P二次曲线的类型和形状的判别

1、22112212222200 .a xa yb xb yca（）221122120.a xa yb xc*2*2*11220a xa yc222120a yb xc*2*22120a yb x*2*22=0,a yc10b 1=0b椭圆型椭圆型(1) (1) 椭圆椭圆 (2) (2) 无轨迹无轨迹 (3)(3)点点 *1100;ca c，*1100ca c，*0,c 双曲型双曲型(4) (4) 双曲线：双曲线：(5) (5) 两条直线：两条直线：*0,c *0,c *11220a a*11220a a110,a110a抛物型曲线抛物型曲线*11220,0aa(6) 抛物线抛物线 (7) 一对平

2、行的直线一对平行的直线 (8) 无轨迹无轨迹 (9) 一条直线一条直线10b *1220,0ba c*10,0bc10b *220a c 4 4：二次曲线类型和形状的判别：二次曲线类型和形状的判别问题：如何从二次曲线的方程，直接判断二次曲问题：如何从二次曲线的方程，直接判断二次曲线的类型？线的类型？二次曲线的类型：二次曲线的类型：2211122212( , )22(21)0.F x ya xa xya yb xb yc*2*2*11220a xa yc*2*2*2212220,=0.a yb xa yc中心型（椭圆型和双曲型）中心型（椭圆型和双曲型）非中心型非中心型*11221,.aab c从

3、方程（从方程（1）的系数计算）的系数计算2211122212( , )2220.F x ya xa xya yb xb yc= cossin ,sincos .x xyyxy2211122212( ,)=2220.F x ya xa x ya yb xb yc2211111222cos2sin cossinaaaa2212221112()sin cos(cossin)aaaa2222111222sin2sin coscosaaaa112cossinbbb212sincosbbb cc 系数的关系系数的关系转轴转轴代入上面的方程代入上面的方程要使得新方程中没有要使得新方程中没有混乘项，即混乘项，

4、即120a112212cot2.2aaa112211221122112212,()cos22sin2 .aaaaaaaaa新方程中没有混乘项，即新方程中没有混乘项，即120a11221212cos22cot22sin2aaaa212112212122cos 222sin2.sin2sin2aaaaa221122112211221()() 4a aaaaa112212cot22aaa2212112212()() 4sin2aaa221122121()(2csc2 ) 4aaa2112212.a aa定义：定义：11122211221211221222.aaIa aaa aaa所以所以二次曲线二次

5、曲线的类型可以用的类型可以用 来判别：来判别：2I(I)(I)椭圆型：椭圆型：20I 20I 20I (II)(II)双曲型：双曲型：(III)(III)抛物型：抛物型：中心型：中心型：20I （非中心型：（非中心型： ）20I *2112211221122.Ia aa aa a例例1 1：二次曲线的方程是：二次曲线的方程是22240.xxyyxy是双曲型是双曲型标准方程里面的系数可以由下面的关系来确定标准方程里面的系数可以由下面的关系来确定*2112211221122122,a aa aa aaI*112211221122,aaaaaa记记11122Iaa2120II那么那么 就是下面方程的

6、根就是下面方程的根 *1122,aa上面的方程称做二次方程的上面的方程称做二次方程的特征方程特征方程，它的根，它的根记作记作 ，叫做特征根。，叫做特征根。12, 接下来我们进一步确定曲线的形状，也就是说要确接下来我们进一步确定曲线的形状，也就是说要确定标准方程中的其它系数定标准方程中的其它系数. .中心型曲线中心型曲线*2*2*11220a xa yc标准方程：标准方程：*11112222,aaaa22*121122.bbccaa求求*c2222*12112211 222 111221122bbca aa ba bccaaa a又因为又因为120a222211 222 111 212 1 22

7、2 12a ba ba ba bba b22112211 222 122211221222 111 212 1 2()2ca aa ba ba aaca ba ba bb因为因为222211 112 1 222 211 112 1 222 222(1)a ba bba ba ba bba b 222212122bbbb11221122(2)aaaa两边分别乘以和再减(1)得3I公式推导公式推导222311221222 111 212 1 2222112212 1 21211 222 1()22Ia aaca ba ba bba a ca bba ca ba b111211222212.aaba

8、abbbc中心型曲线的方程可以用中心型曲线的方程可以用 完全确定。完全确定。123,I II*2*231220IxyI 是特征方程是特征方程 的两个特征的两个特征根根12, 2120II*32IcI(I)(I)椭圆型：椭圆型：（1 1）椭圆：）椭圆：（2 2）无轨迹：）无轨迹：（3 3）点：）点： 20I 30,I 1 30I I 30,I 1 30I I 30.I (II)(II)双曲型双曲型：（4 4）双曲线：）双曲线：（5 5）一对相交的直线：）一对相交的直线：20I 30,I 30.I 中心型曲线标准方程中心型曲线标准方程*2*231220IxyI121122,.II非中心型曲线非中心

