机械振动-黄琼

1、第三篇第三篇 机械振动机械振动与机械波与机械波教学重点：教学重点：1、理解谐振动的动力学特征、理解谐振动的动力学特征2、掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建、掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建立方法立方法3、旋转矢量法、旋转矢量法4、理解谐振动的能量特征、理解谐振动的能量特征广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近周期性变化。数值附近周期性变化。 对力学系统来讲，振动的形式就是机械振动。对力学系统来讲，振动的形式就是机械振动。机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。)()(Ttx

2、tx 振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动复杂振动复杂振动 = 简谐振动简谐振动第一节第一节 简谐振动简谐振动 作机械振动的物体若被看作质点，通常称作振子。作机械振动的物体若被看作质点，通常称作振子。 振子所受合力为零的位置叫做振子的平衡位置。振子所受合力为零的位置叫做振子的平衡位置。 振子相对于平衡位置的位移是时间的余弦振子相对于平衡位置的位移是时间的余弦( (或正弦或正弦) )函数的函数的机械振动叫做机械振动叫做谐振动谐振动。 所谓所谓“谐谐”，是，是“和谐、悦耳和谐、悦耳”之意，源自乐器振动发出之意，源自乐器振动发出的声音多为和谐、悦耳之音

3、。的声音多为和谐、悦耳之音。 在振动学中，振动系统所受外界施加的摩擦力、介质粘滞在振动学中，振动系统所受外界施加的摩擦力、介质粘滞力（如空气阻力）等叫做阻尼。力（如空气阻力）等叫做阻尼。 谐振动分为两类谐振动分为两类：不受摩擦力、粘滞力作用的无阻尼谐振动叫做简单谐不受摩擦力、粘滞力作用的无阻尼谐振动叫做简单谐振动或振动或简谐振动简谐振动。所谓。所谓“简单简单”，意指振子不受阻尼；，意指振子不受阻尼；另一类是有阻尼受迫稳定振动。本章主要研究简谐振另一类是有阻尼受迫稳定振动。本章主要研究简谐振动，并简要介绍阻尼振动、受迫稳定振动和共振。动，并简要介绍阻尼振动、受迫稳定振动和共振。题目解析题目解析一

4、、简谐振动的动力学特征一、简谐振动的动力学特征简谐振动是最简单最基本的线性振动。简谐振动是最简单最基本的线性振动。从动力学观点看：从动力学观点看：简谐振动简谐振动：质点在线性回复力作用下围绕平：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。衡位置的运动。 平衡位置平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿：质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于运动方向受的力）等于0，则此位置称为平，则此位置称为平衡位置。衡位置。 xkf此为从动力学的观点定义的简谐振动。此为从动力学的观点定义的简谐振动。线性回复力线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平：若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位移或

5、角位移）成正比，且指向衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则称此作用力为线性回复力。平衡位置，则称此作用力为线性回复力。若以平衡位置为原点，以若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡表示质点相对于平衡位置的位移，则位置的位移，则一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型弹簧振子弹簧振子：弹簧：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻轻弹簧弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体可看作质点可看作质点 kxOm问：弹簧振子是否问：弹簧振子是否在做简谐振动？在做简谐振动？kxOmmk 2 简谐振动简谐

6、振动微分方程微分方程0222 xdtxd kxF 0222 xdtxd 22dtxdmkx 简谐振动的另一种普遍定义：简谐振动的另一种普遍定义：若质点的运动学方程可以归纳为：若质点的运动学方程可以归纳为：其中其中 为决定于系统本身固为决定于系统本身固有性质，则质点做简谐振动。有性质，则质点做简谐振动。二、微振动的简谐近似二、微振动的简谐近似 长为的细线一端系着质量为的小球，另一端固定悬挂起来，小球静止位置O就是小球的平衡位置，如右图所示。 若小球左右摆动时细线（摆线）偏离垂直位置的角度小于5度，这种振动装置叫做单摆。 作为一个振动系统，单摆包括地球。gmfTCO单摆单摆0222 dtd结论结论

