第五章输送过程的基本方程及基本流动形式.

1、第五章 输送过程的基本方程及基本流动形式相关的基本概念哈米尔顿算子哈米尔顿算子这一算子具有矢量和微分双重性质。这一算子具有矢量和微分双重性质。ijkxyz 随体导数随体导数 指物理量随着流体质元一起运动时所指物理量随着流体质元一起运动时所发生的变化率发生的变化率, ,或者是当流体的微元体积上的一点或者是当流体的微元体积上的一点在在dtdt时间内从进入微元体积的空间位置时间内从进入微元体积的空间位置(x,y,z)(x,y,z)移移动到离开微元体积的的空间位置动到离开微元体积的的空间位置(x+dx,y+dy,z+dz)(x+dx,y+dy,z+dz)时时, ,物理量随时间的变化率物理量随时间的变化

2、率例如：流体密度的随体导数为：例如：流体密度的随体导数为：xyzDDttxyzxyzDDttxyz张量张量1 1、张量概念、张量概念 a a、标量：只有大小，如温度、时间、标量：只有大小，如温度、时间 b b、矢量：既有大小又有方向，如位移、速度、力、矢量：既有大小又有方向，如位移、速度、力 如空间坐标中，线段长度用如空间坐标中，线段长度用OPOP表示，方向用箭头表表示，方向用箭头表示，记为示，记为 c c、张量：一个点处不同方向上具有不同量值的物理量称、张量：一个点处不同方向上具有不同量值的物理量称为张量，如为张量，如应力、应变应力、应变。OPa31122331iiiaa ea ea ea

3、e指标矩阵标量aa零阶张量矢量ai一阶张量张量Tij二阶张量111213212223313233TTTTTTTTT123aaa应力张量应力张量在在P点处，通过点处，通过P点的每个方向点的每个方向都可求出相应的牵引力。都可求出相应的牵引力。 x y z 分别作用在垂直分别作用在垂直于于x、y、z轴的面上，将它们轴的面上，将它们分别沿分别沿x、y、z三个方向分解三个方向分解，共有，共有9个分量，分布如右图个分量，分布如右图。xxxyxzyxyyyzzxzyzz333231232221131211第一个下标表示应力分量的作用面的法向方向，而第一个下标表示应力分量的作用面的法向方向，而第二个下标表示应

4、力分量的作用方向。第二个下标表示应力分量的作用方向。因此，下标相同的应力分量表示法向应力分量，而因此，下标相同的应力分量表示法向应力分量，而混合下标则表示剪切应力分量混合下标则表示剪切应力分量如如xy 表示什么？表示什么？表示作用在与表示作用在与x垂直的平面上的应力分量，方向垂直的平面上的应力分量，方向指向指向y在高分子流体流变过程中，单独追求法向应力分量的在高分子流体流变过程中，单独追求法向应力分量的绝对值没有意义，重要的是两个法向应力分量的差值绝对值没有意义，重要的是两个法向应力分量的差值在各种分解中保持不变，这就是法向应力差函数。在各种分解中保持不变，这就是法向应力差函数。N N1 1、

5、N N2 2加上粘度函数加上粘度函数 ，三个函数即可描写简单剪切场，三个函数即可描写简单剪切场中高分子流体的应力状态和粘弹性。中高分子流体的应力状态和粘弹性。1112222233NN第一法向应力差函数第二法向应力差函数流变学基流变学基本方程本方程连续性方连续性方程程运动方程运动方程能量方程能量方程1. 1. 连续性方程连续性方程质量守恒律质量守恒律 连续性方程指在空间给定的任何体连续性方程指在空间给定的任何体积中流体的质量增加速率等于流进该体积的质量积中流体的质量增加速率等于流进该体积的质量流率。即单位时间内质量的累积量流率。即单位时间内质量的累积量= =进入量进入量- -流出流出量。量。如右

6、图，在直角坐如右图，在直角坐标系中选一个立方标系中选一个立方体，边长体，边长dx、dy、dz。设任一点（。设任一点（x、y、z）在）在t时刻的速时刻的速度为度为V，其三个分量，其三个分量为为vx、vy、vz，流体，流体密度为密度为，则，则连续性方程在在x x方向，单位时间内通过面积方向，单位时间内通过面积1 1进入流体的质量为：进入流体的质量为：单位时间内通过面积单位时间内通过面积2 2流出的质量为：流出的质量为：则则x x方向的总流体质量为：方向的总流体质量为：将将 按泰勒级数展开，并略去高阶微量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，则有：，则有：1xMv dydz2x dxMvdydz12()x

