运动的守恒量和守恒定律

1、 第二章第二章 运动的守恒量和守恒定律运动的守恒量和守恒定律 N N个质点组成的系统个质点组成的系统 - - 研究对象称为研究对象称为质点系质点系。内力内力：系统内部各质点间的相互作用力系统内部各质点间的相互作用力质点系质点系 特点：成对出现；大小相等方向相反特点：成对出现；大小相等方向相反结论：质点系的内力之和为零结论：质点系的内力之和为零0iif外力外力: : 系统外部对质点系内部质点的作用力系统外部对质点系内部质点的作用力Fff约定：系统内任一质点受力之和写成约定：系统内任一质点受力之和写成iifF外力之和外力之和内力之和内力之和抛手榴弹的过程抛手榴弹的过程C CO OX XY Y 质点

2、系的质量中质点系的质量中心，简称心，简称质心。质心。具有具有长度的量纲，描述与长度的量纲，描述与质点系有关的某一空质点系有关的某一空间点的位置。间点的位置。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。x xz zy yO Om m2 2r r2 2m m1 1r r1 1c cr rc cm mi ir ri ir rN Nm mN N对于对于N N个质点组成的质点系：个质点组成的质点系：Nimmmm,21Nirrrr,21Mxmxiic/Mymyiic/Mzmziic/imMMrmriic/ 直角坐标系中直角坐标系中直角坐标系下直角坐标系下x xz zy yO O

3、c cr rc cd dm mr rddcr mrmdr mm面分布面分布体分布体分布线分布线分布lmddSmddVmdd 对于质量连续分布的物体对于质量连续分布的物体Mmxxc/dMmyyc/dMmzzc/d注意：注意：质心的位矢与参考系的选取有关。质心的位矢与参考系的选取有关。刚体的质心相对自身位置确定不变。刚体的质心相对自身位置确定不变。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质质心与重心位置重合。心与重心位置重合。例题例题2-12-1求腰长为求腰长为a a等腰直角三角形均匀薄板

4、的质心位置。等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。dcx mxm三角形质心坐标三角形质心坐标x xc c是是xxmd2dx xd dx xO Ox xy ya a解解: :建立图示坐标建立图示坐标, , 由于面积元的高度为由于面积元的高度为2 2y y，所以其面积为，所以其面积为2 2y yd dx x=2=2x xd dx x。设。设薄板每单位面积的质量为薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量则此面积元的质量在离原点在离原点x x处取宽度为处取宽度为d dx x的面积元，的面积元，/22022d12axxa23a例例 一段

5、均匀铁丝弯成半圆形，其半径为一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R R, ,求此半圆求此半圆形铁丝的质心。形铁丝的质心。任取一小段铁丝，任取一小段铁丝，其长度为其长度为d dl l，质量，质量为为d dm m，以，以表示铁表示铁丝的线密度丝的线密度解：解：建立如图坐标系建立如图坐标系lmdd0 ,cx dcylym0sindRRm 22 Rm22 RR =2/R例例 确定半径为确定半径为R R的均质半球的质心位置。的均质半球的质心位置。解：解：建立如图所示坐标建立如图所示坐标已知薄圆盘的质心位于圆心，已知薄圆盘的质心位于圆心，取厚度为取厚度为d dy y的薄圆盘为质量微的薄圆盘为质量微元。元。dd

6、mVR Rx xy yO Od dy ymmyycd3/2d)(3022RyyRyR3/4d30222RyyRR83R质 心 在 距 球 心质 心 在 距 球 心3 3R R/8/8处。处。22dRyyiiicmrmr 设有一个质点系，由设有一个质点系，由 个质点组成，它个质点组成，它的质心的位矢是：的质心的位矢是：nnnnmmmrmrmrm212211质心的速度为质心的速度为trvccddiiimtrmddiiimvm质心的加速度为质心的加速度为tvaccddiiimtvmddiiimam由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得nfffFtvmam1131211111ddnfffFtvmam2232