7、：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率角频率, ,振动的周期分别为：振动的周期分别为：glTlg 2200 当当 时时 sin sinmglM gmfTCOmgldtdml222摆球对摆球对C点的力矩（取逆时针方向为正）点的力矩（取逆时针方向为正）JMmglM l/g 2 简谐振动动画 http:/ 小于小于5度度 ，这个装置就叫做复摆。，这个装置就叫做复摆。作为一个振动系统，复摆包括地球。作为一个振动系统，复摆包括地球。 gmhCO复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体0222 dtd结论结论：（1 1）、（）、（2 2

8、）都说明复摆的小角度摆动振动）都说明复摆的小角度摆动振动是简谐振动。是简谐振动。 sin当当 时时gmhCO22dtdJmghJmgh2设：复摆对此固定轴的转动惯量为设：复摆对此固定轴的转动惯量为J sinmghM kM (1)(2)其中：（准）弹性系数其中：（准）弹性系数 ， 刚体质心偏离平衡位置的角位移。刚体质心偏离平衡位置的角位移。mghk 小结：回顾简谐振动定义n从上述振动模型可以看出，在不计阻尼条件下，看似不同的振动系统的振子所受合力都可以归结为：n简谐振动定义：n 振子所受合力与位移成正比且反向的无阻尼振动，或刚体所受合力矩与角位移成正比且反向的无阻尼振动叫做简谐振动。kxf kM

9、 其通解为：其通解为：一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程)tcos(Ax0 0222 xdtxd 二二 简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程)2sin()cos(00tt20 )tsin(x 二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量)tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。)tsin(Av0 000vv ,xx,t 如何由初始条件求振幅：如何由初始条件求振幅：00 cosAx 0

10、0 sinAv 2020)v(xA 频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2、周期周期 、频率、圆频率频率、圆频率 21 T角频率角频率 22 T周期周期T ：当振子完成一次往返回到原来状态，即位当振子完成一次往返回到原来状态，即位置和速度都恢复到原来的值时，称振子完成了一置和速度都恢复到原来的值时，称振子完成了一次全振动。振子完成一次全振动的时间叫做周期，次全振动。振子完成一次全振动的时间叫做周期，记作记作T 00 )Tt (cosA)tcos(A 2 T固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率频率或周期为振动系统所固有是简谐振动的重要性质。频率或周期为

11、振动系统所固有是简谐振动的重要性质。 、T、T对弹簧振子对弹簧振子kmT 2 mk 21 mk 单摆单摆glT 2 lg 21 lg 复摆复摆mghJT2Jmgh21Jmgh、T都决定于质量、劲度系数、摆长、转都决定于质量、劲度系数、摆长、转动惯量等反映振动系统本身特征的一动惯量等反映振动系统本身特征的一些物理量。些物理量。)tsin(Av0 0 是是t =0时刻的位相时刻的位相初位相初位相000 cosAxt 时时00 sinAv 000 xvtan 3、相位和初相位相位和初相位)tcos(Ax0 相位，决定谐振动物体的运动状态相位，决定谐振动物体的运动状态0 t三式中任选两式可三式中任选两

12、式可以决定初相位。以决定初相位。000vv ,xx,t 若已知初始条件：若已知初始条件：相位差相位差 两振动相位之差。两振动相位之差。12 当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相当当 = (2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滞后于滞后于 2 相位差反映了两个振动不同程度的参差错落相位差反映了两个振动不同程度的参差错落 之所以引入相位，是因为有了相位，位移和速度相同但属于不同次全振动的那些振子状态就可以区分开了。相位是振动和波动理论特有的重要概念。简谐振动的简谐振动的x, v,

13、a三者之间的相位关系三者之间的相位关系)cos()2cos()cos(2tAdtdvatAdtdxvtAx总结：总结：1、简谐振动是周期性运动、简谐振动是周期性运动2、简谐振动各瞬时的运动状态由、简谐振动各瞬时的运动状态由 决定。决定。3、简谐振动的频率由振动系统本身固有的性质、简谐振动的频率由振动系统本身固有的性质决定。而决定。而 不仅决定于系统本身的性质，还不仅决定于系统本身的性质，还决定于初始条件。决定于初始条件。总结：、A、A)tcos(a)tcos(Aam 002)tcos(Ax0 )tcos(v)tsin(Avm200 谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加

