北华大学《力学》课件9第九章.

1、第九章第九章 振动振动本章知识内容提要本章知识内容提要 一、一、简谐振动简谐振动 二、二、阻尼振动阻尼振动 三、三、受迫振动受迫振动 四、四、非线性振动简介非线性振动简介 本章知识单元与知识点小结本章知识单元与知识点小结北华大学物理学院北华大学物理学院力学力学电子教案电子教案振动：振动： 线性线性振动；非线性振动振动；非线性振动线性振动：线性振动：质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系，质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系， 其数学描述为线性常系数常微分方程。其数学描述为线性常系数常微分方程。非线性振动：非线性振动：非线性系统，其数学描述为非线性微分方程。非线性系统，其数学描述为

2、非线性微分方程。线性振动理论是对振动现象的近似描述。线性振动理论是对振动现象的近似描述。本章主要介绍机械振动中三种比较简单的线性振动形式本章主要介绍机械振动中三种比较简单的线性振动形式返回上级目录返回上级目录本章知识内容提要本章知识内容提要力学力学电子教案电子教案简谐振动简谐振动运动学方程及其特征物理量运动学方程及其特征物理量简谐振动的几何描述简谐振动的几何描述简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 简谐振动的四种方式合成简谐振动的四种方式合成返回上级目录返回上级目录力学力学电子教案电子教案简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程1. 1. 水平振动的弹簧振子水平振动的弹簧振子2. 2. 竖直振

3、动的弹簧振子竖直振动的弹簧振子以弹簧的原长为坐标原点：以弹簧的原长为坐标原点：以平衡位置为坐标原点：以平衡位置为坐标原点：弹簧振子振动演示弹簧振子振动演示力学力学电子教案电子教案3. 3. 单摆单摆对于较小幅度的摆动，对于较小幅度的摆动， 整理得：整理得：4. 4. 复摆复摆 对于较小幅度的摆动对于较小幅度的摆动， 令令 整理得：整理得：力学力学电子教案电子教案5. 5. 扭摆扭摆实验表明：实验表明： 转动定律得：转动定律得： 令令 整理得：整理得： 结论：结论：在回复力或回复力矩作用下，以平衡位置为坐标原点，简谐振在回复力或回复力矩作用下，以平衡位置为坐标原点，简谐振动的标准微分方程为：动的

4、标准微分方程为：力学力学电子教案电子教案例例9.1.1-1 9.1.1-1 如例如例9.1.1-19.1.1-1图所示的系统，木板质量为图所示的系统，木板质量为m m，水平放在两相同的，水平放在两相同的柱体（质量为柱体（质量为m m，半径为，半径为r r）上，板两端用两个弹性系数为）上，板两端用两个弹性系数为k k的轻弹簧连接，的轻弹簧连接，弹簧水平地挂在两固定点上。当系统作振动时，柱与板以及柱与地面间均弹簧水平地挂在两固定点上。当系统作振动时，柱与板以及柱与地面间均作纯滚动。问：系统是否作简谐振动，如果是，求振动周期。作纯滚动。问：系统是否作简谐振动，如果是，求振动周期。 解：以板为研究对象

5、，应用牛顿第二定律有：解：以板为研究对象，应用牛顿第二定律有： 以其中一个柱为研究对象，作平面平行运动。以其中一个柱为研究对象，作平面平行运动。质心运动：质心运动： 绕质心转动：绕质心转动： 柱与板接触点纯滚动：柱与板接触点纯滚动： 柱与地面接触点纯滚动：柱与地面接触点纯滚动： 联立可得：联立可得： 因此，板作简谐振动，振动周期为：因此，板作简谐振动，振动周期为： 例例9.1.1-2 9.1.1-2 半径为半径为r r的均匀重球，可以在一半径的均匀重球，可以在一半径R R为的球形碗底部作纯滚为的球形碗底部作纯滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。解：

6、建立如例解：建立如例9.1.1-29.1.1-2图所示的坐标系，以小球为研究对象，为平面平行运动。图所示的坐标系，以小球为研究对象，为平面平行运动。质心运动：质心运动： 绕质心转动：绕质心转动： 接触点纯滚动：接触点纯滚动： 小幅度振动条件：小幅度振动条件： 联立得：联立得： 其中其中 因此小球的振动周期：因此小球的振动周期： 力学力学电子教案电子教案例例9.1.1-3 9.1.1-3 在一竖直放置的、横截面均匀的在一竖直放置的、横截面均匀的U U形管内装有一段长为的液形管内装有一段长为的液体，由于某一小扰动使管内的液体发生振动，若不计粘滞阻力和毛细作体，由于某一小扰动使管内的液体发生振动，若

7、不计粘滞阻力和毛细作用，求振动周期。用，求振动周期。解：液体静止时的水平面为坐标原点，向上为正方向，以整个液体为研解：液体静止时的水平面为坐标原点，向上为正方向，以整个液体为研究对象，系统机械能守恒。设横截面积为究对象，系统机械能守恒。设横截面积为s s，坐标原点处为势能零点。，坐标原点处为势能零点。 系统机械能守恒系统机械能守恒： 上式对时间求导数有：上式对时间求导数有： 因此系统的振动周期为：因此系统的振动周期为： 返回上级目录返回上级目录力学力学电子教案电子教案简谐振动的运动学方程及特征物理量描述简谐振动的运动学方程及特征物理量描述简谐振动微分方程的解为：简谐振动微分方程的解为： 其中，