7、222222ddnnnnnnnnnfffFtvmam32dd对于内力对于内力iiiFam, 0, 02112niinffffiiicmamaMFmFaiiicciaMF 表明：不管物体的质量如何分布，也不管表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。中作用其上的一个质点的运动一样。2-2 2-2 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律重写牛顿第二定律的微分形式重写牛顿第二定律的微分形式 212

8、1ddpppFttt考虑一过程，时间从考虑一过程，时间从t t1 1- -t t2 2，两端积分，两端积分pFdd t12pp 一、一、 动量定理动量定理左侧积分表示力对时间的累积量，叫做左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量冲量。 21dtttFI冲量冲量 这就是这就是动量定理动量定理：物体在运动过程中所受到物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。动量定理的几点说明：动量定理的几点说明： 冲量冲量 的方向一般不是某一瞬时力的方向一般不是某一瞬时力 的方的方向，而是所有元冲量向，而是所有元冲量 的合矢量的合矢量 的方的方向。向。IiFt

9、F d 21dtttF(1)(1)冲量的方向：冲量的方向：于是得到积分形式于是得到积分形式12ppI 1p2pp 帆帆V1v2v横横F纵纵FFm 龙骨龙骨横横F阻阻F水水显示动量定理的矢量性。显示动量定理的矢量性。【思考思考】在逆风中，船能否顶风前进？在逆风中，船能否顶风前进？动量定理动量定理(2)(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程xxttxxmvmvtFI1221d yyttyymvmvtFI1221d zzttzzmvmvtFI1221d (3)(3)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其使用范围是惯性系

10、。使用范围是惯性系。(4)(4)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。t t0t FFI y v0 v iiijijptffd dd d 对第对第 i i 个质点个质点 )(,0ijiijf证明：证明： iiiiijijptffd dd d,)(, iiijiiiijptffd dd d, iiiiptfd dd dimjmijfjifirjro惯性系惯性系jfifipjp对质点求和对质点求和（合内力为零）（合内力为零）（惯性系）（惯性系）tPFdd即即(5)(5)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。 例例1：质

11、量为：质量为m的质点，以不变速率的质点，以不变速率v沿着图中沿着图中正三角形正三角形ABC水平光滑轨道运动，质点越过水平光滑轨道运动，质点越过B点时，点时，质点作用于轨道的冲量的大小质点作用于轨道的冲量的大小ABCmv3 例例2 2：如图，圆锥摆的摆球的质：如图，圆锥摆的摆球的质 量为量为m m，速率为，速率为v, v, 圆半径为圆半径为R R。当摆。当摆球在水平圆轨道上运动半周时，摆球球在水平圆轨道上运动半周时，摆球所受重力的冲量大小为所受重力的冲量大小为vRmg 内力可改变各质点的动量，但合内力为零，对总动内力可改变各质点的动量，但合内力为零，对总动量无影响。量无影响。 1 1、只适用于惯

12、性系。、只适用于惯性系。 如果如果合外力合外力为零，则为零，则质点系质点系的总动量不随时的总动量不随时间改变间改变 iipP常矢量常矢量动量守恒定律动量守恒定律应用质点系动量定理不必考虑内力。应用质点系动量定理不必考虑内力。质点系的动量定理质点系的动量定理系统所受的合外力的冲量系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量等于系统总动量的增量ptFdd 二、动量守恒定律二、动量守恒定律 实验表明：实验表明：只要系统不受外界影响只要系统不受外界影响, ,这些过程的这些过程的动量守恒。动量守恒。4 4、对那些不能用力的概念描述的过程，例如光子与、对那些不能用力的概念描述的过程，例如光子与电子的碰撞、衰

13、变、核反应等过程，电子的碰撞、衰变、核反应等过程，3 3、合外力为零，动量守恒。外力、合外力为零，动量守恒。外力内力时，动量近似内力时，动量近似守恒。例如碰撞和爆炸。守恒。例如碰撞和爆炸。2 2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量守恒。、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量守恒。., 0., 0., 0conspvmFconspvmFconspvmFziizizyiiyiyxiixix例：有两个长方形的物体例：有两个长方形的物体A A和和B B紧靠着静止放在光滑的水平桌紧靠着静止放在光滑的水平桌面上，质量分别为面上，质量分别为 。现有一质量。现有一质量m m的子弹以速的子弹以速率率 水平射入

