第七章 机器人运动学

1、第七章 机器人运动学 n机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考系的运动作为时间的函数进行分析研究，而不考虑引起这些运动的力和力矩n将机器人的空间位移解析地表示为时间的函数，特别是研究机器人关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿态之间的关系n本章将讨论机器人运动学几个具有实际意义的基本问题。 机器人技术及空间应用机器人技术及空间应用7.1 机器人运动学所讨论的问题 7.1.1 研究的对象机器人从机构形式上分为两种，一种是关节式串联机器人，另外一种是并联机器人。PUMA560HexapodFanuc manipulator7.1.2 运动学研究的问题Where is my hand?Direct

2、 KinematicsHERE!How do I put my hand here?Inverse Kinematics: Choose these angles!运动学逆问题运动学正问题关节角杆件参数末端执行器运动学正问题关节角杆件参数研究的两类问题:n运动学正问题-已知杆件几何参数和关节角矢量，求操作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐次变换问题）。n运动学逆问题-已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位置），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的条件？7.2 机器人杆件，关节和它们的

3、参数 7.2.1 杆件与关节n操作机由一串用转动或平移（棱柱形）关节连接的刚体（杆件）组成n每一对关节杆件构成一个自由度，因此N个自由度的操作机就有N对关节杆件。n0号杆件（一般不把它当作机器人的一部分）固联在机座上，通常在这里建立一个固定参考坐标系，最后一个杆件与工具相连n关节和杆件均由底座向外顺序排列，每个杆件最多和另外两个杆件相联，不构成闭环。 关节：n一般说来，两个杆件间是用低副相联的n只可能有6种低副关节：旋转（转动）、棱柱（移动）、圆柱形、球形、螺旋和平面，其中只有旋转和棱柱形关节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所示：旋转旋转棱柱形棱柱形柱形柱形球形球形螺旋形螺旋形平面

4、平面AiAi+1Ai-1 杆件参数的定义 、 、 和n l 和 l在 A 轴 线上的交点之间 的距离。iidiAiAi+1iilid1iliAi-1idn l 和和 l之间的夹之间的夹 角，按右手定则角，按右手定则 由由l转向转向 l。 由运动学的观点来看，杆件保持其两端关节间的形态由运动学的观点来看，杆件保持其两端关节间的形态不变，这种形态由两个参数决定：杆件长度不变，这种形态由两个参数决定：杆件长度 li 和杆件扭和杆件扭转角转角 。杆件的相对位置关系，由另外杆件的相对位置关系，由另外两两个参数决定：个参数决定：杆件的距离杆件的距离 di 和杆件的回转角和杆件的回转角 。iiilin li

5、 ii v 上述上述4个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相对位置关系。在转动关节中，对位置关系。在转动关节中，li, i, di是固定值，是固定值，i是变量。是变量。在移动关节中，在移动关节中，li, i , i是固定值，是固定值， d i 是变量。是变量。7.3 机器人关节坐标系的建立n 对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿坐标系（儿坐标系（xi, yi, zi），（），（i=1, 2, , n），），n是自由度是自由度数，再加上基座坐标系，一共有（数，再加上基座坐标系，一共有（n+1）

6、个坐标系。）个坐标系。n 基座坐标系基座坐标系 O0定义为定义为0号坐标系（号坐标系（x0, y0, z0）,它也是它也是机器人的惯性坐标系，机器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和号坐标系在基座上的位置和方向可任选，但方向可任选，但z0轴线必须与关节轴线必须与关节1的轴线重合，位的轴线重合，位置和方向可任选；置和方向可任选；n 最后一个坐标系（最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位，关节），可以设在手的任意部位，但必须保证但必须保证 zn与与zn-1 垂直。垂直。 D-H关节坐标系建立原则n机器人关节坐标系的建立主要是为了描述机器人各杆件和终端之间的相对运动，对建立运动方程和动

7、力学研究是基础性的工作。n为了描述机器人各杆件和终端之间转动或移动关系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了一种为运动链中每个杆件建立附体坐标系的矩阵方法（D-H方法） ，建立原则如下：u右手坐标系右手坐标系u原点原点Oi：设在：设在li与与Ai+1轴线的交点上轴线的交点上 uZi轴：轴： 与与Ai+1关节轴重合，指向任意关节轴重合，指向任意 uXi轴：轴： 与公法线与公法线Li重合，指向沿重合，指向沿Li由由Ai轴线指向轴线指向Ai+1轴线轴线 uYi轴：轴： 按右手定则按右手定则 关节坐标系的建立方法n原点Oi：设在li与Ai+1轴线的交点上 nzi轴：与Ai+1关节轴重

8、合，指向任意 nxi轴：与公法线li重合，指向沿li由Ai轴线指向Ai+1轴线 nyi轴：按右手定则 AiAi+1iilid1iliAi-11iz1ix1iy1ioizixiyio 沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至0i 1 坐标系原点的距离 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi两种特殊情况n 两轴相交，怎么建立坐标系？ Oi Ai与Ai+1关节轴线的 交点； zi Ai+1轴线； xi zi和zi-1构成的平面的 法线 ； yi 右手定则；-1iizzAiAi+1zi-1zix