7、xdxMMvvdydzx dxv12xxd xxxvvvd xxvMMd x d y d zx 连续性方程同样，同样，y y方向的总流体质量为：方向的总流体质量为： z z方向的总流体质量为：方向的总流体质量为：则控制体在单位时间内总流体质量为：则控制体在单位时间内总流体质量为：yvd x d y d zyzvd x d y d zz()yxzvvvdxdydzxyz流入量流入量-流出量流出量=单位时间内控制体的质量累积量单位时间内控制体的质量累积量Q=（由密度变化引起）（由密度变化引起）dxdydzt相相等等连续性方程0yxzvvvtxyz这就是单组分在直角坐标系中偏微分形式的这就是单组分在

8、直角坐标系中偏微分形式的连续性方程。连续性方程。写成矢量形式为：写成矢量形式为：用张量符号可写成：用张量符号可写成：()0t()0iitx连续性方程连续性方程的分析连续性方程的分析 它由两部分组成它由两部分组成, , 是由时间是由时间变化而引起的质量变化变化而引起的质量变化, ,是由于流场的不稳定性引是由于流场的不稳定性引起的质量变化起的质量变化, ,是局部项是局部项. . 是由空间位置而引起的质量变化是由空间位置而引起的质量变化, ,是由于场的不均是由于场的不均匀性引起的质量变化匀性引起的质量变化. .txyzvvvxyz对于任何一种稳定流动，有对于任何一种稳定流动，有 所以：所以：对于不可

9、压缩流体的稳定流动，有：对于不可压缩流体的稳定流动，有：0t0yxzvvvxyz0yxzvvvxyz连续性方程2.2.运动方程运动方程动量守恒律动量守恒律流体的动量变化率应等于作用在该流体上的各种流体的动量变化率应等于作用在该流体上的各种外力之和外力之和取边长为取边长为dxdx、dydy、dzdz的控制体，考虑的控制体，考虑动量变化率动量变化率、质量力质量力和和表面力表面力。()id mFdt运动方程（1 1）质量力）质量力X X轴方向的质量力轴方向的质量力Y Y轴方向的质量力轴方向的质量力Z Z轴方向的质量力轴方向的质量力()gxxxFmgdxdydz g()gyyyFmgdxdydz g(

10、)gzzzFmgdxdydz g运动方程（2 2）表面力（应力）表面力（应力） 作用在控制体内流体的表面力在作用在控制体内流体的表面力在x x轴方向的净表面力：轴方向的净表面力：()()()xxxxxxxyxyxyxzxzxzxFdx dydzdydzxdy dxdzdxdzydz dxdydxdyz化简得：化简得：()yxxxzxxFdxdydzxyz同理得：同理得：()xyyyzyyFdxdydzxyz()yzxzzzzFdxdydzxyz运动方程（3 3）动量变化率）动量变化率在在x x轴方向上的动量变化率为：轴方向上的动量变化率为：同理得同理得xxDDmdxdydzDtDtyyDDmd

11、xdydzDtDtzzDDmdxdydzDtDt运动方程质量力质量力+ +表面力表面力= =动量变化率动量变化率yxxxxzxxDgDtxyzyxyyyzyyDgDtxyzyzxzzzzzDgDtxyz用张量表示上面三个方程，则为：用张量表示上面三个方程，则为：jiiiDgDtjDgDt或或运动方运动方程程运动方程3.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律总能量的变化率（总能量的变化率（E E）= =流动能量的净流量（流动能量的净流量（E E1 1） + +热热能量的净流量（能量的净流量（E E2 2） + +应力所作的净功（应力所作的净功（E E3 3） 同样取流体中边长为同样取流体中边长

12、为dxdx、dydy、dzdz的控制体的控制体进行能量方程的推导进行能量方程的推导能量方程（1 1）总能量的变化率）总能量的变化率单位体积流体的能量为单位体积流体的能量为E E单位体积的质量所具有的能量为单位体积的质量所具有的能量为E E. .此时，总能量在控制体中单位时间内的变化率为：此时，总能量在控制体中单位时间内的变化率为：EEt能量方程（2 2）流动能量）流动能量沿沿x x轴方向流入的净流动能量为：轴方向流入的净流动能量为：沿沿y y、z z轴方向流入的净流动能量分别为：轴方向流入的净流动能量分别为：()()xxxxEEdydzEdx dydzxEdxdydzx ()yEdxdydzy