14、长方体水平射入长方体A A，经，经t t时间，又射入长方体时间，又射入长方体B B，最，最后停留在长方体后停留在长方体B B内未射出。设子弹射入内未射出。设子弹射入A A时所受的摩擦时所受的摩擦力力F F为，求：为，求：（1 1）子弹在射入）子弹在射入A A的过程中，的过程中，B B受到受到A A的作用力的大小；的作用力的大小；（2 2）当子弹留在）当子弹留在B B中时，中时，A A和和B B的速度大小。的速度大小。BAm,m0v解：子弹射入解：子弹射入A A未进入未进入B B以前，以前，A A、B B共同做加速运动共同做加速运动(2)A(2)A在时间在时间t t内做匀加速运动，内做匀加速运动

15、，t t秒末的速度秒末的速度B B受到受到A A的作用力的作用力A A、B B共同加速度为共同加速度为BAmmFaBABBmmFmamN当子弹射入当子弹射入B B时，时，B B将加速，而将加速，而A A做匀速运动。做匀速运动。atvA取取A A、B B和子弹作为系统，系统在水平方向合外力为和子弹作为系统，系统在水平方向合外力为零，动量守恒。零，动量守恒。BBAA0vmmvmmvBAA0Bmmvmmvv-一、功的概念一、功的概念功是表示力对空间累积效应的物理量。功是表示力对空间累积效应的物理量。 物体在力物体在力 的作用下发生一无限小的位移的作用下发生一无限小的位移 ( (元元位移位移) )时时

16、, ,此力对它做的功定义为此力对它做的功定义为: :力在力的位移上的力在力的位移上的投影和此元位移大小的乘积。投影和此元位移大小的乘积。Frdrd)cos(dFA 其中其中 为力与位移的夹角。可以把上式写成两为力与位移的夹角。可以把上式写成两个矢量的标积个矢量的标积rFdd A 功是标量，没有方向，但有正负。功是标量，没有方向，但有正负。2-3 2-3 功功 动能动能 动能定理动能定理 当当0 0 00，力对物体做正功，力对物体做正功。 当当 = = /2/2时，时， d dA A=0=0，力对物体不做功，力对物体不做功。 当当 /2/2 时，时，d dA A00，力对物体做负功，力对物体做负

17、功。功率：功率：力在单位时间内做的功，用力在单位时间内做的功，用P P 表示表示tAPddtddrF vF 功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做同样的功花费的时间就越少。做同样的功花费的时间就越少。 在国际单位制中，功的单位是在国际单位制中，功的单位是N N m m，叫做焦，叫做焦(J)(J)，功率的单位是，功率的单位是J/sJ/s ，叫做，叫做W W( (瓦瓦) )。动能定理动能定理二、牛顿第二定律的又一积分形式：二、牛顿第二定律的又一积分形式：动能定理动能定理(1)(1)变力的功变力的功b ba a 物体在变力的作物体在变力的作用下从用下从a

18、a运动到运动到b b。 怎样计算这个力的怎样计算这个力的功呢？功呢？采用微元分割法采用微元分割法动能定理动能定理iirFiAiirFiiiabAA第第i i 段近似功段近似功：总功近似：总功近似：第第2 2段近似功段近似功：第第1 1段近似功段近似功：222rFA111rFA 1F2F3FiF4Fba3r1r2rir4r动能定理动能定理 当当 时时, ,可用可用 表示表示, ,称为元位移称为元位移; ; 用用 表示表示, ,称为元功。称为元功。0irrdiAAd微分形式微分形式：rFAddrrFFi0ridlimbaiabA积分形式：积分形式：bardFA总功精确值：总功精确值： 在数学形式上