9、iyiOin两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与Ai+1平行)？先建立 Oi-1然后建立Oi+1最后建立 OiAi-1AiAi+1Ai+2li-1oi-1xi-1yi-1zi-1ABDCoi（xi）（yi）zixiyioi+1xi+1yi+1zi+1di+1li+1di-1iO D 注意：注意： 由于由于Ai和和Ai+1平行，所以公法线平行，所以公法线 任意点在任意点在A点位置；点位置； 按照先前的定义，按照先前的定义，di为为Oi-1点和点和A点之间的距离，点之间的距离，di+1为为B点和点和C点间点间的距离，这样设定可以的，但我们可以变更一下，将的距离，这样设定可以的，但我们可以变更一下，将0

10、i点放在点放在C点，点，定义定义Oi在在li+1和和Ai+1轴的交点上，这样使轴的交点上，这样使di+1=0使计算简便，此时使计算简便，此时di= 7.4 相邻关节坐标系间的齐次变换过程 机器人运动学正解n将xi-1轴绕 zi-1 轴转 i 角度，将其与xi轴平行；n沿 zi-1轴平移距离 di ，使 xi-1 轴与 xi 轴重合；n沿 xi 轴平移距离 li，使两坐标系原点及x轴重合；n绕 xi 轴转 i 角度，两坐标系完全重合111A(,)(,)( , ) ( ,)iiiiiiiiiiR zTrans zd Trans x l R xAiAi+1iilid1iliAi-11iz1ix1iy

11、1ioizixiyio 机器人的运动学正解方程001112iiiTAAA D-H变换矩阵变换矩阵iiA1100010000100001id1000010000cossin00sincosiiii100001000010001il10000cossin00sincos00001iiii1000cossin0sincossincoscossincossinsinsincoscosiiiiiiiiiiiiiiiiidaa=例题 试求立方体中心在机座坐标系0中的位置 该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，那么，求手爪相对于0的姿态是什么？ 在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机

12、可见到固联在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。表示。1000101-002001-010-001T100091-00100011010T21xyz解1： T T 21物机机摄物摄求，已知TTT TT

13、11 -2）（有：物摄摄机物机TTT 100091-00100011010 1000101-002001-0100011000110010001-11010 O物根据T1画出O机根据T2画出因此物体位于机座坐标系的（因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。轴平行。 解2：Osnayzx 0001xxxxyyyyxzzznsapnsapTnsap机手爪实际要求向重合手爪开合方向与物体ya:Ts001有方向相反方向物体的从上向下抓，指出手爪zab:Ta 100则有:10000010001Tijkc nsaij

14、k 1-00001010因此：姿态矩阵为重合时与物体中心当手爪中心100011-001000111010 T物机X机例：Stanford机器人运动学方程d3A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O5z6x6y6O6d6z0y0 x0O0 为右手坐标系 原点Oi： Ai与Ai+1关节轴线的交点 zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 xi轴： Zi和Zi-1构成的面的法线 yi轴：按右手定则 li 沿沿 xi 轴，轴， zi-1 轴与轴与 xi 轴交点到轴交点到Oi 的距离的距离i 绕绕 xi 轴，由轴，由 zi-1 转向转向

15、zidi 沿沿 zi-1 轴，轴，zi-1 轴和轴和 xi 交点至交点至Oi 1 坐标坐标 系原点的距离系原点的距离i 绕绕 zi-1 轴，由轴，由 xi-1转向转向 xi解：解： 7.5 工作空间n工作空间: 末端操作手可以到达的空间位置集合。n如何获得工作空间: 利用正运动学模型,改变关节变量值。n灵活空间: 末端操作手可以以任何姿态到达的空间位置集合。n可达空间: 末端操作手可以至少以一个姿态到达的空间位置 集合。n 空洞：空洞：在在 zi轴周围，参考点轴周围，参考点Pn沿沿z的全长均不能达到的空间。的全长均不能达到的空间。n 空腔：空腔：参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的空间。

16、参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的空间。 空洞空洞空腔空腔如何确定可达空间如何确定可达空间? ?首先，首先，令令 3 3变化变化 示例: 平面 3连杆机器人123112123123112123123123123123coscoscossinsinsin , xlllylllllllll 3种最常见的欧拉角类型步步1步步2步步3类型类型1绕绕OZ轴转轴转角角绕当前绕当前OU 轴转轴转角角绕当前绕当前OW轴转轴转角角类型类型2绕绕OZ轴转轴转角角绕当前绕当前OV 轴转轴转角角绕当前绕当前OW轴转轴转角角类型类型3绕绕OX轴转轴转角角绕绕OY轴转轴转角角绕绕OZ轴转轴转角角uvwx(u)y