13、()zEdxdydzz上述三式相加，除以上述三式相加，除以dxdydz，得出单位体积的总净流，得出单位体积的总净流动能量动能量E1为：为：1()EE v 能量方程（3 3）热能量）热能量设沿设沿x x方向在单位时间、单位面积流入的热能量为方向在单位时间、单位面积流入的热能量为q qx x，则沿则沿x x轴方向的净热能量为：轴方向的净热能量为：同理，沿同理，沿y y、z z轴方向的净热能量为：轴方向的净热能量为：()xxxxqq dydzqdx dydzxqdxdydzx yqdxdydzyzqdxdydzz上述三式相加，除以上述三式相加，除以dxdydz，得出单位体积的净热能，得出单位体积的净

14、热能E2为：为：2()Eq 能量方程（4 4）应力所作的功）应力所作的功设立体微元受到各应力分量设立体微元受到各应力分量 的作用，则单的作用，则单位时间内做功为位时间内做功为则在则在x x、y y、z z方向上的净功为：方向上的净功为：ijijj()()()xxxxyyxzzyxxyyyyzzzxxzyyzzzdxdydzxdxdydzydxdydzz 上述三式相加，除以上述三式相加，除以dxdydz，得出对单位体积所作的，得出对单位体积所作的功为：功为：3()Ev 能量方程E=E1+E2+E3()()()EE vqvt 能量能量方程方程对于不可压缩流体而言，有对于不可压缩流体而言，有 ，故能

15、量，故能量方程简化为方程简化为:0()DTcqDt 能量方程本构方程本构方程描述物质宏观性质的数学模型描述物质宏观性质的数学模型描述应力分量与应变速率分量之间的关系方程描述应力分量与应变速率分量之间的关系方程是描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的是描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程力学响应规律的方程本构方程牛顿流体的本构方程牛顿流体的本构方程幂律流体的本构方程幂律流体的本构方程xvy对于不可压缩流体：对于不可压缩流体：1nK为常数为常数4. 4. 平行板间的等温拖曳流和管道中的压力流平行板间的等温拖曳流和管道中的压力流4.1 4.1 平行板间的等温拖曳流平行板间

16、的等温拖曳流 拖曳流定义：平板间流体的流动是依靠平板的拖曳流定义：平板间流体的流动是依靠平板的运动，而平板与流体间存在内摩擦，由此拖带运动，而平板与流体间存在内摩擦，由此拖带着流体流动的。着流体流动的。又称又称CouetteCouette库爱特流动。库爱特流动。例如：挤出成型中，挤出机的螺杆转动，带动物例如：挤出成型中，挤出机的螺杆转动，带动物料流动属于拖曳料流动属于拖曳假定两块板的间距为假定两块板的间距为H H，板间充满流体。设上板以速，板间充满流体。设上板以速度度V0V0沿沿x x方向运动，拖动板间流体也沿方向运动，拖动板间流体也沿x x方向流动，方向流动，下板静止。流动期间保持两板温度保

17、持不变为下板静止。流动期间保持两板温度保持不变为TwTw。求板间流体的求板间流体的速度分布速度分布与与温度分布温度分布情形情形要求解，首先要进行一些假定要求解，首先要进行一些假定设板间的流体为不可压缩的牛顿型流体，其设板间的流体为不可压缩的牛顿型流体，其密度密度和和粘度粘度为常数。拖动流为稳定的层流。为常数。拖动流为稳定的层流。设两板间距设两板间距H H远远小于板的几何尺寸，于是边缘效远远小于板的几何尺寸，于是边缘效应可以忽略不计，是一维流动。设板间流体的流速应可以忽略不计，是一维流动。设板间流体的流速只有只有VxVx分量不等于零，分量不等于零，VxVx也有沿也有沿y y方向的速度梯度方向的速

18、度梯度分量分量 不等于零。不等于零。xy物料在板壁上无滑移。这儿假定最贴近板的那一层物料在板壁上无滑移。这儿假定最贴近板的那一层流体的运动速度与板的移动速度相同，两者之间无流体的运动速度与板的移动速度相同，两者之间无滑动滑动流体与外界的热交换只是通过两块大板进行的，即流体与外界的热交换只是通过两块大板进行的，即热流矢量只有热流矢量只有q qy y分量不等于零分量不等于零设流体内压力设流体内压力p p为常数；重力和惯性力忽略不计。为常数；重力和惯性力忽略不计。惯性力忽略不计的原因是由于高分子流体一般粘度惯性力忽略不计的原因是由于高分子流体一般粘度很大，流速较低，速度变化不大。很大，流速较低，速度

