数值分析-插值

1、第四章第四章 插值法插值法一、问题的提出一、问题的提出 在实践中常出现这样的问题，由实验或测量得到一组数据，即nnyyyyxxxx1010要求出其近似的函数表达式，也就是寻找一个简单函数 ，使)(xp)2 , 1 , 0)(niyxpii （，这类问题称为插值法。二、基本概念二、基本概念)(xp设函数y=f(x)在区间a,b上有定义，且已知在点上的值为 ，若存在一个简单的函数 使bxxxan10nyyy10,) 1 . 1 (), 1 , 0()(njyxpjj成立，则称 为 的插值函数，点 称为插值节点，区间a,b称为插值区间，求 的方法称为插值法，条件（1.1）称为插值条件。)(xp)(x

2、fnxxxx210,)(xp图图1.1 显然插值函数可以很多，其中最简单的是代数多项式，这种插值函数叫做插值多项式。于是问题变成：求一个多项式nnxaxaaxp110)()2 , 1 , 0()(niyxpii使nnyyyyxxxx1010已知这样的插值函数存在唯一性ox0 x1Xn-1xnxyy=p(x)y=f(x)iiyxp)(可写成nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010由线性代数的知识知道系数行列式0方程有唯一解nnnnnnxxxxxxxxx212110200111nnnnnnxxxxxxxxx2121102001110)(0nijjixx又由范德

3、蒙行列式可知 满足条件（1.1）的多项式是存在且唯一的。拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式1.1010yyyxxx11100010yxaayxaa)()(0010101xxxxyyyxN101001011)(yxxxxyxxxxxL)(00010 xxxxyyyy点斜式：10100101yxxxxyxxxxy对称式：1010)(xxxxxl0101)(xxxxxl令令11001)()()(yxlyxlxL2.210210yyyyxxxx2211002)()()()(yxlyxlyxlxL3.nnyyyyxxxx1010nnnyxlyxlyxlxL)()()()(1100其中)()()()()

4、()()(110110niiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxl例例解：解：已知21sin604530 xx例1：已知特殊角 的正弦函数值为 用一次插值， 二次插值多项式近似sinx，并用此近似式求sin500的值。60,45,3023,22,2160,45,302. 为节点： 60,45)23(456045)22(604560)(1xxxL76008. 0)50(1L)22(304530)21(453045)(1xxxL776. 0)50(1L一次插值 45,30为节点：1.3. 60,30为节点：)23(306030)21(603060)(1xxxL7440226. 0)5

5、0(1L二次插值 为节点：60,45,30)23()4560)(3060()45)(30()22()6045)(3045()60)(30()21()6030)(4530()60)(45()(2xxxxxxxL7543. 0)50(2L考虑误差：已知sin500=0.7660401010. 0| )50(50sin|1L00061. 0| )50(50sin|2L00596. 0| )50(50sin|1L02202. 0| )50(50sin|1L由此可见： 1.高次插值比低次插值误差小。 2.内插比外推误差小。 3.节点之间距离越小，误差越小。讨论误差：讨论误差：设 在a,b上连续， 在（a

6、,b)内存在，节点)()(xfn)()1(xfnbxxan0)(xLn是满足插值条件), 1 , 0( ,)(njyxLjjn的插值多项式，则对任意),(bax插值余项)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnn),(),()()(101baxxxxxxxnn其中且依赖于x的位置。结论： 1.n越大，误差越小。 2.节点之间的距离越小，误差越大。逐步线性插值（埃特金插值）逐步线性插值（埃特金插值）引进专用符号)(, 1 , 0 xIk表示以 为节点的k次拉格朗日插值公式kxxx,10)()()()()(0121 , 02, 01 , 02, 1 , 0 xxxxxIxIxIx

7、I)()()()()(111, 1 , 0, 2, 1 , 01, 1 , 0kkkkkkkxxxxxIxIxIxI过 和 两“点”作线性插值。) )(,(1 , 01xIx) )(,(2, 02xIx两个k-1次插值多项式，把它们看作两点 以此“两点”作线性插值，推出I(X)）（，xIxkk1101(）（，xIxkkk210()()()()()(0010101 , 0 xxxxxfxfxfxI)()()()()(0020202, 0 xxxxxfxfxfxI如：埃特金插值公式具体计算时先列表如下：)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf0 x1x2x3x4x)(1 , 0 xI)

8、(2, 0 xI)(3 , 0 xI)(4, 0 xI)(2, 1 , 0 xI)(3 , 1 , 0 xI)(4, 1 , 0 xI)(3 , 2, 1 , 0 xI)(4, 2, 1 , 0 xI)(4, 3 , 2, 1 , 0 xI.其中斜线上是1到4 次的插值多项式。)(,)(10 xxxxfxRnnn误差估计：差商及牛顿插值公式差商及牛顿插值公式而,210121020 xxxfxxxxfxxf称为f(x)的二阶差商。定义：定义：给出函数f(x)在n+1个互异节点nxxx,10上的函数值nyyy,10称0101)()(xxxfxf为f(x)关于点10,xx的一阶差商，简称一阶差商（均

9、差），记作,10 xxf即010110)()(,xxxfxfxxf,101120210kkkkkkkxxxfxxxxxfxxxxf称为f(x)的k阶差商。性质性质2：在k阶差商,10kxxxf中，任意调换xi和xj的次序，其值不变，这个性质称为差商的对称性。性质性质1：k阶差商,10kxxxf是由函数值)(),(),(10kxfxfxf线性组合而成。即：kjkjjjjjjjkjjkjkxxxxxxxxxfxxfxxxf01100110)()()()()()(,如k=1100011010110)()()()(,xxxfxxxfxxxfxfxxf)(,01010nnnnxxxxxfxxxfxxxf

