（精心整理）中考专题之与三角形有关的辅助线

1、 第一节 等腰三角形常用的辅助线例1、文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作ABC的角平分线AD”。数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的做法是正确的，而文文的做法需要订正。”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程。例2、如图，已知ADBC，AB=ADBC，E为DC的中点。求证：ABE=CBE。例3、已知：如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，在CD延长线上取一点F，使FE=FC，E

2、F交AD于P。求证：AE=2DF。 连接CE，取CE中点HFHE全等于FHC，FH垂直于CE角BEC=角ECFCE/EB=CF/CH=根号5CF=根号5*CH=根号5*CE/2=根号5*根号5*BE/2=BE*5/2=AB*5/4DF=CF-CD=AB/4=AB/2*1/2=AE*1/2例4、已知：如图，在ABC中，AB=AC，D点在AB上，E在AC延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于点F。求证：DF=EF。DF=EF证明如下：过点D作平行于BC的直线交AC于点G因为AB=AC；DG/BC所以BD=CG又BD=CE，故CG=CE又因为CF/DG所以CF是三角形DEG的中位线所以F是DE的中

3、点所以DF=EF综合演练：1、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD、CD上的两个动点，且满足AECF=2。（1）求证：BDEBCF；（2）判断BEF的形状，并说明理由；（3）设BEF的面积为S，求S的取值范围。（1）AE+CF=2=CD=DF+CFAE=DFAB=BDA=BDF=60BDE全等于BCF（2）由（1）得BE=BF且EBF=EBD+DBF=EBD+ABE=ABD=60BEF是等边三角形（3）33/4=S=3 第二节 直角三角形常用的辅助线例1、如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，AD是BAC的平分线，求证：ACCD=AB。例2、如图，AC=BD，ADA

4、C，BDBC，求证：AD=BC。综合演练：1、如图，CD是斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处。则A等于（ ） A、25 B、30 C、45 D、602、如图（1），ABC的边BC在直线上，ACBC，且AC=BC；EFP的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，且EF=FP。（1）在图（1）中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线向左平移到图（2）所示的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。（3）将EFP沿直线向左平移到图（3）所示的位置时，EP的延长

5、线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ。你认为图（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。3、如图，在锐角ABC中，BE、CF是高，在BE、CF或其延长线上分别截取CP=AB，BQ=AC，分别过P、Q作PMBC、QNBC，M、N是垂足，求证：PMQN=BC。 第三节 全等三角形的辅助线例1、已知：如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC边上一点，BE与AD交于F，若AE=EF。求证：AC=BF。例2、（1）已知：如图（1）在四边形ABCD中，BCAB，AD=CD，BD平分ABC。求证：BADC=180。 （2）已知：如图（2）在AB

6、C中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：BAD=DACC。例3、已知：如图，在ABC中，AB=AC，BAC=80，P为ABC内一点，若PBC=10，PCB=30，求PAB的度数。例4、已知：如图，BD是四边形ABCD的ABC的平分线，ABCD=180。求证：AD=DC。例5、已知：如图，在ABC中，DEGFBC，且AD=GB。求证：AE=CF。例6、已知：如图，P为AOB平分线OP上一点，PCOA于C，OAPOBP=180。求证：AOBO=2OC。例7、如图，在ABC中，B=60，AD、CE是ABC的角平分线，且交于点O。求证：AC=AECD。综合演练：1、操作：如图，ABC是正

7、三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连结MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。说明：（1）如果你经历反复探究，没有找到解决问题上的方法，请你把探究过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。AN=NC（如图）；DMAC（如图）。附加题：若点M、N分别是射线AB、AC上的点，其他条件不变，再探索线段BM、MN、NC之间的关系，在图中画出图形，丙说明理由。 2、如图，两个全等的含30，60的三角形ADE和ABC，E

8、、A、C在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由。3、如图，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图），量得他们的斜边长为10，较小锐角为30，再将这两张三角形纸片摆成如图所示的形状，但点B、C、F、D在同一直线上，且点C与点F重合。（在图至图中统一用F表示）。小明在对这两张三角形纸进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。（1）将图中的ABF沿BD向右平移到图的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离。（2）将图中的ABF绕点F顺时针方向旋转30到图的位置，交DE于点G，请你求出线段FG的长度。（3）将图中的ABF沿直线AF翻

9、折到图的位置，AB交DE于点H，请证明：AH=DH。 4、已知：点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。（1）如图（1），若点O在边BC上，求证：AB=AC；（2）如图（2），若点O在ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示。 （1） （2）5、请阅读下列材料：问题：如图（1），在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC。若ABC=BEF=60，探究PG与PC的位置关系及的值。小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。请你参考小聪同学的

10、思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图（1）中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图（2）。你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。（3）若图（1）中ABC=BEF=，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题的其他条件不变，请你直接写出的值。（用含的式子表示） （1） （2） 第四节 相似三角形中常用的辅助线例1、如图，ABC中，点D、E在BC上，且BD=DE=EC，又AB上的中线CF分别交AD、AE于G、H，求FG：GH：H

11、C。例2、如图，ABCD中，点E在AB上，AE=2BE。点F是BC的中点，连结EF交对角线BD于点G。求：BG：BD的值。例3、已知：如图，过ABC的顶点C任作一条直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。求证：AE：ED=2AF：FB。例 4、如图，ABC中，AB=8，AC=6，点D在AB上，且AD=2。试在边AC上找一点E，使ADE与原三角形（ABC）相似，求AE的长。例5、如图，ABC中，C=90，AB=5，AC=4，点D在AB的延长线上，且BD=AB，动点P在线段BC上移动，作直线DP交AC于点E。设BP=，AE=。（1）求关于的函数解析式及定义域；（2）当PB为何值时，直线DP恰将A

12、BC的面积平分？例6、如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，矩形DEFG的顶点D在AB上，E、F在BC上，G在AC上。（1）设BE=，求与之间的函数关系式和自变量的取值范围。（2）连结EG，当取何值时，EGAB？求此时矩形DEFG的面积。例7、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，BC=8，AB=12，AD=。试问：能否在边AB上找到点P，使得ADP与BCP相似？并说明的取值对点P的个数是否有影响，请加以说明。例8、如图，在ABC内有一点O，连结AO、BO、CO并分别延长后与BC、CA、AB相交于点D、E、F。求证：。综合演练：1、已知：如图，在ABC中，D为AB边上一点，A=

13、36，AC=BC，。（1）试说明：ADC和BDC都是等腰三角形；（2）若AB=1，求AC的值；（3）试构造一个等腰梯形，该梯形连同它的两条对角线，得到了8个三角形，要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形。（标明各角的度数）2、如图所示，一段街道的两边缘所在的直线分别为AB、PQ，并且ABPQ。建筑物的一端DE所在的直线MNAB于点M，交PQ于点N。小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮。（1）请你在图纸中画出小亮恰好看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）（2）已知MN=20，MD=8，PN=24，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM。3、已知：如图

14、（1），在中，C=90，AC=4，BC=3，点P由B出发沿BA向点A匀速运动，速度为1；点Q由A出发沿CA方向向点C匀速运动，速度为2；连结PQ。若设运动的时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，PQBC？（2）设AQP的面积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图（2），连结PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由。 （1） （2）4、如图，四边形ABCD为一梯形纸片，ABCD，AD=BC，翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF，已知CEAB。（1）求证：EFBD