17、(v)z (w)ouvwu?v?W?),(ZR),(R),(wR N0T100000000110000cssccssccsscccssssccccssscccsssccsscscscc类型类型1：表示法通常用于陀螺运动：表示法通常用于陀螺运动 类型类型2：所得的转动矩阵为右乘所得的转动矩阵为右乘 10000c0s-010s0c 10000),(),v(),(RcssccsscwRRZR1000pzpyRpxTccsssssccscsscccssccssccssccc类型3：一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形 式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做横滚、

18、俯仰和偏航角表示方法） ccscssccssccssscssscsccsssccccssccssccsscxRyRz000010010010000),(),(),RR（ZYX偏航偏航俯仰俯仰横滚横滚7.7 运动学逆问题: 已知关节角度或位移，计算末端操作手的对应位姿.: 已知末端操作手的位姿，求解对应的关节变量. 可能存在多解或无解 通常需多次求解非线性超越方程 解的存在性存在双解存在双解! 求解方法封闭形式解数值解n 方法n 我们对封闭形式的解法更感兴趣 代数方法 几何方法n 可解性的重要结论是： 所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，其通

19、解一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大。 但在某些特殊情况下，如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于 0 或 90的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解。 为使机器人有解析解，一般设计时，使工业机器人足够简单，尽量满足这些特殊条件。 n 对于给定的机器人，能否求得它的运动学逆解的解析式（也叫封闭解）。 运动学逆问题的可解性 运动学逆问题的多解性n 机器人运动问题为解三角方程，解反三角函数方程时会产生多解.显然对于真实的机器人，只有一组解与实际情况相对应，因此必须作出判断，以选择合适的解。n 通常采用如下方法剔除多余解：0140i0002220

20、18040i若该关节运动空间为 ，则应选 。 100040i 1根据关节运动空间合适的解。例如求得机器人某关节角的两个解为 2选择一个与前一采样时间最接近的解，例如：0140i000222018040i 若该关节运动空间为 ，且 ，则应选 25001160i0220i3根据避障要求得选择合适的解4逐级剔除多余解 对于具有n个关节的机器人，其全部解将构成树形结构。为简化起见，应逐级剔除多余解。这样可以避免在树形解中选择合适的解。 n 逆运动学的定义n 逆运动学的存在性n 逆运动学的可解性n 逆运动学的多解性（剔除办法）n 逆运动学解法（数值解、解析解） 运动学逆问题How do I put my

21、 hand here?Inverse Kinematics: Choose these angles!运动学逆问题Paul 等人提出的方法(1981年，解析解): Paul 等人提出的方法65544332211060TTTTTTT TTTTTT T 6554433221601 -10）（1 q65544332601 -101 -21TTTTTTT）（）（2q65601 -101 -21132143154TTTT)T()T()T(）（）（5 qE601 -101 -65TT) T( ）（6 q),(2xyarctg)/(xyarctg 因此，通常用反正切函数 来确定 值，它可把 校正到适当的象限

22、，其定义为： 不能用反余弦 来求解关节角，因为这样求解不仅关节角的符号不确定（ ），而且角的精度也难以保证（ ）。 (arccos)cos(cos0/ )(cos180, 0dd为负为正均为负为正为负均为正yxyxyxyxxytg,090901801809090),(200000001 例：欧拉角第一种类型，求逆步步1步步2步步3类型类型1绕绕OZ轴转轴转角角绕当前绕当前OU 轴转轴转角角绕当前绕当前OW轴转轴转角角),(ZR),(R),(wR N0T100000000110000cssccssccsscccssssccccssscccsssccsscscscc类型类型1：表示法通常用于陀螺运

23、动：表示法通常用于陀螺运动 ccssssccscscazsznzaycaxssycsxsnycnxsaysaxcsyssxcnysnxccssccsscazsznzaysynyaxsxnxcssczcssccssccsscazsznzaysynyaxsxnx010000 00001 1000-01,R 1 100000000110000 1或，可得：而另两个未知数在右边在矩阵方程的左边，未知数）左右两边，可使一个）左乘式（用）（解：),(2tan2111),(2tan01 -11 -1nysnxcsyssxctgnysnxcsyssxcsyssxcsnysnxccayaxtgayaxaysax

24、c）元素分别对应相等，）元素和（，使（所在象限。按照前面的定义，确定具体分析办法靠结构结束条件、剔除确定象限靠分子，分母的符号来多值解逆运动唯一解正运动总体来讲于使用者的直觉用左乘还是右乘，取决解也可以用右乘的方法求）元素对应相等，）元素和（，（,),(2)(tan-333211azaycaxstgazaycaxsazcaycaxss 斯坦福机器人运动学逆问题解斯坦福机器人运动学逆问题解6533211060AAAAT61T653321AAA式中：式中： yxyxpCpSpfzpfpSpCpf1113121111)()()(由两端矩阵对应元素相等可得：由两端矩阵对应元素相等可得： 作三角变换：作三角变换： 式中：式中： 得到：得到： 即有：即有： 由由1, 4和和2, 4元素对应相等，得：元素对应相等，得： 6261121TTA636213