14、速度之间的位相关系toTa vx. avxT/4T/4三、三、c 1、解析表示法解析表示法 利用余弦函数或正弦函数表示简谐振动。利用余弦函数或正弦函数表示简谐振动。 优缺点。优缺点。 2、复数表示法复数表示法 利用欧拉公式，取实部利用欧拉公式，取实部)cos(0 tAx)tsin(x ()jtxAeva 3、简谐振动的、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法)cos(0tAxx 0t = 0A t+ 0t = tAoX矢量矢量 为一长度为一长度不变的矢量，以不变的矢量，以恒定的角速度恒定的角速度 逆时针转动。逆时针转动。Ax 0t= 0A t+ 0t = tAoX分析：匀速旋转的矢量分析：匀速

15、旋转的矢量 在坐标轴上的投影？在坐标轴上的投影？ 1、表示一特定的简谐振动的位移。、表示一特定的简谐振动的位移。 2、此简谐振动的振幅为、此简谐振动的振幅为A，固有圆频率为，固有圆频率为 初相位为初相位为 0Ax 0t= 0A t+ 0t = tAoX分析：匀速旋转的矢量分析：匀速旋转的矢量 的矢端速度在坐标轴上的投影？的矢端速度在坐标轴上的投影？ 1、表示一特定的简谐振动的速度。、表示一特定的简谐振动的速度。 2、振动质点位于上半圆时：、振动质点位于上半圆时： 位于下半圆时：位于下半圆时： A0,v 0v x 0t= 0A t+ 0t = tAoX分析：匀速旋转的矢量分析：匀速旋转的矢量 的

16、矢端法向加速度在坐标的矢端法向加速度在坐标轴上的投影？轴上的投影？ 1、表示一特定的简谐振动的加速度。、表示一特定的简谐振动的加速度。 2、振动质点位于右半圆时：、振动质点位于右半圆时： 位于左半圆时：位于左半圆时： A0a 0a 总结：旋转矢量法n旋转矢量法：用旋转矢量在坐标轴上的投旋转矢量法：用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法。影描述简谐振动的方法。n旋转矢量的长度等于振幅旋转矢量的长度等于振幅n简谐振动的圆频率等于矢量转动的角速率简谐振动的圆频率等于矢量转动的角速率n矢量旋转一周所用的时间就是简谐振动的周期矢量旋转一周所用的时间就是简谐振动的周期n简谐振动的相位等于旋转矢量与简

17、谐振动的相位等于旋转矢量与X轴正向的夹角轴正向的夹角n当从当从X轴转到旋转矢量的转向与轴转到旋转矢量的转向与 同向时此角同向时此角度取正，反之取负度取正，反之取负n一般取初相位：一般取初相位： 进一步理解：进一步理解： 将旋转矢量用于弹簧振子，具体说明将旋转矢量用于弹簧振子，具体说明4个特个特殊点在弹簧振子上的对应位置。殊点在弹簧振子上的对应位置。 t+ 0t = tAoXkxOmABCD 0t = 0Ax t+ 0t = tAoX记住四个特殊位置的点记住四个特殊位置的点简谐振动的质点处简谐振动的质点处于正向最大位移并于正向最大位移并向平衡位置向平衡位置加速加速运运动（速度为动（速度为0，加，

18、加速度为负最大）速度为负最大）简谐振动的质点简谐振动的质点处于负向最大位处于负向最大位移并向平衡位置移并向平衡位置加速加速运动（速度运动（速度为为0，加速度为正，加速度为正最大）最大）简谐振动的质点处简谐振动的质点处于平衡位置并向正于平衡位置并向正向最大位移向最大位移减速减速运运动（速度为正向最动（速度为正向最大，加速度为大，加速度为0）简谐振动的质点简谐振动的质点处于平衡位置并处于平衡位置并向负向最大位移向负向最大位移减速减速运动（速度运动（速度为负向最大，加为负向最大，加速度为速度为0（因在（因在x轴投影为轴投影为0）Av Aan2 Aan2 n动画：/

