(完整word版)电大复变函数形成性考核册参考答案(word文档良心出品)

1、乙二(C)ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)A |z|R B 0|z|RC R|z|R复变函数习题总汇与参考答案第1章复数与复变函数、单项选择题1、若 Z尸(a, b ) ,Z2=(c, d),则 Zi A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd,2、若 R0,则 N (s, R) = z : (D)13、若 z=x+iy,则 y=(D)A话24、若 A=(CM1D277：(4 2)(1 i)z z2iz z2i，则 |A|= (C)二、填空题1、若 z=x+iy, w=z 2=u+iv,则 v= ( 2xy )2、复平面上满足 Rez=4的点集为(z=x+

2、iy|x=4),则zn以Zo为极限的3、(设E为点集，若它是开集，且是连通的，则 E )称为区域。4、设 Z0=X0+iy 0, z n=xn+iy n(n=1,2,lim充分必要条件是xJimn=X0, H y n=y。三、计算题1、求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角。解：Re(-1-i)=-1Im(-1-i)=-12、写出复数/3 i cos一解： 2的三3式。i sin一2.(1)( 1)21i在第三象限ary( 1, i),.1.5 arctan | 一143、写出复数的代数式。解：12321 ii1 :i21:i2i(1 i) (1 i)i(1 i)(1 i)4、求根式解：3 2

3、7arg( 27)27的三次根的值为Woi3e 33(cos isin)33Wi2 ir) 3e 3i() 3e 33(cosisin )四、证明题1、证明若3 x yi证明:x yix yi3(cos5i sin5 )3a bia bi,则 a2+b2=1。x yi .|a bi| |x yi|a而22Zi1Z1 Z2bi | . a2b2a2 b23、证明：Z22Re(乙Z2)证明:Z1 Z2(ZiZ2）（ZlZ2) (ZiZ2)(Zi Z2)Z1z2Z2Z22Z1Z2Z2Z1Z1设zZ2Z2Z1Z2Z2Z1a bi 贝1JZax yi 则 Z2xbiyi(x yi)(a bi) (bx

4、ay)iz1z2 z2z1 (a bi )(x ax by (bx ay)i ax 2( ax by) 2 Re( z1 z2 )2yby第2章 解析函数一、单项选择题1.若 f(z尸 x 2-y 2+2xyi,则 f(z) (D)2、若 f(z尸u(x, y)+iv(x,y),A且,bx y x yuvuvc飞qqdxyxxx则柯西一黎曼条件为(D)uuvv-lLxyxyu v v 且 u J vx y y x133、若f(z尸z+1,则f(z)在复平面上(C)A仅在点z=0解析B无处解析C处处解析D在z=0不解析且在zw0解析4、若f (z)在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)

5、+g(z)在复平面上(C) A解析B可导C连续D 不连续二、填空题1、若f(z)在点a不解析，则称a为f(z)的奇点2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析3、若 f(z)=z 2+2z+1,则 f (z)2z 24、若 f(z) (z D7z 2)，则 f(1)不存在三、计算题：1、设 f(z尸zRe(z),limf(0)f(0)f(0)limeoz 0limoRe( ) 02、设 f(z)=e xcosy+ie xsiny, 求 解：f(z)=e xcosy+ie xsiny=e z,z=x+iy u=excosy v=e xsinyf(z)=u+ivvy vyxe c

6、os y一 x _e sin yxf (z) e cosy ie.f(z)在复平面解析，且 f =e) xcosy+ie xsiny3、设f(z尸u+iv 在区域G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2,f(i)=0,试求 f(z)。解：依C-R条件有Vy=ux=313y2v(3x2 3y2)dy 3x2 y y3 Q(x)Vx 6xy Q (x) uy 6xyQ(x) c则 V (x1y) =3x2y-y 3+c(c 为常数)故 f(z)=x 3-3xy 2+i(3x 2y-y 3+c)=x3-3xy 2+i(cx 2y-y 3)+ic=z3+ic ,为使 f(i)=0, 当 x=0,y=1

7、 时，f(i)=0, 有 f(0)=-i+ic=0c=1/.f(z)=Z 3+i4、设f(z尸u+iv 在区域G内为解析函数，且满足u=2(x-1)y, f(2)=-i,试求 f(z)。解：依C-R条件有Vy=ux=2y.V= 2ydyy2+ (x)/. Vx= (x) uy 2x z2(x)=( 2x 2)dx x 2x cV=y2-x2+2x+c(c 为常数)f(z)=2(x-1)y+i(y2-x 2+2x+c)为使 f(z)=-i, 当 x=2 y=0 时,f(2)=ci=-i-.c=-1.f(z)=2(x-1)y+i(y2-x 2+2x-1)=-(z-1) i四、证明题1、试在复平面讨