19、变化不大。三大基本方程得到简化三大基本方程得到简化连续性方程：连续性方程：0yxzvvvtxyz流体为不可压缩流体，所以流体为不可压缩流体，所以流体只沿流体只沿x方向运动，所以方向运动，所以0t00yzvvyz0 xvx连续性方程简化得：连续性方程简化得：运动方程运动方程yxxxxxxxzxxyzxvvvvvvvgtxyzxyz简化前沿简化前沿x方向运动方程是：方向运动方程是：忽略重力，所以忽略重力，所以0 xg为一维流动，所以应力只在为一维流动，所以应力只在y方向上有变化方向上有变化00 xxzxxz00yzvv运动方程简化得：运动方程简化得：0yxy式（式（1）能量方程能量方程.vxyzy

20、yxxzzyyxxzx xy yz zy xyxzzx zy zTTTTcvvvtxyzqvqvqvPTxyzTxyzvvvvvxyzyxvvvvzxzy因为是稳流，因为是稳流，T不随不随x、z变化，且是层流，变化，且是层流，vy=vz=0，所以上式左边，所以上式左边=0。根据假设仅沿根据假设仅沿y方向传导，方向传导，qx=qz=0，压力是常数，压力是常数，仅沿仅沿x方向的一维流动，方向的一维流动，vx与与x无关，不可压缩的牛无关，不可压缩的牛顿流体，只有顿流体，只有x方向剪切方向剪切能量方程简化后得能量方程简化后得0yxyxqvyy22yxyxTqyvTyy 其中：其中：所以：所以：本构方程

21、：本构方程：xyxvy边界条件：边界条件：y=0时，vx=0；T=Twy=H时，vx=v0；T=Tw式（式（2）式（式（3）求解过程求解过程由式（由式（1 1）得）得上式代入式（上式代入式（3 3）得）得根据边界条件，求出根据边界条件，求出所以速度分布：所以速度分布：将速度分布代入式（将速度分布代入式（2 2）得：）得：上述积分并代入边界条件，得温度分布上述积分并代入边界条件，得温度分布1yxC12xcvyc01vcH20c 0 xvvyH2202vTyH 220()2wvTTH yyH可见，可见，速度是线性分布，即速度是线性分布，即速度分量速度分量v vx x沿沿y y方向线性变方向线性变化

22、，在上板处流速是化，在上板处流速是V V0 0，下，下板处流速为板处流速为0 0。温度分布是抛物线，在流道温度分布是抛物线，在流道中央中央y=H/2y=H/2处温度最高，接处温度最高，接近两板处流体温度与板的温近两板处流体温度与板的温度相等，流道中央温度升高度相等，流道中央温度升高的原因是：粘性流动耗散外的原因是：粘性流动耗散外部能量所致。部能量所致。在实际加工中，设定加工设在实际加工中，设定加工设备的机筒温度，一定要考虑备的机筒温度，一定要考虑机筒内物料的真实温度比设机筒内物料的真实温度比设定温度高许多，以免引起物定温度高许多，以免引起物料烧焦。料烧焦。4.2 圆形管道中的压力流定义：定义：

23、指物料在管中流动指物料在管中流动, ,是由于管道两端存在是由于管道两端存在压力差压力差, ,而边界固定不动，又称而边界固定不动，又称PoiseuillePoiseuille泊泊肃叶流动。肃叶流动。例子例子: :毛细管流变仪、挤出机口模、注射模具流毛细管流变仪、挤出机口模、注射模具流道道设管道内径为设管道内径为R R，长度为，长度为L L，静压为静压为P,P,管外温度始终管外温度始终保持保持TwTw。在管道内取柱坐标系（在管道内取柱坐标系（r r， ，z z）。物料）。物料沿沿z z方向流动，在不同半径方向流动，在不同半径r r处物料流速不等，故处物料流速不等，故r r方向为速度梯度方向，方向为

