第38课 网格型问题

1、1网格型问题的特点：网格型问题的特点：在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和新课程中考的理念相符合，因此它也成为近几年新课新课程中考的理念相符合，因此它也成为近几年新课程中考的热点问题近几年来，以网格为背景的问题程中考的热点问题近几年来，以网格为背景的问题在各省市的数学中考中倍受青睐，这类题主要考查学在各省市的数学中考中倍受青睐，这类题主要考查学生的运用能力和动手操作能力，培养其探究意识和不生的运用能力和动手操作能力，培养其探究意识和不断创新的精神当网格作为背景时，相关格点之间便断创新的精神当网格作为背景时，相关格点之间便容易形成特殊的图形

2、容易形成特殊的图形(如正方形、直角三角形如正方形、直角三角形)，具有，具有较强的直观性、操作性，较好地实现了数学基本知识、较强的直观性、操作性，较好地实现了数学基本知识、空间观念与多种数学思维能力的综合与运用，尤其是空间观念与多种数学思维能力的综合与运用，尤其是勾股定理、数形结合等思想方法的运用达到了极点勾股定理、数形结合等思想方法的运用达到了极点2网格形问题常见的题型：网格形问题常见的题型：(1)与三角形与三角形(直角三角形、勾股定理、相似三角形等直角三角形、勾股定理、相似三角形等)有关的网格型问题；有关的网格型问题；(2)坐标平面内的网格型问题；坐标平面内的网格型问题；(3)与图形变换与图

3、形变换(画图、描述操作及图案设计画图、描述操作及图案设计)有关的网有关的网格型问题；格型问题；(4)利用格点图形探究规律及分类讨论思想在格点问利用格点图形探究规律及分类讨论思想在格点问题中的运用题中的运用类型一与三角形有关的网格型问题类型一与三角形有关的网格型问题【精选考题 1】(2012湖北咸宁)如图 381，在矩形 MNPQ 中，点 E，F，G，H 分别在 NP， PQ， QM， MN 上 若1234， 则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ的反射四边形图 381，图 381，图 381中，四边形 ABCD 为矩形，且AB4，BC8.理解与作图：(1)在图 381，图 381中，点 E，F

4、 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH；图 381计算与猜想：(2)求图 381，图 381中反射四边形 EFGH 的周长，并猜想：矩形 ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：(3)如图 381，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长 GF 交 BC 的延长线于点 M，试利用小华同学给我们的启发证明(2)中的猜想解析：(1)作图如下(如解图 1，解图 2)(解图 1)(解图 2)(2)在解图 1 中，EFFGGHHE 2242 2025，四边形 EFGH 的周长为 85.在解图 2 中，EFGH 2212 5，FGHE 3262

5、4535.四边形 EFGH 的周长为 2 523585.猜想：矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值点评：(1)本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，难度中等(2)读懂题意，理解“反射四边形 EFGH”的特征是解题的关键(3)根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形(3)如解图 3，延长 GH 交 CB 的延长线于点 N.(解图 3)12，15，25.又FCFC，RtFCERtFCM.EFMF，ECMC.同理：NHEH，NBEB.MN2BC16.M905901，N903，MN，GMGN.过点 G 作 GKBC 于点 K，则 KM12MN8.GM GK

6、2KM2 428245.四边形 EFGH 的周长GHHEGFEFGHHNGFFMGNGM2GM85.名师点拨与三角形有关的网格型问题，常常结合直角三角形、相似三角形、 勾股定理及三角函数的知识， 难度一般不大，但在这类问题中，要特别注意与相似结合时常常会用到分类讨论【预测演练 11】下列 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与图 382 中ABC 相似的三角形所在的网格图形是()解析： 在ABC 中， AB 222222， BC 1212 2，AC 1232 10，AB2BC2AC2.ABC90，且 tan A22 212.选项 B 中三角形是直角三角形，且

