车灯线光源的优化设计 - 问题重述

1、问题重述：安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。 请解决下列问题：（1）在满足该设计规范

2、的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。（3）讨论该设计规范的合理性。模型假设：1 抛物面表面绝对光滑且反射系数为12 灯丝发光强度处处相同3 当光源尺寸远小于它到受照面的距离时可视为点光源4 光线在大气中传播时不考虑尘埃等对光线的散射或其它影响5 将灯丝离散的分成许多小段，每一段的能量集中在该段的中心位置，视为点光源6 灯丝发光强度与功率成正比，比例系数为K符号系统： L：灯丝长度； P：抛物线的焦距； F：光通量； I：发光强度； W：空间角；模型的建立：首先我们建立如下的坐标系，其中xoy平面为过旋转轴的水平面，

3、z轴垂直xoy竖直向上抛物面坐标系XYZ配光屏坐标系YZOS图1我们的模型建立在光通转移法原理之上。光通转移法的原理（如图1所示）是基于照射到一块反射面上的光通量乘以反射系数后，将完全照射到所对应的配光屏上。详述为：照射到配光屏上的光通量为： 其中 入射线与面元法线的夹角 入射线与光轴的夹角的变化量 旋转角度的变化量照射到配光屏上产生的照度 其中 反射器的反射系数 配光屏上对应的面积下面我们分单灯丝和双灯丝两种情况来建立模型1单灯丝模型图2当入射线与光轴的夹角与旋转体角度发生微小变化（，）时，配光屏上相应的面积S求法如下所述：角和角发生微小变化，形成图2所示的微锥体，设微锥体的棱长为R，则底面

4、矩形的长和宽分别为，面积为。微锥体在抛物面上的截面的曲率处处近似相等，可以看作一光滑的平面。那么反射光线可以看作是从点光源关于该截面的像点发出的，像点到配光屏的距离是一常数，设为d，则微锥体在配光屏处的底面面积为，照射到配光屏上的面积，其中为反射光线与配光屏法线的夹角。在配光屏处的面积为。如图3所示，DEF的底角可以看作是直角，则投射到配光屏上的面积DEEF图3照射到配光屏上产生的照度为 ，与和有关。由上面的公式可以计算出每个点光源经反射后在B，C两点的光照度，B点和C点的经抛物面反射的总照度为：对于光线直射到配光屏上的情况，反射系数就是1，即=1。直接照射到配光屏上产生的照度为 计算出每个点

5、光源在B，C两点的直接光照，B点和C点的总直射光照度为： 经过以上的准备工作 ，建立单目标规划模型如下：线光源的功率 对于配光屏上其它点的光照度也可以用累加和的形式得到。2双灯丝模型为了减少功耗，可以将灯丝分段设计（仍保证总的灯丝关于焦点对称放置）。现考虑有两段灯丝的情况，基于上面的讨论，两段灯丝对称的放置在焦点的两侧，两段灯丝之间的距离为。这就相当于在单灯丝模型的基础上，将灯丝中间长度为的灯丝去掉。于是，所建立的模型与单灯丝模型相同，只是在求解的时候不考虑中间长度为的灯丝发出的光线。 模型求解： 问题一： 在灯丝所在的水平面上，抛物线的方程为，焦点处的坐标为（15，0）。旋转抛物面的方程为（

6、）。令，则 ， ， 过抛物面任意一点的法矢量为。 反射光光照度的计算：对于每个点光源，的变换范围都是，的变化范围因点光源的位置不同而有所变化，计算方法如图4所示：MPQNxy图4设M点的坐标为，则P，Q，N三点的坐标分别为，那么的变化范围是。对于给定的，过点光源的空间直线的参数方程为： (t>0) 与抛物面交于点，其中满足下面的条件过N点的法矢量为，设分别是入射光线、法线、出射光线的矢量，如图5所示P1P2P3ABCD图5入射线与面元法线的夹角（）的余弦值为 = 由反射定律知，若AD与BC垂直，则。设，由 ，得到 ， 配光屏为一垂直于X轴的平面，其法矢量与X轴平行，故其法矢量为，可得反射

