动方向就存在一个与速度成比例的阻力。如果阻力系数运动方向就存在一个与速度成比例的阻力。如果阻力系数是是 ，则摆的运动方程变为，则摆的运动方程变为 sinlgdtd22 sin022 lgdtd 022 lgdtdmdtd如果沿着摆的运动方向恒有一个外力如果沿着摆的运动方向恒有一个外力 作用

9、于它，这时摆作用于它，这时摆的运动称为强迫微小振动，其方程为的运动称为强迫微小振动，其方程为 当要确定摆的某一特定运动时，我们应该给出摆的初始状态当要确定摆的某一特定运动时，我们应该给出摆的初始状态这里这里 代表摆的初始位置，代表摆的初始位置， 代表摆的初始角速度。代表摆的初始角速度。)t(F)t (Fmllgdtdmdtd122 000 dtd,t0 0 返回2 微分方程的基本概念微分方程的基本概念l1常微分方程与偏微分方程常微分方程与偏微分方程l2.线性和非线性线性和非线性l3解和隐式解（积分）解和隐式解（积分） l4.通解、定解问题和特解通解、定解问题和特解l5.驻定、非驻定方程组驻定、

10、非驻定方程组l6.相空间，奇点和轨线相空间，奇点和轨线l7.一阶方程解的几何意义一阶方程解的几何意义 返回返回1常微分方程与偏微分方程常微分方程与偏微分方程 所谓微分方程就是联系着自变量、未知函所谓微分方程就是联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式。如果在微分方数以及它的导数的关系式。如果在微分方程中，自变量只有一个，称这种方程为常程中，自变量只有一个，称这种方程为常微分方程；如果自变量的个数多于一个，微分方程；如果自变量的个数多于一个，两个或两个以上这样的微分方程称为偏微两个或两个以上这样的微分方程称为偏微分方程。分方程。 经常出现在实际问题中的微分方程有以下经常出现在实际问题中的微分方

11、程有以下几种：几种：)()()(2xryxqyxpdxdy 0)(22222 ynxdxdyxdxydx0222222 zuyuxu)(2222222zuyuxuatu )(222222222zuyuxuatu （Riccati方程）方程）（n阶阶Bessel方程）方程） (Laplace方程方程) (热传导方程热传导方程) （波动方程）（波动方程） 其中前两个是常微分方程，后三个是偏微分其中前两个是常微分方程，后三个是偏微分方程。本书中我们着重研究常微分方程，为简单方程。本书中我们着重研究常微分方程，为简单起见，今后将常微分方程简称为微分方程或方程。起见，今后将常微分方程简称为微分方程或方程

12、。在微分方程中，必定含有不可缺少的项是未知函在微分方程中，必定含有不可缺少的项是未知函数关于自变量的导数，否则不为微分方程，其中数关于自变量的导数，否则不为微分方程，其中出现的最高阶数称为该微分方程的阶数。出现的最高阶数称为该微分方程的阶数。 一般一般n阶微分方程具有形式阶微分方程具有形式 但在实际讨论中，常将其写成所谓的标准形式但在实际讨论中，常将其写成所谓的标准形式).()dxyd,dxdy,y,x(Fnn110 )dxyd, y,x(fdxydnnnn11 返回2.线性和非线性线性和非线性nndxyddxdyy,n).()()()()(1)1(1)(0 xfyxayxayxayxannn

13、n sin22lgdtd 若方程式（若方程式（1.1）中的函数）中的函数F关于关于是一次有理整式，则称其为是一次有理整式，则称其为阶线性微分方程，阶线性微分方程，不是线性方程的方程称为非线性方程。例如不是线性方程的方程称为非线性方程。例如 为非线性方程。为非线性方程。 它的一般形式为它的一般形式为 返回3解和隐式解（积分）解和隐式解（积分）)(xfy )(xfy 如果函数如果函数代入方程代入方程(1.1)后，能使它变为恒等式，后，能使它变为恒等式，为方程（为方程（1.1）的解。）的解。则称函数则称函数 0),( yx)(xfy 0),( yx 但有时却遇到所求方程的解无法写成显式，而关系式但有

14、时却遇到所求方程的解无法写成显式，而关系式决定的隐函数决定的隐函数是方程的解，则称是方程的解，则称为方程为方程(1.1)的隐式解。的隐式解。这种隐式解也称为方程（这种隐式解也称为方程（1.1）的积分。）的积分。无论是显式解还是隐式解我们不加区分地称为方程的解。无论是显式解还是隐式解我们不加区分地称为方程的解。 如果在解的表达式中含有无法用初等函数表示的积分，如果在解的表达式中含有无法用初等函数表示的积分，我们仍然称它为函数的解。我们仍然称它为函数的解。 返回返回4.通解、定解问题和特解通解、定解问题和特解返回返回返回返回5. 微分方程组，驻定与非驻定方程组微分方程组，驻定与非驻定方程组 由两个

15、或两个以上的常微分方程构成的方程组。由两个或两个以上的常微分方程构成的方程组。 如果右端不显含时间如果右端不显含时间 ，如，如 （1.2）称为驻定方程组。如果右端含时间称为驻定方程组。如果右端含时间 ，如，如 （1.3）则称为非驻定方程组。则称为非驻定方程组。 )y,x(Ydtdy)y,x(Xdtdx )y,x, t (Ydtdy)y,x, t (Xdtdxt6.相空间，奇点和轨线相空间，奇点和轨线对于系统（对于系统（1.2），如果），如果 是它的解，是它的解，在在 空间它表示一条曲线，此曲线称为（空间它表示一条曲线，此曲线称为（1.2）的一）的一条条积分曲线积分曲线。将此曲线投影到。将此曲线

16、投影到 平面得到的曲线称平面得到的曲线称为其为其轨线轨线。将时间。将时间 作为参数，作为参数， 平面称为相平面，平面称为相平面，当维数高于当维数高于2时称为相空间。时称为相空间。 使得使得 的点的点 称为（称为（1.2）的奇点。）的奇点。 )t (yy),t (xx )y,x(t)y,x(000000 )y,x(y,)y,x(x)y,x, t ()y,x(007.一阶方程解的几何意义一阶方程解的几何意义l1积分曲线积分曲线l2. 切线场切线场返回返回例例4 等斜线等斜线 是双曲线。特别当是双曲线。特别当 时双曲线退化时双曲线退化为一对直线为一对直线 和和 。即在。即在 轴和轴和 轴上轴上积分曲线有相同的切线方向。积分曲线有相同的切线方向。 进一步考虑积分曲线的极值点和拐点。令进一步考虑积分曲线的极值点和拐点。令