线性代数第一章行列式第六节行列式按行列展开

1、决这个问题决这个问题, ,先学习余子式和代数余子式的概念先学习余子式和代数余子式的概念. .一般来说一般来说, ,低阶行列式的计算比高阶行列式低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便的计算要简便, ,于是于是, ,自然地考虑用低阶行列式来自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题表示高阶行列式的问题. . 本节我们要解决的问题本节我们要解决的问题是是, ,如何把高阶行列式降为低阶行列式如何把高阶行列式降为低阶行列式, ,从而把高从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算. .为了解为了解 求余子式求余子式求余子式求余子式模型模型模型模型A = D D =

2、 = a aij ijA Aij ij. .先证先证 aij 位于第位于第 1 行第行第 1 列的情形列的情形, ,00212222111nnnnnaaaaaaaD二、引理二、引理二、引理二、引理一个一个一个一个 n n 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式, , , ,如果其中第如果其中第如果其中第如果其中第i i 行所有元素除行所有元素除行所有元素除行所有元素除a aij ij 外都为零外都为零外都为零外都为零, , , ,那么这行列式等于那么这行列式等于那么这行列式等于那么这行列式等于 a aij ij与它的代数余与它的代数余与它的代数余与它的代数余子式的乘积子式的乘积子式的乘积子式的乘积,

3、 , , ,即即即即此时此时证明证明证明证明D D = = a aij ijA Aij ij. .先证先证 aij 位于第位于第 1 行第行第 1 列的情形列的情形, ,00212222111nnnnnaaaaaaaD二、引理二、引理二、引理二、引理一个一个一个一个 n n 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式, , , ,如果其中第如果其中第如果其中第如果其中第i i 行所有元素除行所有元素除行所有元素除行所有元素除a aij ij 外都为零外都为零外都为零外都为零, , , ,那么这行列式等于那么这行列式等于那么这行列式等于那么这行列式等于 a aij ij与它的代数余与它的代数余与它的代数余

4、与它的代数余子式的乘积子式的乘积子式的乘积子式的乘积, , , ,即即即即此时此时证明证明证明证明 这个定理叫做这个定理叫做.任意输入一个三阶或四阶行列式，利用任意输入一个三阶或四阶行列式，利用行列式按行（列）展开法则计算行列式按行（列）展开法则计算. 行列式行列式113121122322213211111nnnnnnnaaaaaaaaaaaad称为称为 n 阶阶 (Vandermonde) 行列式行列式.证明证明. )(1nijjiaad证明证明证明证明对对 n 作归纳法作归纳法.当当 n = 2 时，时，,111221aaaa结论成立结论成立.设对于设对于 n 1 阶范德蒙德行列式结论阶范

5、德蒙德行列式结论成立，现在来看成立，现在来看 n 阶的情形阶的情形.在在 n 阶范德蒙德行阶范德蒙德行列式中，第列式中，第 n 行减去第行减去第 n 1 行的行的 a1倍，第倍，第 n 1 行行减去第减去第 n 2 行的行的 a1倍倍. 也就是由下而上依次地从也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的每一行减去它上一行的 a1倍，有倍，有由由或或或或D D= =a a1 1j jA A1 1j j+ +a a2 2j jA A2 2j j+ + +a anjnjA Anjnj( (j j=1,2,=1,2, ,n n). ).定理定理定理定理 3 3行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行行列

6、式等于它的任一行行列式等于它的任一行( ( ( (列列列列) ) ) )的各元的各元的各元的各元素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和, , , ,D D= =a ai i1 1A Ai i1 1+ +a ai i2 2A Ai i2 2+ + +a aininA Ainin( (i i=1,2,=1,2, ,n n), ),还可得下述重要推论还可得下述重要推论.证明证明证明证明把把行列式行列式 D = det( aij) 按第按第 j 行展开，行展开，有有,1111112211nnnjnjininjnjnjjj

7、jaaaaaaaaAaAaAa在上式中在上式中把把 ajk换成换成 aik( k = 1, 2, 贩, n )，可得可得证明证明证明证明把把行列式行列式 D = det( aij) 按第按第 j 行展开，行展开，有有,1111112211nnnjnjininjnjnjjjjaaaaaaaaAaAaAa在上式中在上式中把把 ajk换成换成 aik( k = 1, 2, 贩, n )，可得可得综合综合及其推论，有关于代数余子及其推论，有关于代数余子式的重要性质：式的重要性质：；当当jijiDDAaijnkkjki,0,1；当当jijiDDAaijnkjkik,0,1.,0,1jijiij当当或或或

8、或D D= =a a1 1j jA A1 1j j+ +a a2 2j jA A2 2j j+ + +a anjnjA Anjnj( (j j=1,2,=1,2, ,n n). ).定理定理定理定理 3 3行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行( ( ( (列列列列) ) ) )的各元的各元的各元的各元素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和, , , ,D D= =a ai i1 1A Ai i1 1+ +a ai i2 2A Ai i2 2+ + +a aininA A

9、inin( (i i=1,2,=1,2, ,n n), ),仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式det(aij) 按第按第 i 行展开的展开式中，用行展开的展开式中，用 b1 , b2 , , bn依次代替依次代替 ai1 , ai2 , , ain ，可得，可得.221111 , 11 , 11, 11 , 1111inniinnniinniinAbAbAbaaaabbaaaa类似地，用类似地，用 b1 , b2 , , bn 代替代替 det(aij) 中的中的第第 j 列，可得列，可得.22111,1,111, 111, 111njnjjnnjnn

10、jnnnjjAbAbAbaabaaaabaa设设,3142313150111253DD 的（的（i , j）元的余子式和代数余子式依次记作）元的余子式和代数余子式依次记作 Mij和和 Aij ，求，求A11 + A12 + A13 + A14 及及 M11 + M21 + M31 + M41 . 到现在为止到现在为止, ,我们已能计算任意阶的行列式我们已能计算任意阶的行列式. .行列式的计算是我们这一章的重点行列式的计算是我们这一章的重点, ,也是同学们必也是同学们必须掌握的基本技能须掌握的基本技能. .行列式有以下三种计算方法行列式有以下三种计算方法: :行列式时行列式时, ,应根据实际情况

11、灵活选择计算方法应根据实际情况灵活选择计算方法. .在这三种方法中在这三种方法中, ,主要用于理论分析主要用于理论分析, ,很少用来计算具体的行列式很少用来计算具体的行列式, ,但对于低阶行列式但对于低阶行列式( (如二阶、三阶如二阶、三阶) )或有很多零元素的高阶行列式或有很多零元素的高阶行列式, ,有时也可用此方法来计算有时也可用此方法来计算; 适用于行列式适用于行列式的阶不确定的高阶行列式的计算的阶不确定的高阶行列式的计算;主要用主要用于阶为已知的高阶行列式的计算于阶为已知的高阶行列式的计算. .当然在计算一个当然在计算一个下面看几个例子下面看几个例子. . 下面再举几个下面再举几个 n 阶行列式计算的例子阶行列式计算的例子. . 设设.111222333222111nnnnnnnnnD证明递推关系式证明递推关系式 Dn = nDn- -1 - - n- -1n- -1Dn- -2 ( n 2 ).1222333222111nnnnnnnD按按 Dn的第的第 n 列展开列展开, , 得得证明证明证明证明关系关系式在式在计算数学中常计算数学