第三章旁轴轨迹

1、 电子光学（第三章）电子光学（第三章） - 旋转对称系统高斯光学性质旋转对称系统高斯光学性质西安交通大学西安交通大学 康永锋康永锋 电子光学 第三章 (Kang) 提纲提纲n旋转对称系统的旁轴轨迹方程旋转对称系统的旁轴轨迹方程n推导理想的聚焦成像性质推导理想的聚焦成像性质 n高斯高斯(旁轴旁轴)光学性质及其研究方法光学性质及其研究方法电子光学 第三章 (Kang) P.1n高斯光学性质及其研究方法高斯光学性质及其研究方法),(ifrrn高斯光学性质高斯光学性质 本节主要讨论旋转对称系统（圆的电透镜和磁透镜）的高斯光学本节主要讨论旋转对称系统（圆的电透镜和磁透镜）的高斯光学性质。所谓理想的高斯成

2、像包含两个意义：性质。所谓理想的高斯成像包含两个意义： 1. 1. 物平面某点发出的所有电子，在场的作用下，能在像平面汇聚物平面某点发出的所有电子，在场的作用下，能在像平面汇聚于像点。于像点。 2. 2. 像和物是几何相似的，也就是说放大陪数和物的大小无关。像和物是几何相似的，也就是说放大陪数和物的大小无关。n从上面的讨论，我们可以看出，所谓高斯性质其实是物和像之间从上面的讨论，我们可以看出，所谓高斯性质其实是物和像之间传递映射的线性项。传递映射的线性项。电子光学 第三章 (Kang) P.2n高斯光学性质及其研究方法高斯光学性质及其研究方法n高斯光学性质研究方法高斯光学性质研究方法 高斯高斯

3、光学性质光学性质旁轴旁轴轨迹方程轨迹方程旁轴旁轴运动方程运动方程牛顿牛顿运动方程运动方程最小最小作用原理作用原理传递映射的线性项的求解依赖于旁轴轨迹，所谓旁轴轨迹就是离轴距离传递映射的线性项的求解依赖于旁轴轨迹，所谓旁轴轨迹就是离轴距离特别近，轨迹斜率特别小的电子轨迹（特别近，轨迹斜率特别小的电子轨迹（x1,y1,x1,y1） 。旁轴区忽略了电磁场量的高阶项，电磁作用力是线性的作用力。旁轴区忽略了电磁场量的高阶项，电磁作用力是线性的作用力。旁轴条件旁轴条件ddzdtdz能量守恒能量守恒求解求解旁轴条件旁轴条件欧拉方程欧拉方程图图1 求解流程图求解流程图电子光学 第三章 (Kang) P.3n电

4、磁场中带电粒子的运动电磁场中带电粒子的运动),(ifrrn带电粒子在电磁场中的运动带电粒子在电磁场中的运动 电子光学主要的研究对象是带电粒子在电磁场中的运动规律。直电子光学主要的研究对象是带电粒子在电磁场中的运动规律。直接的方法就是利用力学中质点系动力学原理，分析计算粒子运动接的方法就是利用力学中质点系动力学原理，分析计算粒子运动的轨迹。的轨迹。n1.1.牛顿方程牛顿方程n2.2.最小作用原理最小作用原理n其中其中 210 (3.2) zzdz22*(1)()xyzUxyA xA yA (3.1)dpeEevBdt 电子光学 第三章 (Kang)提纲提纲n高斯高斯(旁轴旁轴)光学性质及其研究方

5、法光学性质及其研究方法n推导理想的聚焦成像性质推导理想的聚焦成像性质 n旋转对称系统的旁轴轨迹方程旋转对称系统的旁轴轨迹方程电子光学 第三章 (Kang) P.4n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n旁轴轨迹旁轴轨迹n在旋转对称系统中，对称轴不仅是几何轴线，而且是可能的轨迹在旋转对称系统中，对称轴不仅是几何轴线，而且是可能的轨迹之一，并且通常是电子轨迹束的中心轨迹。之一，并且通常是电子轨迹束的中心轨迹。n靠近轴的区域，具有优越的聚焦性能，能够实现电子透镜理想的靠近轴的区域，具有优越的聚焦性能，能够实现电子透镜理想的聚焦成像，也就是一阶的线性性质；对于我们研究电子透镜具有聚焦成像，也就是一阶的线性性质；对

