第5章-平面图形的几何性质

1、1 赠赠 言言 凡事豫则立，不豫则废。言前定，则不跲；事前定，凡事豫则立，不豫则废。言前定，则不跲；事前定，则不困；则不困； 行前定，则不疚；行前定，则不疚； 道前定，则不穷。道前定，则不穷。 子思中庸子思中庸 解解 释释 豫豫 预划；预划； 跲跲（JiaJia） 窒碍窒碍 困困 困扰；困扰； 疚疚 不安；不安； 穷穷 贫穷贫穷 第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 (Geometrical properties of plane graph)2拉压正应力拉压正应力ANdAA扭转切应力扭转切应力pITApdAI2弯曲正应力弯曲正应力zIMyAzdAyI2应力的计算通常用要到构件应

2、力的计算通常用要到构件 截面的几何参数截面的几何参数，例如：，例如：3统一为统一为) z, y, x,s , t ( dAstnnmm =0 零次矩零次矩(或面积或面积 ) Moment of zero orderm =1 一次矩、线性矩一次矩、线性矩(或静矩或静矩 ) Moment of first orderm =2 二次矩二次矩(或惯性矩、积或惯性矩、积) Moment of second order 实质实质 1、数学，不是力学、数学，不是力学 2、颠倒了学科发展顺序、颠倒了学科发展顺序 （历史是：（历史是：弯曲内力弯曲内力弯曲应力弯曲应力惯性矩）惯性矩）目的目的 1、翦除弯曲前面的拦

3、路虎之一（惯性矩、翦除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩) 2、从更高的观点，统一截面几何性质、从更高的观点，统一截面几何性质 3、便于学习（弊病：只有、便于学习（弊病：只有大厦大厦，无，无脚手架脚手架）4dAA零次矩：零次矩：一次矩（静矩）：一次矩（静矩）：ydASzzdASyC(zc, yc)yozdA面积面积A5.1 静矩（静矩（Statical moment)、 形形 心心(Centroid)5形心形心 C C 的坐标的坐标：ASdAzdAzycASdAydAyzc1、为什么用、为什么用z-y坐标而不是坐标而不是x-y坐标？坐标？2、为什么、为什么 AydA对应于对应于zS而不是而不是yS思

4、考思考形心形心：使平面图形各微元静矩和为零的坐标原点使平面图形各微元静矩和为零的坐标原点,cdA0AcAdAc/dAdAc,ozydAC c , 6对称图形形心的位置对称图形形心的位置有一个对称轴：有一个对称轴：形心形心C位于该轴上位于该轴上yCz7 有两个对称轴：有两个对称轴：两个对称轴的交点就两个对称轴的交点就是形心是形心C的位置的位置zyC8Czy对某点对称（中心对称）：对某点对称（中心对称）：形心形心C位于对称中心位于对称中心9由由 n 个规则形状组成的图形个规则形状组成的图形yCzzyniiAA1niiicniizAydAyydAS11组合（复合）图形的形心组合（复合）图形的形心ni

5、iniiicycAAzASz11niiniiiczcAAyASy11niiicniiyAzdAzzdAS1110已知已知b, c, t ，求，求C的坐标的坐标22111bytzbtAcc22)(222tytczttcAcc)(21tcbtAAA)(2222211tctbtAyAySccz)(2222211tcbttAzAzSccycCzyC2C1btt0C1、C2、C的坐标的坐标:),(11ccyz),(22ccyz),(ccyz组合图形的形心算例组合图形的形心算例11)(222tcbtcbtASzyc)(222tcbtctbASyzc注注1：由两块组成组合图形，其复合图形形心一定由两块组成组

6、合图形，其复合图形形心一定 位于两个子图的形心连线上位于两个子图的形心连线上注注2：组合图形形心计算公式也适用于负面积情况，组合图形形心计算公式也适用于负面积情况， 但要记住面积为负号但要记住面积为负号“负面积负面积”zyC1C2C212211)(AAAyAyyccc212211)(AAAzAzzccc12惯性矩惯性矩dAyIz2dAzIy2yzdAIyz惯性积惯性积ozydA面积面积Azy5.2 惯性矩惯性矩（Moment of inertia)与惯性积与惯性积(Product of inertia) （ 二次矩，二次矩，Moment of second order ）13 质点质点Newt