19、，力的功等于力在数学形式上，力的功等于力 沿路径沿路径L从从a到到b的的线积分线积分。F动能定理动能定理(2)(2)质点动能定理质点动能定理根据功的积分形式根据功的积分形式mpmvEk22122定义质点的动能为定义质点的动能为：222121abmvmv vdvmbavvbardFAbavvbavdvmrddtvdmdvvvdv dvkkakbEEEA 质点动能定理质点动能定理: :合外力对质点所做的功等于质合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。点动能的增量。 a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小。点动能减小。 d.功是一个过程量，而动能是一个

20、状态量，功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。它们之间仅仅是一个等量关系。 b.动能的量值与参考系有关。动能的量值与参考系有关。c. .动能定理只适用于惯性系。动能定理只适用于惯性系。几点注意：几点注意：动能定理动能定理 多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要考虑质点间的相互作用力（内力）。要考虑质点间的相互作用力（内力）。1F2F12f21fm1m2 二质点组成的二质点组成的系统系统 多个质点组多个质点组成的系统成的系统 两个质点在外力及两个质点在外力及内力作用下如图所示：内力作用下如图所示：推推广广(3)(3)质点系动能定

21、理质点系动能定理动能定理动能定理 对对m1运用质点动能定理：运用质点动能定理：对对m2运用质点动能定理：运用质点动能定理：2112111121121211111abbabavmvmrdfrdF2222222212221212222abbabavmvmrdfrdF 1F12f21fm1m21Fm1m22F作为系统考虑时，得到：作为系统考虑时，得到： 质点系动能定理：质点系动能定理：所有外力与所有内力对质点所有外力与所有内力对质点系做功之和等于质点系总动能的增量。系做功之和等于质点系总动能的增量。kkakbieEEEAA 22221122221122111222112121212122112211

22、aabbbabababavmvmvmvmrdfrdfrdFrdF系统内力功的代数和可以不为零，因而系统内力功的代数和可以不为零，因而可以改变系统的总动能，但不能改变系可以改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。统的总动量。注意注意炸弹爆炸炸弹爆炸例：利用动能定理重做例题。例：利用动能定理重做例题。 解：解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的功为如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的功为glglgdxxldxBGAll220021)( 应用动能定理，因初速应用动能定理，因初速度为度为0，末速度，末速度v可求得如下可求得如下2222212121lvmvglglgllv)2( 所得结果相同

23、，而现在所得结果相同，而现在的解法无疑大为简便。的解法无疑大为简便。xx lGB 动能定理动能定理0vmv0俯视图例：在光滑的水平桌面上，有一如图所示的固定半圆形屏障质量例：在光滑的水平桌面上，有一如图所示的固定半圆形屏障质量为为m m的滑块以初速度的滑块以初速度 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为擦系数为 求当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所作的功求当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所作的功. . v N O fr RmN/2vtmNfrd/dv解：滑块受力如图所示滑块作圆周运动解：滑块受力如图所示滑块作圆周运动dddddddd2vvvvvRt

24、tRvvd/d 0vdvd)v/1(0v0evv) 1e (212121220202vvvmmmW一、保守力一、保守力 功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力叫做路径无关，这类力叫做保守力。保守力。不具备这种性质的力叫不具备这种性质的力叫做做非保守力。非保守力。 设质量为设质量为m的物的物体在重力的作用下从体在重力的作用下从a点任一曲线点任一曲线abc运动到运动到b点。点。1.1 1.1 重力作功重力作功Gdhahabcbhdsd2-4 2-4 保守力保守力 成对力的功成对力的功 势能势能Gdhahabcbhdsdbababab

25、aabmghmghdhGcossdGsdGA 由此可见，重力作由此可见，重力作功仅仅与物体的始末位功仅仅与物体的始末位置有关，而与运动物体置有关，而与运动物体所经历的路径无关。所经历的路径无关。 设物体沿任一闭合设物体沿任一闭合路径路径 运动一周，运动一周，重力所作的功为：重力所作的功为：acbda0dadbacbbdaacbAAAAsGA1.2 1.2 弹性力的功弹性力的功 弹簧劲度系数为弹簧劲度系数为k ，一端固定于墙壁，另一端系，一端固定于墙壁，另一端系一质量为一质量为m的物体，置于光滑水平地面。设的物体，置于光滑水平地面。设 两点两点为弹簧伸长后物体的两个位置，为弹簧伸长后物体的两个位