8、和其中，和 是任意常数，针对具体问题，由初始条件确定。是任意常数，针对具体问题，由初始条件确定。1. 1. 位移位移x x：振子运动到某位置（弧、线、角）的坐标，有正振子运动到某位置（弧、线、角）的坐标，有正负之分。通常以平衡位置为坐标原点。负之分。通常以平衡位置为坐标原点。 2. 2. 振幅：振幅：振子离开平衡位置的最大位移的绝对值，总是正的振子离开平衡位置的最大位移的绝对值，总是正的。3. 3. 圆频率圆频率 ：5. 5. 周期周期T T：4. 4. 频率频率 ： 1 1赫兹（赫兹（HzHz）=1/=1/秒秒 力学力学电子教案电子教案6. 6. 相位：相位：7. 7. 初相位初相位: :时

9、对应的位相，规定时对应的位相，规定 :8. 8. 由初始条件确定由初始条件确定: :时，由系统实际的初始状态判断时，由系统实际的初始状态判断当当 时，由系统简谐振动的运动学方程可得，时，由系统简谐振动的运动学方程可得， 联立确定联立确定 力学力学电子教案电子教案力学力学电子教案电子教案力学力学电子教案电子教案力学力学电子教案电子教案9. 9. 简谐振动的能量简谐振动的能量力学力学电子教案电子教案10. 10. 等值摆长等值摆长力学力学电子教案电子教案11. 11. 等值摆长与打击中心等值摆长与打击中心返回上级目录返回上级目录力学力学电子教案电子教案简谐振动的几何描述简谐振动的几何描述动画演示动

10、画演示返回上级目录返回上级目录力学力学电子教案电子教案简谐振动合成简谐振动合成同方向不同频率同方向不同频率垂直方向同频率垂直方向同频率同方向同频率同方向同频率 垂直方向不同频率垂直方向不同频率返回上级目录返回上级目录力学力学电子教案电子教案动画演示动画演示返回上级目录返回上级目录力学力学电子教案电子教案2 2同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成拍现象拍现象力学力学电子教案电子教案力学力学电子教案电子教案动画演示动画演示力学力学电子教案电子教案返回上级目录返回上级目录力学力学电子教案电子教案3. 3. 相互垂直、同频率的简谐振动的合成相互垂直、同频率的简谐振动的合成力

11、学力学电子教案电子教案动画演示动画演示返回上级目录返回上级目录力学力学电子教案电子教案4. 4. 相互垂直、频率成整数倍的简谐振动的合成相互垂直、频率成整数倍的简谐振动的合成李萨茹图李萨茹图 动画演示动画演示力学力学电子教案电子教案返回上级目录返回上级目录力学力学电子教案电子教案阻尼振动的微分方程及其解阻尼振动的微分方程及其解力学力学电子教案电子教案动画演示动画演示力学力学电子教案电子教案力学力学电子教案电子教案返回上级目录返回上级目录力学力学电子教案电子教案受迫振动的微分方程及其解受迫振动的微分方程及其解力学力学电子教案电子教案力学力学电子教案电子教案:cos()pA At202cos()p

12、xxxht力学力学电子教案电子教案受迫振动的共振现象受迫振动的共振现象共振频率共振频率力学力学电子教案电子教案共振的避免：共振的避免：自鸣的铜磬：自鸣的铜磬：唐朝洛阳寺庙，老和尚房间的铜磬不敲鸣，唐朝洛阳寺庙，老和尚房间的铜磬不敲鸣， 好友曹解惑好友曹解惑桥梁的坍塌：桥梁的坍塌：19061906年，一队骑兵，俄国马彼得堡附近的一年，一队骑兵，俄国马彼得堡附近的一 座桥时，马队整齐的步伐和桥发生共振，桥座桥时，马队整齐的步伐和桥发生共振，桥 梁坍蹋，人仰马翻，坠于河中梁坍蹋，人仰马翻，坠于河中美国华盛顿州塔科玛桥美国华盛顿州塔科玛桥19401940年建成，年建成，4 4个月后坍塌个月后坍塌共振的

13、利用共振的利用：信号调频信号调频钱伟长、钱学森老师冯钱伟长、钱学森老师冯. .卡门，卡门涡街造成的卡门，卡门涡街造成的返回上级目录返回上级目录非线性振动简介非线性振动简介( , )( )xf x xF t线性振动满足：线性振动满足：1. 1. 弹簧弱非线性系统的振动：弹簧弱非线性系统的振动：230()0 xxx313Fk xk x 22203(1)04A共振频率：共振频率：2302()cos()pxxxxht弹簧弱非线性系统的受迫振动弹簧弱非线性系统的受迫振动：亚波共振频率：亚波共振频率：00,3402. 2. 自激振动：自激振动：外界供给能源恒定外界供给能源恒定22200(1)0 xxx产生

14、共振现象：产生共振现象： 电铃振动电铃振动 摩擦琴弦产生的音乐摩擦琴弦产生的音乐 推门时轴承产生的噪音推门时轴承产生的噪音 车刀在切削时产生的振动车刀在切削时产生的振动 输电线的舞动输电线的舞动 管内流体喘振管内流体喘振3. 3. 参数振动：参数振动：通过系统自身运动的反馈作用调节能量的输入而产生的通过系统自身运动的反馈作用调节能量的输入而产生的产生共振现象：产生共振现象：当秋千荡到左、右两侧最高点时，人在秋千板上迅速下蹲，而当秋千荡到左、右两侧最高点时，人在秋千板上迅速下蹲，而回到平衡位置时，人又迅速直立。由人、板、和悬索组成的系回到平衡位置时，人又迅速直立。由人、板、和悬索组成的系统的重心作周期性的升降，就相应于单摆摆长的周期性变化，统的重心作周期性的升降，就相应于单摆摆