10、)()()()(,)()(,)(,)(,)()(0011010102100100 xRxNxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxfnnnnnn)(,)(10 xxxxfxRnnn其中)()(,)()(10101nnnnxxxxxxxfxNxN)(,)(10 xxxxfxRnnn综上所得：000)()(,xxxfxfxxf)(,)()(000 xxxxfxfxf110010,xxxxfxxfxxxf)(,110100 xxxxxfxxfxxf.牛顿插值公式)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf0 x1x2x3x,10 xxf,20 xxf,30 xxf,210

11、xxxf,310 xxxf,3210 xxxxf.kx)(kxf,0kxxf,10kxxxf,210kxxxxf计算时先列一个差商表如下：其中斜线上的值就是牛顿插值公式中的系数。牛顿插值公式是一个递推公式，当需要增加节点时，只要多计算一行就可以了。高次插值的误差分析高次插值的误差分析-1o10.5-1.01.5-y=f(x)yL10(x)xy 例如，在给定区间-1，1上的函数 ，取等距节点，如把-1，1等分，分点为 可以构造10次多项式，用拉格朗日公式写出为其中22511)(xxf)10, 1 , 0(1021jjxj10010)()()(iiixlxfxL22511)(iixxf)()()(

12、)()()()(1011010110 xxxxxxxxxxxxxxxxxliiiiiiiii根据计算结果作图，得出图形如右：（龙格现象）（龙格现象）分段低次插值分段低次插值 设给定n+1个节点 上的函数值bxxan0nyyy10, 在每一个小区间 内作二次插值： ,1jjxx)11 , 0()()()()()()()(1111111111111111njxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxSjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)11 , 0()(11111njxxxyxxxxyxxxxxIjjjjjjjjjjj（从几何上表示用折线近似曲线，也称折线插值）,

13、1jjxx 在每一个小区间 上用一次插值，则有埃尔米特插值埃尔米特插值)( )( )1 , 0()( )( )()(jjjjjjxfxHnjxfxHxfxH满足以下条件的插值多项式称为埃尔米特插值多项式), 1 , 0()( )(njmxHyxHjjjj 设节点 上的函数值 及导数值 为已知，求插值多项式 满足条件bxxan0jjyxf)()1 , 0()( njmxfjj)(xH这里共给出2n+2个条件，可以确定一个次数不到2n+1次的多项式，其形式为：12121012)(nnnxaxaaxH问题的提出定义2n+2个基函数：jijixaijji10)(0)(jixajijixijji10)(

14、0)(jix解决的思路于是多项式可以写成niiiinxmxayxHi012)()()(由拉格朗日插值基函数可得)()()()()()(222211xlbxaxxlbxaxaiiii又0)( 2)()()( 1)()()(1121211iiiiiiiiiiixlbxaxlaxaxlbxaxa0)( 21111iiixlabxa)( 21)( 211iiiiixlxbxla)(1)(21 )(20 xlxxxxxinikkkiii而nikkkiixxxlxl01)()( nikkkiiixxxl01)( 同理得：)()()(2xlxxxiiiniiiiinxmxyxH012)()()()(xi)(

15、xi将 代入即得埃尔米特插值公式埃尔米特插值公式例：例：已知插值条件求 三次埃尔米特插值多项式。021100)( )(xfxfx解：解：因为 所以0)0(f0)(00yxa221)23()010(10) 1(21 )(xxxxxa又因为 ，所以0) 1 ( f0)(11mx220) 1()101)(0()(xxxxx于是得三次埃尔米特插值多项式为：233) 1()23(2)(xxxxxH样条插值样条插值定义定义：设a,b上有插值节点 ，对应值为bxxan0nyyy10,若函数满足：), 1 , 0()(1njyxSjj), 1 , 0(,)(21njxxxSjj在每一个小区间上是三次多项式；)

16、(3xS在aa,b上有连续二阶导数。则S(x) 称为三次样条插值函数三次样条插值函数。求求S(x), 1 , 0()(23njdxcxbxaxSjjjj设要满足如下条件), 1 , 0()(1njyxSjjj)0()0(2jjxSxS) 1, 2 , 1()0( )0( njxSxSjj)0( )0( jjxSxS上式共给出了4n-2个条件，需要待定4n个系数。因此必须附加两个条件（边界条件）)( , )( 100nnfxSfxS )( , )( 200nnfxSfxS11)( )( jjjjMxSMxS设)()( 111jjjjjjjjjxxhhxxMhxxMxS两次积分得213131)(6

17、)(6)(cxcxxhMxxhMxSjjjjjj将c1和c2代入S(x)即得S(x) 在xj,xj+1上的表达式。由11)()(jjjjyxSyxS)6()6(1)6()6(121121222111jjjjjjjjjjjjjjjjhMyxhMyxhchMyhMyhc),1, 1 , 0()6()6(6)(6)()(1211123131jjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxnjhxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxS求求Mj,Mj+1)0( )0( jjxSxS由11111113663jjjjjjjjjjjjjjhyyMhMhhyyMhMh 具体计算时，必须先将 求出，然后代入式利用前面

18、解方程组的知识求出Mj。jjjd,), 1 , 0(,6,61) 1, 2 , 1(21111111111111njhyyxxfxxhxxxfhhxxfxxfdhhhhhhnjdMMMjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj其中例例例：例：求三次样条插值函数S(x)，已知（xj,yj)的值列于下表中，并有边界 条件M0=M4=0。J01234Xj0.250.30.390.450.53yj0.5000.54770.62540.67280.7280解：解：将这些值代入 的公式求得 列于下表：jjjd,jjjd,J1234/153/53/79/142/54/7-4.3157-3.2640-2.4300jjjd0261. 18226. 08806. 1321MMM分段表达式分段表达式4300. 22732640. 3522533157. 414923