9、型曲线非中心型曲线的特点是非中心型曲线的特点是1120,0.aI它的标准方程分它的标准方程分 两种情况两种情况 10,b 10b *2*22120a yb x*2*22=0,a yc10b 1=0b2*222221122,.baabb cca*222211221aaaaI如何求如何求*1,b c2223112211 222 122 111.Ica aa ba ba ba （此时=0）310,Ib当，即0时曲线是抛物线，标准方程是*223111IbbI 所以标准方程可以用所以标准方程可以用 表示成表示成13,I I*2*2*33131120.2III yxyxII 即焦参数为焦参数为331IpI

10、*2*22120a yb x310Ib ，即 =0,曲线的标准方程*2*22=0,a yc22*22222222.ba cbccaa*2222112211,0aaaaI cc b因为222212,bbb所以所以222222112212()().a cbaacbb记记221112212()().Kaacbb于是于是*221=a cK*11=KcI标准方程可以标准方程可以写成写成*2121=0,KyI111222112ababKbcbc（III）抛物型：）抛物型：（6）抛物线）抛物线 ：（7）一对平行的直线：）一对平行的直线：（8）无轨迹：）无轨迹：（9）一条直线：）一条直线：30.I 30,I

11、10K 30,I 10.K 30,I 10.K *2121=0,KyI*2*31120II yxI ，非中心型曲线非中心型曲线标准方程标准方程型别型别类别类别判别标志判别标志标准方程标准方程抛物型双曲型椭圆型20I 20I 20I (1)椭圆(2)无轨迹(3)一点33133130, ,0, ,0II III II反号同号*2*231220IxyI(4)双曲线(5)相交直线3300II(6)抛物线(7)平行直线(8)无轨迹(9)一条直线30I 3131310,00,00,0IKIKIK*2121=0,KyI*2*31120II yxI例例2 确定二次曲线确定二次曲线 的类型的形状的类型的形状.2

12、681226110 xyyxy解：计算解：计算123,III,1088,I 2039038I 3036381361311I810双曲型曲线双曲型曲线2890.特征方程是1291 ，*2*2990.xy方程可以化简为例例3 确定二次曲线确定二次曲线 的类型的形状的类型的形状.222840 xxyyx解：计算解：计算123,III,11 12,I 21 101 1I 3114110160404I 方程可以化简为*2*24 20.yx 抛物线*2*2 2yx 即，2p 焦参数为 二次曲线与直线的相关位置讨论二次曲线与直线00(2)xxXtyyYt的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后

13、讨论关于t的方程2211122212( , )2220 (1)F x ya xa xy a ybxby c 22211122211 012 0112 022 022211 012 0 022 01 02 0(2)2 ()()(3)(222) 0a Xa XYa Y ta xa yb Xa xa yb Y ta xa x ya ybxb yc210020000(, )2(,)(,)(,)0(4)X YtF xyXFxyY tF xy 对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：.)1()2()2()4(. 0121的的两两个个不不同同的的实实交交点点与与二二次次曲曲线线得得直直线线，代代入入与与有有

14、两两个个不不等等的的实实根根方方程程tt .)1()2()4(. 0221点点有有两两个个相相互互重重合合的的实实交交与与二二次次曲曲线线，直直线线与与有有两两个个相相等等的的实实根根方方程程tt .)2()4(. 03的的虚虚点点二二次次曲曲线线交交于于两两个个共共轭轭与与线线有有两两个个共共轭轭的的虚虚根根，直直方方程程 ),(),(),(),(,)4(. 0),(. 1002002001yxFYXYyxFXyxFYX 的的二二次次方方程程是是关关于于此此时时t210020000(, )2(,)(,)(,)0(4)X YtF xyXFxyY tF xy ：，这时又可分三种情况，这时又可分三

15、种情况0),(. 2 YX.)1()2(,)4(.0),(),(1002001实实交交点点有有唯唯一一与与二二次次曲曲线线直直线线的的一一次次方方程程关关于于是是此此时时tYyxFXyxF .)1()2(,)4(.0),(.0),(),(200002001无无交交点点与与二二次次曲曲线线直直线线是是矛矛盾盾方方程程而而 yxFYyxFXyxF.)1()2(,)4(.0),(),(),(300002001上上全全部部在在二二次次曲曲线线直直线线是是恒恒等等式式此此时时 yxFYyxFXyxF210020000(, )2(,)(,)(,)0(4)X YtF xyXFxyY tF xy 二次曲线的渐

16、近方向即1)椭圆型：I20 2)抛物型： I20 3)双曲型： I2022111222(, )20(, )定义1满足条件的方向叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向.：X Ya Xa XYa YX Y椭圆型二次曲线，没有实渐近方向，双曲型二次曲线，有两个实渐近方向，抛物型二次曲线，有一个实渐近方向.22111222(, )20X Ya Xa XYa Y21211222(2)4aa aI 2211122212( , )2220如 果 二 次 曲 线 是 一 条 双 曲 线 ， 那 么 它 的 两 条 渐 进 线 为F x ya xa xy a ybxbyc 22112211122200( , ),(, )2( , )其 中 是 方 程 =0 的 两个 解 ，是 双 曲 线 的 对 称 中 心 ， 即 是 下 面 方