7、on定律定律dtdvm F 对于平面图形，当密度取单位值时，对于平面图形，当密度取单位值时，dm = dA，此时此时转动惯量转动惯量就等于就等于极惯性矩极惯性矩 你们是否遇到过二次矩？你们是否遇到过二次矩？ 推广到刚体，推广到刚体，何种形式？何种形式？dtdI M I 是什么？是什么？dmI2 转动惯量（转动惯量（Rotational inertia）：）：14dtdvm F 力学问题中，有不同层次的力学问题中，有不同层次的 外因、内因外因、内因结果结果 关系关系1、外力、受力物性能外力、受力物性能 运动响应运动响应2、内力、截面量内力、截面量 变形响应（应力等）变形响应（应力等） 温故知新，

8、我们进行类比温故知新，我们进行类比 动力学动力学 材料力学材料力学dtdI M 拉拉压压）( AN 弯曲）弯曲）扭转）扭转）( yIM( ITz 15惯性矩、惯性积的性质惯性矩、惯性积的性质（1）惯性矩为正，即）惯性矩为正，即,Iz00yI（2）若图形有一对称轴，其惯性积为零）若图形有一对称轴，其惯性积为零0yzIpyzIII（3）任一点为原点的所有正交坐标系中，两个惯性矩之）任一点为原点的所有正交坐标系中，两个惯性矩之 和等于和等于 不变的极惯性矩不变的极惯性矩 Ip 值值（4）组合图形惯性矩（积）为各个子图惯性矩（积）之和）组合图形惯性矩（积）为各个子图惯性矩（积）之和CzCCzzyyy0

9、yzI0yzI?0yzICC16dA)yz(Ip21211dA)yz(22222pI座标转动不改变极惯性矩座标转动不改变极惯性矩dA 2 Z1Y1Z2Y2OA17例题例题5.4 P133 圆截面的惯性矩圆截面的惯性矩设圆截面直径设圆截面直径D，则圆方程为则圆方程为4222Dzy64420 02222Dd d )(cosdAzIDy zydAdsinycosz64420 02222Dd d )(sindAyIDz ?0yzI d d dA 其他方法其他方法1、书中微元、书中微元 2、极惯性矩的一半、极惯性矩的一半18 问题的提出问题的提出 工程问题的许多截面（工字、丁字、槽形等）是简工程问题的许

10、多截面（工字、丁字、槽形等）是简单截面（如矩形）的组合，单截面（如矩形）的组合，总惯性矩总惯性矩 = = 分惯性矩之和分惯性矩之和，而分惯性矩在而分惯性矩在 各自的各自的 形心坐标系形心坐标系 中计算中计算 将将 分惯性矩分惯性矩 转换到转换到 总形心坐标系总形心坐标系 时，要考虑坐标时，要考虑坐标系转换的影响系转换的影响 分坐标系分坐标系 与与 总形心坐标系总形心坐标系通常是通常是 平行关系平行关系，于是于是就抽象出就抽象出惯性矩计算惯性矩计算的的 平行移轴平行移轴 问题问题5.3 平行移轴公式（平行轴定理平行移轴公式（平行轴定理 Parallel axis theorem）19cccczy

11、zyI,I,I已知：已知：yzzyIII,计算：计算：bzzayy11oC(zc, yc)zyabdA1z1y面积Az1 y1为形心坐标系为形心坐标系20AaIAaAzaIdAadAyadAydA)ay(dAyIcczczz22212121222dAzdAASzyc复习：形心的定义复习：形心的定义dAydAASyzc同理同理AbIIcyy2abAIIccyzzy21例例 题题矩形矩形11231thIzthA 1矩形矩形21232btIztbA 2已知组合截面尺寸：已知组合截面尺寸：mmbmmhmmt100,140,20计算截面对轴计算截面对轴 z 的惯性矩的惯性矩bthtz2z1zC1C2Cy

12、s以（以（z2, y2)为基准坐标，则为基准坐标，则212211AAAyAysyccc2012hty ,ycc22确定移轴量（确定移轴量（a, b)矩形矩形1到到 z 轴的距离轴的距离:0,2211bshta矩形矩形2到到 z 轴的距离轴的距离:0,22bsa由平行移轴定理由平行移轴定理121)1(1AaIIzz矩形矩形1对对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩:矩形矩形2对对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩:222)2(2AaIIzz整个截面的惯性矩：整个截面的惯性矩：)2()1(zzzIIIbthtz2z1zCC2ysC123 sinzcosysinOFcosAFGFAEDEAEADy1 coszsiny

