《课题学习 最短路径问题》教学课件1

1、第四节 课题学习 最短路径问题人教版初中数学八年级上册 第十三章轴对称学习目标1.复习公理：两点之间线段最短复习公理：两点之间线段最短2.掌握利用轴对称图形的特点构造对称点，掌握利用轴对称图形的特点构造对称点，解决最短路径问题。解决最短路径问题。3.经历探索最短路径问题的过程，体会利用经历探索最短路径问题的过程，体会利用操作、操作、 归纳获得数学结论的过程归纳获得数学结论的过程。体验体验解决实际问题的成就感。解决实际问题的成就感。 趣题引入 历史上有这样一个著名的数学问题，名字叫“将军饮马问题”，一听这个名字，就知道是个很有趣的问题，这是怎样一个问题呢？ 相传，古希腊亚历山大里亚城里有相传，古

2、希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：百思不得其解的问题： 从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮饮马，然后到马，然后到B 地到河边什么地方饮马可地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短呢？使他所走的路线全程最短呢？BAl 精通数学、物理学的海伦稍加思索，精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为问题后来被称为“将军饮马问题将军饮马问题” 你能将像海

3、伦一样解决这个问题吗？你能将像海伦一样解决这个问题吗？巩固复习要解决“将军饮马问题”需要回顾前几节课的内容，同学们你能帮我想想吗？1.轴对称图形，两个图形成轴对称；2.找对称轴和画轴对称图形；3.等腰三角形的性质和判定。 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路可供选地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？什么？ 选选FEDCBA回顾练习理由：理由： 两点之间两点之间,线段最短线段最短已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的两侧，的两侧，在在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最最小。小。 P连接连接AB,线段线段AB

4、与直线与直线L的交点的交点P ，就是所求。，就是所求。提示：本题中A、B分别位于线l的两侧，要是在同侧，该怎么办呢？探究活动一要解决“将军饮马问题”首先，我们将实际问题转化为数学问题。从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮饮马，然后到马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短呢？他所走的路线全程最短呢？你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条抽象为一条直直 线（提示：还缺少问题怎么办？）线（提示：还缺少问题怎么办？）BAl问题

5、转化提示 从从A 地出发，到河边地出发，到河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地；在河边饮马的地点地；在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度连接起来的两条线段的长度之和，就是从之和，就是从A 地到饮马地点，再回到地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；现在地的路程之和；现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线l上的上的点设点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就可以转化为？为直线上的一个动点，上面的问题就可以转化为？ 结论结论：转化为当点：转化为当点C 在在l 的什么位置时，的什么

6、位置时，AC 与与CB 的和最小（如图）的和最小（如图）BAlC如果如果A A、B B在在l l的两侧，直接的两侧，直接连起来就可以了，现在是同侧，连起来就可以了，现在是同侧，如何将点如何将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一上的任意一点点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度的长度相等？相等？ 导学置疑：导学置疑：点点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直线上的一是直线上的一个动点，当点个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlA提示：利用画轴对称图形的方法。探究活动二你能利用轴对称的有

7、关知识，找到上问中符你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点合条件的点B吗？吗？ BlA作法：作法：作点作点B 关于直线关于直线l 的对称点的对称点B；提示：现在变成了两侧，是不是提示：现在变成了两侧，是不是容易了？容易了？连接连接AB，与直线，与直线l 相交于点相交于点C则点则点C 即为所求点即为所求点 结结 论论 BlABC这样做有科学依据吗，你能用所学的知识证明这样做有科学依据吗，你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABC探究活动三演示演示证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，B

8、C 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC小组合作展示小组合作展示BlABCCBlABCC 在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短巩固练习刚才我们选的是B点的对应点，如果选A点，结果会不会不一样呢？同学们动手在原图上，画一画，试一试。结论：两种方法找到的C点，是一样的。BlABCA归纳提升：回顾刚才的探究过程，我们是通过怎样的归纳提升：回顾刚才的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ BlABCC利用轴对称图形能够重合（即相等）的特点构造对称点。巩固练习 将探究二和探究三的做法和理由讲给同学听。五、小结本节课我们学习了利用轴对称图形能够重合（即相等）