19、donghua/moniyanshi.htm讨论 注意：给出一个位移值，其在旋转矢量图中必对应着两个点，这两个点所代表的振动状态完全不同。DoXABC21 xAA 例题1n某一简谐振动为：试用旋转矢量表示。)303cos(30 tx例题 2n求谐振物体在下列情况下的初相求谐振物体在下列情况下的初相n起始时，物体具有正的最大位移起始时，物体具有正的最大位移n起始时，物体在平衡位置，且向正方向运动起始时，物体在平衡位置，且向正方向运动n起始时，物体的位移在起始时，物体的位移在0.5A，且向负方向运动，且向负方向运动0 0 0 例题3n质点做简谐振动时，从平衡位置到最远点需要时间T/4，因此走过该距

20、离的一半需时T/8，是否正确？辨析n注意：距离的一半是指注意：距离的一半是指XA/2，而不是，而不是角位移的一半：角位移的一半：T/12n若走过角距离的一半，则需时若走过角距离的一半，则需时T/8一质点沿一质点沿x 轴作简谐运动轴作简谐运动，A = 0.12 m ，T=2s ，当，当t = 0时质点在平衡位置的位移时质点在平衡位置的位移 x0 = 0.0 6m 向向x 轴正向运动。轴正向运动。求：（求：（1）简谐运动表达式；）简谐运动表达式； （2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度时，质点的位置、速度、加速度； （3）第一次通过平衡位置的时刻第一次通过平衡位置的时刻。解：解： （1）

21、 tcosAxT 2 tcos.x1 12 20 0 A/2t xx3 ?例题例题4注：此处为了便于与振动曲线对照，将注：此处为了便于与振动曲线对照，将X轴正向取为向上。轴正向取为向上。（2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；时，质点的位置、速度、加速度；3 312120 0 tcos.x3 312120 0 tsin.v3 31 12 20 02 2 tcos.a214 Ttm.cos.x04041 13 32 212120 0 s/m.sin.v1891890 06 612120 0 2 22 20 03 31 16 61 12 20 0s/m.cos.a 返回返回10（3）第一

22、次通过平衡位置的时刻。）第一次通过平衡位置的时刻。 0 0A tA tAA0 0振幅矢量旋转角度振幅矢量旋转角度6523 问题转化为：已知旋转问题转化为：已知旋转2 需要需要T 时时间，问旋转间，问旋转 5 /6 需要多少时间？需要多少时间？t/T652 2s.t83065 x还可以求还可以求“第二次第二次”旋转角度旋转角度11 /6平衡平衡位置位置四四 .简谐振动的能量转换简谐振动的能量转换n弹簧振子振动系统中，线性回复力为弹性力。弹簧振子振动系统中，线性回复力为弹性力。他们是保守力，所以简谐振动的总机械能守恒。他们是保守力，所以简谐振动的总机械能守恒。n实际上，任何一个简谐振动的物体，由于

23、它们实际上，任何一个简谐振动的物体，由于它们受到的合外力为回复力受到的合外力为回复力 ，都相当于一个，都相当于一个弹簧振子。弹簧振子。n不同的是，它们的不同的是，它们的k 值不是劲度系数，而是其值不是劲度系数，而是其它的由系统的力学性质决定的常数而已。故以它的由系统的力学性质决定的常数而已。故以弹簧振子为例来讨论简谐振动的能量。弹簧振子为例来讨论简谐振动的能量。 kxf 以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x)sin(0 tAv)tcos(Ax0 221mvE

24、k )t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 mk2 动动能能221mvEk )t(sinkA02221 势势能能221kxEp )t(coskA02221 情况同动能。情况同动能。pppEEE,minmax0min kE2411kAdtETETttkk 2max21kAEk 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒讨论n弹簧振子的机械能不随时间改变，即其能量守弹簧振子的机械能不随时间改变，即其能量守恒。这是由于无阻尼自由振动的弹簧振子是一恒。这是由于无