6、于我们研究电子透镜具有重要的意义。重要的意义。n我们把离轴特别近，而且轨迹斜率特别小的区域称为旁轴区；研我们把离轴特别近，而且轨迹斜率特别小的区域称为旁轴区；研究旁轴区粒子轨迹的聚焦成像性质，叫做旁轴光学或者高斯光学。究旁轴区粒子轨迹的聚焦成像性质，叫做旁轴光学或者高斯光学。电子光学 第三章 (Kang) P.5n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n电子的运动方程电子的运动方程n下面，我们利用牛顿方程来推导旋转对称系统的旁轴轨迹方程。下面，我们利用牛顿方程来推导旋转对称系统的旁轴轨迹方程。由式由式3.13.1可得可得n式中式中()() (3.3)yzzyUxB zB yxUyB xB zy0em 电子光

7、学 第三章 (Kang) P.6n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n旁轴区的电磁场分布旁轴区的电磁场分布n在第一章，我们已经讲过旋转对称系统电磁场的分布：在第一章，我们已经讲过旋转对称系统电磁场的分布：2( , )( )( )4( , )( )2( , )( )2xyrU r zzzxE r zzyEr zz( , )( )( , )( )2( , )( )2zxyB r zB zxB r zB zyB r zB z 电子光学 第三章 (Kang) P.7n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n旁轴运动方程旁轴运动方程n将上面的旁轴区电磁场分布代入（将上面的旁轴区电磁场分布代入（3.33.3）式，可得）式，可得1

8、( )( )( ) )221( )( )( ) ) (3.4)22xz xB z zyB z yyz yB z zxB z x n为了处理问题更加方便，使得粒子的运动在一个平面上（为了处理问题更加方便，使得粒子的运动在一个平面上（子午面子午面），），我们不妨引入旋转坐标系（我们不妨引入旋转坐标系（X,Y，z）cossinsincos (3.5)XxyYxy 电子光学 第三章 (Kang) P.8n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n旁轴运动方程的坐标变换旁轴运动方程的坐标变换xXyY(z)(z)图图2 坐标变换示意图坐标变换示意图电子光学 第三章 (Kang) P.9n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n旁轴运动

9、方程的坐标变换旁轴运动方程的坐标变换n将（将（3.53.5）式对时间求一次导，可得）式对时间求一次导，可得n对时间再求一次导，经过整理可得对时间再求一次导，经过整理可得cossinsincos (3.6)XYxyYXxy 222cossin2sincos (3.7)XYXYxyYXYXxy 电子光学 第三章 (Kang) P.10n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n旁轴运动方程的坐标变换旁轴运动方程的坐标变换n将（将（3.43.4）式的第一个式子乘以）式的第一个式子乘以coscos, ,第二式乘以第二式乘以sin sin 后后，两式两式相加，考虑到（相加，考虑到（3.7）式，我们就可以得到旋转的直角坐

10、标系里的）式，我们就可以得到旋转的直角坐标系里的带电粒子的运动方程带电粒子的运动方程 n如果令如果令 ，（，（3.83.8）式可以化为）式可以化为n同理，可得同理，可得2( )( ) )(2( )2( ) ) (3.8)2Xz XB zXB z YB z z Y ( )2B z2( )( ) (3.9)22XzBz X 2( )( ) (3.10)22YzBz Y 电子光学 第三章 (Kang) P.11n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n旁轴运动方程旁轴运动方程n今后，我们牢记整个坐标系是以今后，我们牢记整个坐标系是以 为角速度旋转这为角速度旋转这一点，为了方便起见，我们仍以小写（一点，为了方便起见

11、，我们仍以小写（x,y,zx,y,z）来记坐标系）来记坐标系( )2B z22( )( )22( )( ) (3.11) 22xzBz xyzBz y 由由布许定理布许定理我们知道，在磁场的作用下，电子绕轴角速度为我们知道，在磁场的作用下，电子绕轴角速度为0( ), =( ) (3.12)22ttB zB z dt电子光学 第三章 (Kang) P.12n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n在电子光学中，我们更加关心的带电粒子的轨迹方程。下面我们就由旁轴在电子光学中，我们更加关心的带电粒子的轨迹方程。下面我们就由旁轴的运动方程来推导旁轴的轨迹方程的运动方程来推导旁轴的轨迹方程n

12、运动方程是以时间为自变量的，轨迹方程是运动方程是以时间为自变量的，轨迹方程是z z轴坐标为自变量的，我们做以轴坐标为自变量的，我们做以下变换下变换n由能量守恒，我们有由能量守恒，我们有n由于由于 ，我们可得到，我们可得到(), y() (x =, y=) (3.13)dddxdyxzzxzzydzdzdzdz22222200*()(1)22mmzxyzxyeU 1, y1x*0022 (3.14)eezUmm电子光学 第三章 (Kang) P.13n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n将（将（3.143.14）式代入（）式代入（3.133.13）式，再将计算后结果代入旁轴运动方