24、速度梯度方向， 方向为中性方向方向为中性方向简化假定简化假定设物料为不可压缩的遵循幂律方程的非牛顿型流体设物料为不可压缩的遵循幂律方程的非牛顿型流体，流动为稳定的层流。，流动为稳定的层流。设管径设管径R R管长管长L L；流速只有；流速只有z z分量分量VzVz不等于零，不等于零，VzVz也只有沿也只有沿r r方向的速度梯度分量方向的速度梯度分量 不等于零不等于零。物料在管壁无滑移。偏应力张量中只有。物料在管壁无滑移。偏应力张量中只有zvr0zrrz管壁温度为恒温管壁温度为恒温TwTw；流体与外界的热交换只通过管；流体与外界的热交换只通过管壁进行，即热流矢量只有壁进行，即热流矢量只有q qr

25、r分量不等于零。温度场分量不等于零。温度场不随时间变化。不随时间变化。设流体内压力设流体内压力p p沿沿z z方向有梯度，压力梯度方向有梯度，压力梯度 为常数。重力和惯性力忽略不计。为常数。重力和惯性力忽略不计。pz连续性方程连续性方程根据上述假设，流体不可压缩且为稳态流动，物料沿根据上述假设，流体不可压缩且为稳态流动，物料沿z z方方向流动，流速只有向流动，流速只有z z分量分量VzVz不等于零不等于零连续性方程简化得：连续性方程简化得：0rzvrvvtr rrz0zvz运动方程运动方程简化前沿简化前沿z z方向运动方程是：方向运动方程是：v vr r=v=v=0=0，稳流，左边等于，稳流，

26、左边等于0 0。无体积力作用，所以无体积力作用，所以偏应力张量中只有偏应力张量中只有 所以运动方程简化为：所以运动方程简化为：/11zzzzrzzrzzzzvvvvPvvrvtrzzrgrrrz 0zg1rzrPzrr0zrrz能量方程能量方程./1111/1/ ()vrzrzrzrzrrrrzzrzrrzTTTTcvvrvtrzqvrqqrvvPTrrrzTrrrzvvrvvvrvrrzrrvvrz1zzvvrz 因为是稳流，因为是稳流，T T不随时间变化，且是层流，不随时间变化，且是层流，v vr r=v=v=0=0，所以上式左边，所以上式左边=0=0。 根据假设仅沿根据假设仅沿r r方向

27、传导，方向传导，q q = =q qz z=0=0，右边，右边第一项只有第一项只有 对于不可压缩流对于不可压缩流体，体， 右边第二项右边第二项=0=0，第三项大括号中只有，第三项大括号中只有这样简化后有：这样简化后有：rTqr ()1rrqrr.0Vzrzvr()1rzrzrqvrrr幂律流体本构方程幂律流体本构方程边界条件边界条件 r=Rr=R，v v（z z）=0=0； r=0r=0， r=Rr=R，T T（R R）= =TwTw；r=0r=0，求幂律流体的速度、温度分布求幂律流体的速度、温度分布将本构方程代入运动方程有：将本构方程代入运动方程有：积分有积分有根据边界条件：根据边界条件：

28、r=Rr=R，v v（z z）=0=0； r=0r=0， 有有c c1 1=0=0，所以有，所以有()nnzrzvkkr21.2np rrczk0zvr0Tr0zvr1nPrkzrr1()2znvp rrzk积分后有积分后有根据边界条件，根据边界条件，代回上式代回上式这就是速度分布方程。这就是速度分布方程。1121() ()21nnnpncRzkn 1111() ()(1)21nnnnnzpnrvRzknR 1121() ()21nnnzpnvrczkn将本构方程代入能量方程有将本构方程代入能量方程有将将 代入上式，代入上式，进行积分：进行积分：根据边界条件有根据边界条件有进行积分有：进行积分

29、有：1()()nzTrvrkrrr1()()2nnTrp rrkrrzk131311()()231nnnnTpnrkrcrzkn 13111()()231nnnnTpnrkrrzkn 1312411()()231nnnnpnTkrczkn 1()2znvp rrzk根据边界，有根据边界，有代入上式，整理后有：代入上式，整理后有：这就是温度分布方程。这就是温度分布方程。1312411()()231nnnnpncTwkRzkn31131211()()1231nnnnnnpnrTTwkRzknR无量纲化无量纲化由速度分布和温度分布方程可以得到管壁处由速度分布和温度分布方程可以得到管壁处r=Rr=R时物料流速为时物料流速为0 0，而温度为，而温度为TwTw，在管中心处的，在管中心处的流速和温度分别是：流速和温度分别是：可见，流速和温度均在管中心处取最大值，轴心可见，流速和温度均在管中心处取最大值，轴心处温度比管壁温度高。处温度比管壁