25、阻尼自由振动的弹簧振子是一个孤立系统，在振动过程中没有外力对它做功个孤立系统，在振动过程中没有外力对它做功的缘故。的缘故。n弹簧振子的总能量和振幅的平方成正比，这一弹簧振子的总能量和振幅的平方成正比，这一点对其它的简谐振动系统也是正确的。这意味点对其它的简谐振动系统也是正确的。这意味着振幅不仅描述简谐振动的运动范围，而且还着振幅不仅描述简谐振动的运动范围，而且还反映振动系统能量的大小。反映振动系统能量的大小。 讨论n将动能和势能的表达式改写 （)( 2cos141)cos21222 tkAtkAEp（)(2cos141)sin21222 tkAtkAEk弹簧振子做简谐振动时的动能和势能都在谐振

26、弹簧振子做简谐振动时的动能和势能都在谐振弹簧振子做简谐振动时的动能和势能都在谐振，弹簧振子做简谐振动时的动能和势能都在谐振，它们的平衡点在系统机械能一半的地方，即它们的平衡点在系统机械能一半的地方，即(1/4)kA2 处，能量的振幅亦为处，能量的振幅亦为(1/4)kA2。动能和势能谐振的频率均为位移振动频率的两倍，动能和势能谐振的频率均为位移振动频率的两倍，它们振动的相位相反，因而它们的总和即机械能守它们振动的相位相反，因而它们的总和即机械能守恒。恒。 xtTEEpokpEE EtEk(1/4)kA2xtTEEpokpEE EtEk(1/4)kA2(1/2)kA2由起始能量求振幅由起始能量求振

27、幅kEkEA022 221kAE 弹簧振子的总能量弹簧振子的总能量决定于刚度系数和决定于刚度系数和振幅振幅xtTEEpokpEE EtEk(1/4)kA2xtTEEpokpEE EtEk(1/4)kA2(1/2)kA2能量随时间变化能量随时间变化能量随空间变化能量随空间变化XpEAAxkEpEEE一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成: :同方向、同频率谐振动的同方向、同频率谐振动的合振动仍然是简谐振动合振动仍然是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 , ,与分振动相同与分振动相同. .)cos(AAAAA10202122212 221122110 cosAcosAsin

28、AsinAtg )tcos(A)t(x1011 )tcos(A)t(x2022 )tcos(Axxxx021 质点同时参与同方向同频率质点同时参与同方向同频率的谐振动的谐振动 : :合振动合振动 : :五五 简谐振动的合成简谐振动的合成 2A1AA10 20 0 1x2xx如如 A1=A2 , , 则则 A=0,kk21021020 两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA ,k)k(210121020 两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA 分析分析若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相: :)cos(AAAAA10202122212 合振动不是简谐振动合振动不是

29、简谐振动式中式中tAtA)2cos(2)(12 tt)2cos(cos12 随随t 缓变缓变随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动二二. . 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成分振动分振动)tcos(Ax 11)tcos(Ax 22合振动合振动)tcos(t )cos(Ax 222121221xxx 当当 2 1时时, ,ttAx cos)( 则则：1212 拍拍: : 指振动方向相同指振动方向相同, , 的两个简谐振动的两个简谐振动合成时合振幅周期变化合成时合振幅周期变化( (忽强忽弱忽强忽弱) )的现象的现象拍频拍频 : : 单位

30、时间内振幅强弱变化的次数单位时间内振幅强弱变化的次数 =| 2- 1| xt tx2t tx1t t12 拍122 T或：或：调调平平 调调平平 调调平平 *三、振动的频谱分析三、振动的频谱分析振动的分解振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。：把一个振动分解为若干个简谐振动。 谐振分析谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为若周期振动的频率为 : : 0则各分振动的频率为则各分振动的频率为: : 0、2 0、3 0( (基频基频 , , 二次谐频二次谐频 , , 三次谐频三次谐频 , , ) )按傅里叶级数展开按傅里叶级数

31、展开)t(x)Tt(x 102nnn)tnsinbtncosa(a)t (x T 22 方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0 tsinAtsinAtsinAAx 55233222n本章结束xo ot t锯齿波锯齿波A 0 03 3 0 05 5 0 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。变化的简谐振动。xo ot t阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o o A* *四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动

32、合振动)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 分振动分振动)tcos(Ax101 )tcos(Ay202 0(1)1020 0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线12AA斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移讨论讨论)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(AAyxS 222122 1020(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第

33、二、第四象限内的直线12AA 斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(AAyxS 2221222(3)1020 12212 AyAx合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆)tcos(Ax101 质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(Ay2101 yx2(4)1020 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆)tco