7、较小角的正切恰为12，它与ABC 相似答案：B【预测演练 12】如图 383，在 66 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，其中 A，B，C 为格点 作ABC的外接圆O， 则AC的长等于()图 383A.34B.54C.32D.52解析：由图知ACB90，ACBC，AB45，半径为 5，AC的长90180 552，故选 D.答案：D【预测演练 13】如图 384，在长方形网格中，每个小长方形的长为 2，宽为 1，A，B 两点在网格格点上若点 C 也在网格格点上，以 A，B，C 为顶点的三角形面积为 2，则满足条件的点 C 的个数是()图 384A2B3C4D5解析：由 SABC2

8、可知ABC 的底为 4，高为 1 或底、高均为 2.通过在正方形网格中画图得出共有 4 个点 C 符合题意，如解图 4.(解图 4)答案：C类型二坐标平面内的网格型问题类型二坐标平面内的网格型问题【精选考题 2】(2013浙江湖州)如图 385，在 1010 的网格中，每个小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距离为 3 2，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述

9、条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是()图 385A16B15C14D13解析：抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距离为 3 2，两交点的横纵坐标的差都为 3，设其中一交点为(0，0)，则另一交点为(3，3)抛物线顶点在格点上，开口向下，且对称轴为 x2.如解图 5，设开口向下，经过点(0，0)，(3，3)的抛物线的解析式为 ya(x2)2k，把(0，0)，(3，3)代入，得4ak0，ak3，解得a1，k4，y(x2)24x24x.向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位可得到另一条符合题意的抛物线，可平移 6 次，一共有 7 条抛物线同理：开口向上的抛物线也有 7 条满足上述条

10、件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是 7714.故选 C.点评：(1)本题以网格为背景，主要考查网格结构的知识与二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，难度较大(2)本题利用网格作出图形更形象直观，根据在 OB 上的两个交点之间的距离为32可知两交点的横坐标的差为 3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解答案：C名师点拨坐标平面内的网格型问题，主要利用坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，常常以函数为载体，结合函数的图象和性质进行考查，解决这类问题的关键是抓住函数的本质特征，

11、熟练的进行图象平移、对称等变换【预测演练 2】 二次函数 y(x2)294的图象与 x 轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点有个(提示：可利用备用图 386 画出图象来分析)图 386解析：可画出草图如解图 6.(解图 6)图象与 x 轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点有 7个，为(2，0)，(2，1)，(2，2)，(1，0)，(1，1)，(3，0)，(3，1)答案：7类型三与图形变换有关的网格型问题类型三与图形变换有关的网格型问题【精选考题 3】(2013天津)如图 387，将ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均落在格点上图

12、 387(1)ABC 的面积等于_；(2)若四边形 DEFG 是ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形， 并简要说明画图的方法(不要求证明)点评：(1)本题主要考查格点图中三角形的面积、利用位似变换作图，以及正方形的性质，难度较大(2)根据正方形的性质作出正确的图形是求解本题的关键解析：(1)6ABC 的面积为：12436.(2)方法一：如解图 7，取格点 P，连结 PC，过点 A 画 PC 的平行线，与BC 交于点 Q，连结 PQ 与 AC 相交得点 D，过点 D 画 CB 的平行线，与AB 相交得点 E，分别过点 D，E 画 PC 的平行线

13、，与 CB 相交得点 G，F，则四边形 DEFG 即为所求(解图 7)(解图 8)方法二、如解图 8，在 AB 上任取一点 P，作 PQBC 于点 Q，以 PQ 为一边在ABC 内部作正方形 PQMN；作射线 BN 交 AC 于点 D，过点 D作 DGBC 于点 G，作 DEDG 交 AB 于点 E，过点 E 作 EFBC 于点F，则四边形 DEFG 即为所求名师点拨与图形变换有关的网格型问题，常常会考查网格中的画图、图形描述或图形操作、运动轨迹的路径(面积)、以及利于网格进行图案或方案设计等方面，一般而言，这类问题常常会以我们学过的平移、旋转与对称的知识为基础，难度不大，掌握图形变换的本质特