26、置， 和和 分别表示物分别表示物体在体在 两点时距两点时距 点的距离。点的距离。ba、ba、oaxbxXOXxbOxax0lXxbOxax0lbaxxxdFAbaxxxkxd222121bakxkx 由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。位置有关，与具体路径无关。1.3 1.3 万有引力的功万有引力的功 两个物体的质量分别为两个物体的质量分别为M和和m，它们之间有万有，它们之间有万有引力作用。引力作用。M静止，以静止，以M为原点为原点O建立坐标系，研究建立坐标系，研究m相对相对M的运动。的运动。rdrdbbrFraarmOMrFA

27、ddrdrrmMG302131101067. 6 skgmGrdrdbbrFraarmOMbarrAAdbarrrrmMGd20)11(0barrmMG 由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。末位置有关，与具体路径无关。barr30rdrrmMG二、二、 成对力的功成对力的功 设有两个质点设有两个质点1和和2，质量分别为，质量分别为 和和 ， 为为质点质点1受到质点受到质点2的作用力，的作用力， 为质点为质点2受到质点受到质点1的作的作用力，它们是一对作用力和反作用力。用力，它们是一对作用力和反作用力。1m1F2m2F1m2m1

28、r2r2rd1rd1rdrdr1F2FrrdxyzO111ddrFA2211dddrFrFA222ddrFA)d(dd1211rrFrFrFrFFdd)(2122rFd2 由此可见，成对作用力与反作用力所作的总功由此可见，成对作用力与反作用力所作的总功只与作用力只与作用力 及相对位移及相对位移 有关，而与每个质点各有关，而与每个质点各自的运动无关。自的运动无关。2Frd1m2m1r2r2rd1rd1rdrdr1F2FrrdxyzO2121rrrdrdrdr 表明：表明：任何一对作用力和反作用力所作任何一对作用力和反作用力所作的总功具有与参考系选择无关的不变性质的总功具有与参考系选择无关的不变性

29、质。 保守力的普遍定义：保守力的普遍定义：在任意的参考系中，在任意的参考系中，成对保守力的功只取决于相互作用质点的始成对保守力的功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关。末相对位置，而与各质点的运动路径无关。三、三、 势能势能baabmghmghA222121bakxkxA)11(0barrmMGA 势能：势能：质点在保守力场中与位置相关的能量。质点在保守力场中与位置相关的能量。它是一种潜在的能量，不同于动能。它是一种潜在的能量，不同于动能。几种常见的势能：几种常见的势能：重力势能重力势能mghEp弹性势能弹性势能221kxEp万有引力势能万有引力势能rMmGEp0保守力

30、的功保守力的功ppbpacEEEA 成对保守内力的功等于系统势能的减少（或成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）。势能增量的负值）。注意：注意： （1 1）势能既取决于系统内物体之间相互作用）势能既取决于系统内物体之间相互作用的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。 （2 2）物体系统在两个不同位置的势能差具有）物体系统在两个不同位置的势能差具有一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。 （3 3）势能差有绝对意义

31、，而势能只有相对意）势能差有绝对意义，而势能只有相对意义。势能零点可根据问题的需要来选择。义。势能零点可根据问题的需要来选择。o)(hEphkEpEHHE重力势能重力势能kEpEE)(xEpxABo弹性势能弹性势能xpEEo0kEkEpE引力势能引力势能四、势能曲线四、势能曲线势能曲线的作用：势能曲线的作用： （1 1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。 （2 2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。受保守力的大小和方向。pppEEEA)(12pEAdddlFlFAl dcosd lEF

32、pldd 表明：表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值。坐标的导数的负值。一般，一般， 是位置坐标是位置坐标 的多元函数，这的多元函数，这时时pE zyx,zEFpz yEFpy xEFpx 保守力可表示为保守力可表示为)(ppppzyxEgradkzEjxEixEkFjFiFF 保守力等于相应的势能函数的梯度的负值保守力等于相应的势能函数的梯度的负值EEEAApkide一、一、 机械能守恒定律机械能守恒定律质点系统的动能定理：质点系统的动能定理：kieEAA2-5 2-5 机械能守恒定律机械能守恒定律idiciAAA保守力和非保守力两种功保