7、线与配光屏法法矢量的夹角（）的余弦值为 =微锥体的光斑在配光屏上的坐标值可由反射线方程与配光屏方程联立求得。这样对给定的点光源以及、便可求出该点光源在配光屏上相应位置的光照度。直射光光照度的计算：由于光源与测试屏的距离远远大于光源的尺度，因此在计算直射光的时候完全可以近似认为光远是点光源，如图6所示，。我们在计算的时候可取的变化范围为-，变化范围为。这样给定和的值，便可求出直射光在配光屏上的光照度。由于整个灯视为点光源，在模型求解时不再需要累加。图625mCBOAj 由于C点的光照度是一个相对的概念，我们规定额定值为常数T，使C点的光强度不小于T，B点的光强度不小于T的两倍。对于每个给定的灯丝

8、长L，计算满足上述条件的灯丝的最小功率。对L的值进行变动，用计算机进行搜索，使功率P达到最小，得到L的近似最优解。 对单灯丝模型求解所得结果为：L=3.4(mm) B、C两点的光照度之比为 3.421。灯丝长度取其它一些值所得数据见下表灯丝长度（单位 mm）B，C两点光照度之比相对功率08216674831613676748324112267483289866674833092976748332373849753434214606363256473838311648954030635036对双灯丝模型求解所得结果为：L=1.9(mm)，每段灯丝的长度为0.95（mm），两灯丝之间的距离为1.5

9、（mm）。B，C两点的光照度之比为4.036。两段灯丝间距离取其他一些值所得到的数据见下表灯丝间距离（单位mm）取最小相对功率灯丝总长度（mm）B，C两点光照度之比相对最小功率与单灯丝最小相对功率比值0.13.3403649071.0650.52.94036435909460.92.54036335807291.32.14036248605391.51.9403620990.4561.71.5062766191.4371.91.3032592081.999两者的功率之比为：=0.456问题二：对单灯丝模型，在L=3.4mm的情况下，配光屏上反射光的亮区如图7所示，越白的地方表示越亮，其等亮线如

10、图8所示。对双灯丝模型，在每段灯丝长0.95毫米，之间距离为1.5毫米的情况下，配光屏上反射光的亮区如图9所示，其等亮线如图10所示。图7图8图9图10在实际中抛物面的顶部总是被截掉一部分，在本题中我们将抛物面的部分截掉，得到的反射亮区（不含直射光线）及其等亮线分别为图11，图12。 图11图12 问题三：为了使汽车夜间行驶保持足够的照明，前照灯不仅要有一定的亮度（发光强度），而且照射的方向（前照灯主光轴方向）也要适合。汽车前照灯发光强度高、亮度充分，才能保证驾驶员夜间行车时辨认道路情况；前照灯照射方向不仅为本车驾驶员提供可靠的照明，而且还要防止夜间会车时给对方驾驶员造成眩目。因此，前照灯的发

11、光强度和照射方向，是影响汽车夜间行车安全的关键因素，也是我们需要讨论的两个方面。一、 发光强度本题提出的设计规范中，主要对配光屏上两个特定点B、C的照度做出了限制。我们这里考虑灯丝在上下、左右两个方向上产生位移后，是否还能满足设计规范的约束。通过计算，灯丝在这两个方向上产生位移后，配光屏上的光斑上下位移不能超过225mm，左右位移不能超过275mm。由于灯丝到配光屏的距离有25m，所以，在设计规范的约束下，灯丝的位移被限制在一个很小的范围内，大约是上下0.1mm，左右0.12mm。二、 照射方向对应于我们这里，就是配光屏上光斑形状的不同。由于灯丝的位移被限制在一个很小的范围内，因此，光斑形状的变化并不会太大。考虑一种极端的情况，灯丝左位移0.12mm，上位移0.1mm，得到的光斑图如图13：图13模型讨论： 模型在求解推导过程中，把抛物面看作是由大量的微平面组成的，当微平面的面积趋近于零时，模型得到的结果会真实的反映实际情况，可在采用计算机计算过程中，角度的变化量始终不会趋于零，给模型带