8、论f(z)=iz 的解析性。解：令 f(z)=u+iv z=x+iy则 iz=i(x+iy)=-y+ixu=-y v=x于是 ux=0 uy=-1Vx=1 Vy=0ux、uy、vx在复平面内处处连接又 Ux=Vy Uy=-Vx 。f(z尸iz 在复平面解析。2、试证：若函数f(z)在区域G内为解析函数，且满足条件f (z)=0, z6 G则f(z)在G内为常数。证：设 f(z)=u+iv,z=x+iy,z Gf(z)在G内解析，Ux=Vy, Uy=-Vx又 f (z ) =0, f ( z) =Ux+iVxUx=0 Vx=0Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0U 为实常数C1， V 也为实常数C2

9、，f(z)=C 1+iC2=Z0f(z) 在 G 内为常数。复变函数课程作业参考解答2第3章初等函数 一、单项选择题1. z = ( A ) 是根式函数WUZ的支点.(A) 0 (B) 1(C)(D) i2. z = ( D ) 是函数w ln z的支点.(A) i (B) 2i(C) -1(D) 03. e i =( B ).(D) cosl(A) e -1+e (B) cos1+isin1(C) sinl4. sin1= ( A )i ii i1e ee e e ee e(A) 2i (B) 2i (C)2(D)二、填空题e cosi =22. e = e(cos1+isin1) e1 i

10、i3. lni =24. ln(1+i)=1Ln2 i(- 2k )24k为整数.三、计算题1.设z=x+iy ,计算z2 e2,解：z (X22iy) x2xyiz2 ez2 e2xy22exo( xy )cos(2xy) i sin(2xy川2x=e八222exp(z)= ex y12.设 z = x+iy, 计算 Re(ez).解：: z = x+iy1 1 x . y 22 i 22z x 1yxy x y1xy . . y .2_2_2 (cos 22 i Sin 22)zx y x y x ye e1xRe(e2) ex2 y2 cos 2 y 2x y3.求方程21nz i的解.

11、解：: 1nz = i /2由对数函数的定义有：i /2 e cos i sin iZ=22所给方程的解为z = i4.求方程ez 1再的解.ez 1.3i 2(cos i sin )解：33Ln2 , e (cos i sin )3根据指数函数的定义有：z=n2+i /3 或 z=n（1+石）四、证明题1. 试证：sin2z 2sinz cosz.证明：根据正弦函数及余弦正数定义有:2 iz2iz2ie esin 2z 2 siniz , iz iz e iz e e zcosz 22i2iz 2iz e e2isin2z=2sinz coszsin x sin2xsinnx2.证明:n 1

12、 sinx2. nsin x.x 2 sin- 2证明:令 A=1 cosxcos2xcosnxB=sinx+sin2x+sinnxA Bi 1ix ei2x einx e1ei(n1)x1 eixiz n e -i2xe 22i sinxe 2,n 1 ix2.x x i - 2i sin e 22n 1 sinx2.一 x sin 一2.nixe2n 1 sinx2 x sin2/ n(cos- x _n 、i sinx)sin xsin2xn sinsin x x sin2_一 n sin x2第4章解析函数的积分理论一、单项选择题2dz1. c ( D ) , c为起点在0 ,终点在1

13、+i的直线段.(A) 0(B) 1(C) 2i(D) 2(1+i)sin zdz (A)1i 1(A) 0 (B) 10 i(C) i (D)25-dz (B)3. z 5 z(A) i (B) 10i (C) 10i(D) 02sin z4. z3(z 3)2=( A ).4 i (A)2 (B)4 i (C) 2 i(D)二、填空题f(z)1 .若f(z)与g(x)沿曲线c可积，则cg(z)dzf(z)dz g(z)dz cc2 .设L为曲线c的长度，若f(z)沿c可积，且在c上满足f(z)f(z)dz则cML.3.1i7zdz 7 / 2i coszdzi4.0三、计算题Im zdz1.

14、计算积分c ，其中c为自0到2+i的直线段.解:c的方程为:z z(t) (z i)t(0 t 1)其次由 x yi z z(t) (2 i)t得Imz t dz z(t)dt (2 i)dt1Jm zdz0(2 i)tdt1-(2 i) tdt0z - e sin z , -2dz2 .计算积分 Iz112z10z 12z e sin zT-2解：|z| 12z 10z 12一z 一 一 e sin zdzdz=|z| 12(z 2)( z 3)作区域D:z 1积分途径在D内被积函数的奇点Z=2与Z=3均不在D内，所以被积函数在D内解析.由定理4.2得:一z 一 一e sin z2dzH12