34、s(Ax101 质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 )tcos(Ay2101 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。 0时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。*五、五、垂直方向不同频率垂直方向不同频率可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2- 1随随t 缓慢变化合运动缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹将按上页图依次缓慢变化。 轨迹称为轨迹称为李萨如图形李萨如图形yxA1A2o o-

35、 -A2- -A1简谐振动的合成简谐振动的合成)()(xyxyt 4023 xyyx,:两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比李萨如图形李萨如图形21:31:32:一、一、 阻尼振动阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。向周围辐射出去。4-

36、5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子动力学方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxvfr 022022 xdtdxdtxd mk 0 系统固有角频率系统固有角频率m2 阻尼系数阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数t弱阻尼弱阻尼)(tx弱阻尼弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越

37、慢，周期越接近于谐振动。周期越接近于谐振动。0 )tcos(eAxt00 220 0220222 T阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期阻尼振动的准周期临界阻尼临界阻尼t)(tx临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来回到平衡位置并停下来0 te )tcc(x 21过阻尼过阻尼t)(tx过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 t )(t )(ececx20220221 二、二、 受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系

38、统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程ptcosFtddxkxtdxdm022 tpcosfxtddxtdxd 20222 令令mk 0 mFf,m,002 周期性外力周期性外力策动力策动力ptcosFF0 稳定解稳定解)ptcos(Ax (1)频率频率: : 等于策动力的频率等于策动力的频率 (2)振幅振幅: :2122222004/p)p(fA (3)初相初相: :2202pptg 特点特点: :稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化)ptcos(A)t(coseAxt 00

39、阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动三、三、共振共振在一定条件下在一定条件下, , 振幅出现极大值振幅出现极大值, , 振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。1 1、位移共振、位移共振(1)共振频率共振频率 : :2202 rp(2)共振振幅共振振幅 : :22002 fAr2、速度共振、速度共振一定条件下一定条件下, , 速度振幅极大的现象。速度振幅极大的现象。速度共振时，速度与速度共振时，速度与策动力同相，一周期策动力同相，一周期内策动力总作正功，内策动力总作正功，此时向系统输入的能此时向系统输入的能量最大。量最大。 0 rp 20fvmr )ptsin(pAv 22222004p)p(pfpAvm

40、 不能用线性微分方程描述的振动称为不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动非线性振动。1、内在的非线性因素、内在的非线性因素发生非线性振动的原因：发生非线性振动的原因：振动系统内部出现非线性回复力振动系统内部出现非线性回复力振动系统的参量不能保持常数振动系统的参量不能保持常数，如漏摆、荡秋千。如漏摆、荡秋千。*4-6 非线性振动简介非线性振动简介一、一、 非线性振动概述非线性振动概述单摆（或复摆）单摆（或复摆）的回复力矩的回复力矩)!(mglM 5353 自激振动自激振动1、外在的非线性影响、外在的非线性影响非线性阻尼的影响非线性阻尼的影响策动力为位移或速度的非线性函数策动力为位移或速度的非

41、线性函数如如33221vkvkvkfr 如如)v ,v ,v ,x,x,x(FF3232 线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动满足叠加原理线性振动满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理近似简化、图解、计算机处理近似简化、图解、计算机处理研究方法：研究方法：微扰法微扰法二、二、 非线性振动研究的方法及意义非线性振动研究的方法及意义相平面法相平面法最简单最基本的线性振动。最简单最基本的线性振动。简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移平衡位置的位移x（或角位移或角位移 ）随时间）随时

42、间t按余弦按余弦（或正弦）规律变化的振动。（或正弦）规律变化的振动。)tcos(Ax0 用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相)2cos( tvvmx)2cos( tA)cos( taamx)cos(2 tA由图可见：由图可见：2 va超超前前2 xv超超前前x t+ o Amv ma 090090例例:如图如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm t=0时时 x0=-9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点，取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；写出振动方程；（2）若取）若取x0=0，v00为计时零点，为计时零点， 写出振动方程写出振动方程,并计算振动频率。并计算振动频率。XOmx解：解： 确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原点取为原点 k=mg/ l