13、cosOFsinAFOGFEOGGDODz1z1y1OAzyHBCDEFG如同平行移轴问题，转轴问题也很重要如同平行移轴问题，转轴问题也很重要, 且对弯曲受力合理很关键且对弯曲受力合理很关键 书上的推导书上的推导5.4 转轴公式（转轴公式（Formula of rotation of axes)、主惯性轴主惯性轴 (Principal axes) 和主惯性矩和主惯性矩 (Principal moment of inertia)坐标转换的矩阵形式坐标转换的矩阵形式 zyzy cossinsincos1124),(),(11zyAzyAGFycosy1 z1y1OAzyHBCDEFG操作式的推导操

14、作式的推导用投影代替转动用投影代替转动 y y 变变 y y1 1 的操作的操作 1 1、y y（AFAF）向向 y y1 1 轴投影得轴投影得 y y1 1 + + GF GF 2 2、再减去、再减去GF GF 得得y y1 1 sinzcosy GFcosyy125GDzcosz1 coszsinycoszFEcoszGDz1z1y1OAzyHBCDEFG z z 变变 z z1 1 的操作的操作 1 1、z z（OFOF）向向z z1 1 轴投影得轴投影得 z z1 1 - - GD GD 2 2、再加上、再加上GD GD 得得z z1 1 思考思考 能否用复数推导？能否用复数推导？C1

15、，C 为复数（为复数（Complex number），），i为虚单位为虚单位 sinicose ,CeCiyzC ,iyzCii111126已知：截面对已知：截面对 y、z 轴的惯性矩、惯性积轴的惯性矩、惯性积yzzyIII,求解：截面对求解：截面对y1、z1轴的惯性矩、惯性积轴的惯性矩、惯性积1111,zyzyIII2sin2cos22)2(sin22cos122cos12sin22cos122cos1cossin2sincos)sincos(2222222211yzyzyzyzyzzIIIIIIIIyzdAdAzdAydAyzdAzdAydAzydAyI27pyzyzIIIII11显然显然

16、 22221sinIcosIIIIIyzyzyzz 22221sinIcosIIIIIyzyzyzy 22211cosIsinIIIyzyzzy28 创造的机遇创造的机遇提出问题提出问题：因为因为角度角度对应对应坐标系坐标系，在哪个坐标系中，惯性矩为极大（在哪个坐标系中，惯性矩为极大（ 或极小）？或极小）？ 意义意义对于给定的截面，选择坐标系使对于给定的截面，选择坐标系使惯性矩惯性矩最大最大（抵抗弯曲的能力最强），避免（抵抗弯曲的能力最强），避免惯性矩最小惯性矩最小01ddIz0)2cos2sin2(2yzyzIIIyzyzIIItg2201ddIy011zyI说明取说明取极大（或极小）惯性矩

17、极大（或极小）惯性矩时时 惯性积惯性积等于零等于零29yzyzIIItg22 21,2250121/ ),II/(I(tg arc .yzyz 由方程由方程21,确定两个相互垂直的轴确定两个相互垂直的轴 主惯性轴主惯性轴z1y1O1zy2 也就是说：也就是说：1、对于给定的截面对于给定的截面坐标轴选择得恰当，坐标轴选择得恰当，惯性矩极大；惯性矩极大；2、同时，惯性矩极小的、同时，惯性矩极小的坐标轴坐标轴，恰好与前者（惯性矩极大的恰好与前者（惯性矩极大的坐标轴）坐标轴）垂直；垂直；3、两个、两个坐标轴坐标轴组成了组成了 主惯性坐标系主惯性坐标系求解出求解出30主惯性矩：主惯性矩：主惯性轴上的惯性矩主惯性轴上的惯性矩2sin2cos222sin2cos2211yzyzyzyyzyzyzzIIIIIIIIIIII将将 代入代入21 ,得到一大一小两个主惯性矩：得到一大一小两个主惯性矩：xyyzyzmaxI)II(III224212xyyzyzminI)II(III224212主形心惯性系：主形心惯性系：坐标原点取在截面形心上的主惯性系坐标原点取在截面形心上的主惯性系主形心惯性矩：主形心惯性矩：主形心惯性轴上的惯性矩主形心惯性轴上的惯性矩31 截面几何性质小结截面几何性质小结1. 静矩、惯性矩依赖坐标