13、程（）式，再将计算后结果代入旁轴运动方程（3.123.12）式，我们就可以得到旁轴轨迹方程式，我们就可以得到旁轴轨迹方程n我们知道，旋转坐标系相对于直角坐标系旋转的角速度为我们知道，旋转坐标系相对于直角坐标系旋转的角速度为n为了方便，我们也写为以为了方便，我们也写为以z z坐标为自变量的形式坐标为自变量的形式n由由n可得，可得，22*22*1()()0241()()0 (3.15) 24dxBxdzdyBydz( )2B z( )2ddzzB zdz dt*( )( )28B zB zz电子光学 第三章 (Kang) P.14n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n由（由（3.1

14、53.15）式我们看到）式我们看到x x和和y y分量满足相同的方程，可以用同一个方程来代分量满足相同的方程，可以用同一个方程来代替替n进一步，此式可以写为：进一步，此式可以写为：n在纯电场中，在纯电场中，n在纯磁场中，在纯磁场中，22*1()()0 (3.16) 24dBdz 22*1()0 (3.17) 242B*0 (3.18) 2422*0 (3.19) 8B 电子光学 第三章 (Kang)提纲提纲n高斯高斯(旁轴旁轴)光学性质及其研究方法光学性质及其研究方法n旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程n推导理想的聚焦成像性质推导理想的聚焦成像性质电子光学 第三章 (Kang) P.15n推导理想的聚焦

15、成像性质推导理想的聚焦成像性质n圆电子离子透镜的高斯性质圆电子离子透镜的高斯性质n如果按照我们规定的旋转坐标系描写粒子运动，则粒子的轨迹由式（如果按照我们规定的旋转坐标系描写粒子运动，则粒子的轨迹由式（3.153.15）决定，决定，x x和和y y分量的微分方程完全相同，都是二阶线性齐次微分方程。分量的微分方程完全相同，都是二阶线性齐次微分方程。n若若g(zg(z) )和和h(zh(z) )是此方程的二个线性无关的特解，则一般解为：是此方程的二个线性无关的特解，则一般解为：n式中，式中，C C1 1 ,C ,C2 2,C,C3 3 和和C C4 4都是任意常数。都是任意常数。1234( )(

16、)( )( )( )( ) (3.20)x zC g zC h zy zC g zC h z电子光学 第三章 (Kang) P.16n推导理想的聚焦成像性质推导理想的聚焦成像性质n圆电子离子透镜的高斯性质圆电子离子透镜的高斯性质n假设有某点假设有某点P P0 0(x(x0 0, y, y0 0, z, z0 0) )处有许多粒子通过，那么这些粒子的轨迹在处有许多粒子通过，那么这些粒子的轨迹在z=zz=z0 0处应该满足（处应该满足（3.203.20）式，即）式，即n由上面这两个方程，就可以把由上面这两个方程，就可以把C C2 2, C, C4 4用用x(zx(z0 0),y(z),y(z0 0

17、),g(z),g(z0 0) )以及以及h(zh(z0 0) )表示，表示，可得可得010200030400 ()()() ()()() (3.20) x zC g zC h zxy zC g zC h zy20100403001()()1() (3.21)()CxC g zh zCyC g zh z电子光学 第三章 (Kang) P.17n推导理想的聚焦成像性质推导理想的聚焦成像性质n圆电子离子透镜的高斯性质圆电子离子透镜的高斯性质n把（把（3.213.21）式代入（）式代入（3.203.20）式，我们就可以得到）式，我们就可以得到n我们可以看到，式（我们可以看到，式（3.223.22）描述

18、的所有轨迹有相同的起始点）描述的所有轨迹有相同的起始点P0(x0, y0, z0)，所以任意常数所以任意常数C1及及C3就代表了轨迹在就代表了轨迹在P0点的不同斜率。点的不同斜率。0010000300()( )( ) ( )( )()()()( )( ) ( )( ) (3.22)()()g zh zx zxC g zh zh zh zg zh zy zyC g zh zh zh z电子光学 第三章 (Kang) P.18n推导理想的聚焦成像性质推导理想的聚焦成像性质n圆电子离子透镜的高斯性质圆电子离子透镜的高斯性质n函数函数g(zg(z) )和和h(zh(z) )是旁轴轨迹方程的两个特解，依赖于电磁场的分布。一般是旁轴轨迹方程的两个特解，依赖于电磁场的分布。一般来说，在电磁场的作用下，可能会在某个来说，在电磁场的作用下，可能会在某个z=zz=zi i处，有处，有0000() ( )( )0() ( ) ()() ( ) (3.23)iiiig zg zh zh zg z h zg z h z或 电子光学 第三章 (Kang)