14、征是解题的关键【预测演练 31】如图 388，88 方格纸上的两条对称轴 EF，MN交于中心点 O，对ABC 分别作下列变换：先以点 A 为中心顺时针方向旋转 90，再向右平移 4 格，向上平移 4 格； 先以点 O 为中心作中心对称图形，再以点 A 的对应点为中心逆时针方向旋转 90；先以直线 MN 为轴作轴对称图形，再向上平移 4 格，再以点 A 的对应点为中心顺时针方向旋转 90.其中能将ABC 变换成PQR 的是()图 388ABCD解析： 根据题意分析， 可得都可以使ABC 变换成PQR， 故选 D.答案：D【预测演练 32】如图 389，正方形网格中，ABC 为格点三角形(顶点都是

15、格点)，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到A1B1C1.(1)在正方形网格中，作出A1B1C1；(2)设网格小正方形的边长为 1，求旋转过程中动点 B 所经过的路径长图 389解析：(1)如解图 9.(解图 9)(2)旋转过程中动点 B 所经过的路径为一段圆弧AC4，BC3，AB5.又BAB190，动点 B 所经过的路径长为：90518052.类型四其他类型的网格问题类型四其他类型的网格问题【精选考题 4】(2011浙江台州)如图 3810，AD 和 AE 分别是ABC 的 BC边上的高和中线，点 D 是垂足，点 E 是 BC 的中点，规定：ADEBE.特别地，当点 D，E 重合时

16、，规定：A0.另外，对B，C作类似的规定(1)如图 3810，在ABC 中，C90，A30，求A，C；(2)在每个小正方形边长均为 1 的 44 的方格纸上，画一个ABC， 使其顶点在格点(格点即每个小正方形的顶点)上，且A2，面积也为 2；(3)判断下列三个命题的真假(真命题打“”，假命题打“”)：若ABC 中A1，则ABC 为锐角三角形；()若ABC 中A1，则ABC 为直角三角形；()若ABC 中A1，则ABC 为钝角三角形()图 3810解析：(1)如解图 10，作 BC 边上的中线 AD.ACDC，ACDBD1.过点 C 分别作 AB 边上的高 CE 和中线 CF.ACB90，AFC

17、F，ACFCAF30，CFE60，CEFAFEFCFcos 6012.(解图 10)(解图 11)(解图 12)(2)如解图 11.(3)由(1)可知，该命题是假命题如解图 12.ADEBE1，DEBE.又BECE，C 与 D 重合ABC 是直角三角形如解图 12，ADEBE1，DEBECE，AD 在ABC 之外ABC 是钝角三角形点评：(1)本题给出一段资料，提供网格作为探索问题的工具，主要考查直角三角形斜边中线、高的性质以及特殊角的三角函数值、画图、真假命题的判断等知识，比较复杂，难度较大(2)理解A的意义，根据题目要求画出图象是解题的关键名师点拨1网格型问题还可以和新材料、找规律、图形面

18、积的计算及概率等知识结合，对于这些问题，读懂题意、利用网格画出符合要求的图形、发现其蕴含的本质是解题的关键2要注意网格除了正方形网格外，还常会有三角形等其他形式的网格，不要误以为只有方格才是网格【预测演练 41】一只蚂蚁在如图 3811 所示的图案内任意爬动一段时间后停下，蚂蚁停在阴影内的概率为图 3811解析：根据图中信息可求得阴影部分的面积为12521251152，长方形的面积为 5420，蚂蚁停在阴影内的概率为1522038.答案：38【预测演练 42】如图 3812，由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点 已知每个正六边形的边长为 1，ABC 的顶点都在格点上，则ABC 的面积是解析：如解图 13，延长 AB，然后作出 C 所在的直线交于格点 E.(解图 13)正六边形的边长为