33、守力和非保守力两种功picEA若若0ideAA机械能守恒定律机械能守恒定律PbKbPaKaEEEE 机械能守恒定律：满足上面其一条件时，机械能守恒定律：满足上面其一条件时，系统系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。0ideAA机械能守恒条件：机械能守恒条件：（1 1）一个系统内）一个系统内只有保守内力只有保守内力做功做功（2 2）非保守内力与外力的总功）非保守内力与外力的总功为零为零二、二、 能量守恒定律能量守恒定律 一个一个孤立系统孤立系统经历任何变化时，

34、该系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量守恒定律守恒定律。一竖直悬挂的轻弹簧下系一小球，平衡时弹簧伸长量为一竖直悬挂的轻弹簧下系一小球，平衡时弹簧伸长量为d d现现用手将小球托住，使弹簧不伸长，然后将其释放，不计一切摩擦，用手将小球托住，使弹簧不伸长，然后将其释放，不计一切摩擦，则弹簧的最大伸长量则弹簧的最大伸长量(A)为为d (B)为为d2 (C)为为2d (D)条件不足无法判定

35、条件不足无法判定 C kdmg 2kx21mgx 平衡条件得：平衡条件得： 选择最大伸长时重力势能为选择最大伸长时重力势能为0, 0, 弹簧原长时弹性势能为弹簧原长时弹性势能为0 0 xOpprrddpdL sinpr2-7 质点的角动量与角动量守恒定律质点的角动量与角动量守恒定律一、角动量一、角动量r定义定义：质点对点的角动量为质点对点的角动量为OrL)(vmrPrL角动量大角动量大小小 （面积）（面积）sinrmvL LvLvm角动量方向角动量方向 （1 1）质点对点的角动量，不但与质点运）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。动有关，且与参考点位置有关。讨讨 论论（2

36、 2） 方向的确定方向的确定LLvrLvrrOmrvL （3 3）做圆周运动时，由于）做圆周运动时，由于 ，质点对圆心，质点对圆心的角动量大小为的角动量大小为vr2rmrmvLLL方向不变方向不变方向不变vPrL对对t t求导求导)(ddddPrttLtprPtrdddd0)(dd,ddvmvptrvtrFrtprtLdddd质点的角动量定理质点的角动量定理 二、角动量守恒二、角动量守恒FrM力力 对参考点对参考点O O的力矩。的力矩。FoFrMdp大小：大小：MFrsin =Fdr是是P P点相对于固定点点相对于固定点O O的位矢。的位矢。方向：方向：右手螺旋定则判定右手螺旋定则判定力臂力臂

37、d=rsin 力与力臂的乘积力与力臂的乘积。FrMMFrtLdd质点的角动量定理质点的角动量定理如果作用在质点上的外力对某给定点如果作用在质点上的外力对某给定点 的力矩的力矩 为零为零，则质点对，则质点对 点的角动量在运动过程中保持不变。这就叫点的角动量在运动过程中保持不变。这就叫做做角动量守恒定律角动量守恒定律。)(FrooMFrtLdd质点的角动量定理质点的角动量定理若若 等于零，则角动量等于零，则角动量 不随时间变化，不随时间变化，即即ML常矢量L角动量守恒定律角动量守恒定律 1.和动量守恒定律一样，角动量守恒定律也是自然界的一条最基本的定律。 2. 合力矩为零，可以是合外力为零，也可以是任意时刻外力方向总与经矢一条线，或者力通过固定点 有心力有心力：运动质点所受的力的作用线始终通过某运动质点所受的力的作用线始终通过某个给定点，而且力的大小也只依赖于质点对该给定点个给定点，而且力的大小也只依赖于质点对该给定点的距离，这种力叫做的距离，这种力叫做有心力有心力。这个给定点叫做。这个给定点叫做力心力心。质点在有心力作用下，它的角动量守恒。质点在有心力作用下，它的角动量守恒。1 1 假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对