15、z2 10z 12=01.-3dz,c: z3 .计算积分c(z 1)(z1)dz解：c(z 1)( z 1)丁 奇点z=1和z=-1不在区域D,z3 1 0的三个根zkik 2e二,kQ1,2也不在d内由定理4.2得-dzc(Z 1)( z 1)=0z-dz4 .计算积分cz , c:z 5解：由定理4.6得ze5dz c z2 i z*(,四、证明题i121.计算积分回1dzn1 2cos d 0z 2,并由此证明0 5 4cos证明：|z| 1内解析1 dz1z 21dzz 1z 2另一方面，在圆|z|二1 (cos i sin )(z2)dzcos1sin-d (cos i sin )

16、 2(实部和虚部为0)sini coscos sinc sin i cos (2 cos ) i sin ,d(2 cos ) i sin (2 cos ) i sin 2sin i (2 cos1)4 4 cos cos sin2sini(12cos)dz1 2 cosd4 cos5 4 cos2sind5 4cos-dzz 1 z 2 =0d05 4cos1 2 cos而5 4cos为偶函数1 2 cos , d0=5 4cos2052cos , d4cos211 2 cos ,八d00 5 4 cos复变函数课程作业参考解答3第5章 解析函数的哥级数表示 一、单项选择题nZ1 .哥级数n

17、 0的收敛半径等于(B )(A ) 0(B) 1 ( C ) 2(D) 322 .点 z=-1 是 f(z尸 5z 10z5 r ( B )级零点.(A ) 1(B)2 (C)3(D)5nz3 .级数n0的收敛圆为(D ).(A) I z-1| 3(B) |z|1(D) |z| 14 .设f(z)在点a解析，点b是f(z)的奇点中离点a最近的奇点，于cn(z a)n是，使f(z尸n0成立的收敛圆的半径等于(C ).(A) a+b+1(B) b-a+1(C) |a-b| (D) |a+b|二、填空题2nzz1 .级数1+z+2!n!的收敛圆R=+ .即整个复平面.2 .若 f(z)= k sin

18、z(k 为常数),则 z=m (m=0,1, 2)为 f(z)的1 级零点.n!zn3 .哥有数n 0的收敛半径等于4.z=0 是 f(z)=e z-1级零点.三、计算题1. 将函数f(z)= z在点z=0展开哥级数.z f(z)=1z-21321 1 6r16n 02.将函数f(z)=(1-z)-2在点z=0展开成哥级数.解:f(z) 1而(1-z)1n-1=n n0z(1 z) 2(zn)0n 1 nz0(n 1)z n 03 .将函数 f(z)=(z+2)-1在点z=1展开成哥级数.解：f(z)=(z+2)12-1_ 113 (z1)1(z 1)3(z 1)31)(z 1)n3n4 .将

19、函数f(z)=e z在点z=1展开成哥级数.解：f(z)=ef =ezf(n) 1 ef(z) ef(n)nk (z 1)ne n-(z 1) n 0 n!四、证明题1 ,证明：1-e i2z=-2isinze iz证:eiz =cosz+isinze-iz =cos-isinzeiz -e-iz =2isinz-2isinz=-( e iz -e-iz) = e iz -e-iz-2isinz e iz =( e -iz - e iz) e iz =e0- e 2iz=l - e 2iz2 .试用解析函数的唯一性定理证明等式：cos2z= cos 2z-sin 2z证f i(z尸cos2z,

20、则f i(z)复平面G解析设f2(z) =cosz sin 2z ,则f2(z)也在整个复平面 G解析取E=K为实数轴，则E在G内有聚点.当 E 为实数时,知 cos2z=cos2z-sin 2z,即 f i(z)= f 2(z)由解析函数唯一性定理，由以上三条知fi(z)= f 2(z)Z G 成立即 cos2z= cos 2z-sin 2zZ G第6章解析函数的罗朗级数表示一、单项选择题11 .函数f(z)= z2 3z 2在点z=2的去心邻域(D )内可展成罗朗级数.(A) 0 z 3 (B) 0 z 1 5(C) 1 z 1 3(D) 0 Z 2 1./Iimf (z)2 .设点 为f

21、(z)的孤立奇点，若 z )=c ,则点 为f(z) 的(C ).(A)本性奇点(B) 极点(C)可去奇点(D) 解析点3 .若点 为函数f(z)的孤立奇点，则点 为f(z)的极点的充分limfIim必要 条件是(D ).(A) z f(z)=c()(B) zf(z尸(C)IimIim 、z f(z)=c()(D) z f(z)=4 .若点 为函数f(z)的孤立奇点，则点 为f(z)的本性奇点的 充要条件是(B ) . (A) zim f(z)= c( ) (B) zim f(z)不存在(C) IimIim 八z f(z)=c() (D) z f(Z)=二、填空题1Cn(z)nCn(z a)n1 .设n为函数f(z)在点 的罗朗级数，称n为该级数的主要部分.2 .设点为函数f(z)的奇点，若f(z)在点 的某个某个去心邻 域z 内解析，则称点 为f(z)的孤立奇