第3章 压力容器安全设计的理论与基础知识1

1、希腊字母表大写小写国际音标大写小写国际音标AlfEnju:bi:tEksaigAmEoumaikEndeltEpaiepsailEnrouzi:tEsigmEi:tEtR:I:tEfaiaioutEkaikApEjU:psailEnlAmdEpsaimiuoumigE第三章 压力容器安全设计的理论与基础知识§3-1应力和形变拉伸或压缩: 拉伸应力; 拉伸应变 拉伸应力应变的线性关系=E; =；E为纵向弹性模量三向应力状态:PPah 剪切时：剪切应力; 剪切应变剪切应力应变的线性关系=G; ，为剪切弹性模量弯曲时 (平面弯曲) ：平面弯曲应力 其中y为距中性轴的距离J为横截面对中性轴的

2、惯性距； 不同形状的截面，惯性矩J是不同的。例如圆形截面对中性轴的惯性矩为（d为圆直径），矩形截面对中性轴的惯性矩J为（b为矩形宽，h为矩形高），从这里也可以看出，即使是截面尺寸相同的矩形，扁放和立放时的惯性矩也是不一样的。 曲率半径§3-2容器的薄膜应力压力容器按厚度可以分为薄壁容器和厚壁容器。通常是将容器的厚度与其最大截面圆的内径之比小于0. 1，即外径/内径1.2者为薄壁容器，超过这一范围的容器称为厚壁容器。薄壁容器的弯曲变形在壳壁上引起的应力要比拉伸压缩引起的应力小的多，可忽略。这种理论称为薄膜理论或无力距理论。如图3-2所示的圆筒形容器，当其受到内压力p作用以后，其直径要略

3、微增大，故筒壁内的"环向纤维"要伸长，因此在筒体的纵向截面上必定有应力产生，此应力称为环向应力， 以表示。由于筒壁很薄，可以认为环向应力沿厚度均匀分布。鉴于容器两端是封闭的，在受到内压力p作用后，筒体的"纵向纤维"也要伸长，则在筒体的横向截面上也必定有应力产生，此应力称为经向（轴向）应力，以m表示。本节将通过对回转壳体的应力分析，推导出任意轴对称回转壳体的应力计算公式。基本假设在这里讨论的内容都是假定壳体是完全弹性的，同时，材料具有连续性、均匀性和各向同性。此外，对于薄壁壳体，通常采用以下几点假设使问题简化。(1) 小位移假设壳体受力以后,各点的位移都远

4、小于厚度。根据这一假设，在考虑变形后的平衡状态时，可以利用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。而变形分析中的高阶微量可以忽略不计， 使问题简化。(2) 直法线假设在壳体变形前垂直于中间面的直线段，在壳体变形后仍为直线，并垂直于变形后的中间面。联系假设（1)可知，变形前后的法向线段长度不变。据此假设，沿厚度各点的法向位移均相同，变形前后壳体厚度不变。(3) 不挤压假设壳体各层纤维变形前后均互不挤压。据此假设，与壳壁其他应力分量相比，壳壁法向的应力是可以忽略的微小量，其结果就变为平面问题。这一假设只适用于薄壳。上述假设实质上只是把材料力学中对于梁的假设推广用于壳体。对于薄壁壳体，采用这些假设所得的结果

5、是足够精确的。一、计算回转壳体薄膜应力的基本公式1. 基本概念(1)回转壳体回转壳体是由任何直线或平面曲线绕同一平面内的一条轴线回转360°而成的回转表面。平面曲线形状不同，所得到的回转壳体形状便不同。例如，与回转轴平行的直线绕该轴旋转一周形成圆柱壳；半圆形曲线绕该轴旋转一周形成球壳；与回转轴相交的直线绕该轴旋转一周形成圆锥壳等，如图3-3所示。(2) 轴对称所谓轴对称问题，是指壳体的几何形状、约束条件和所受外力都是对称于回转轴的。化工用的压力容器通常都属于轴对称问题。本章讨论的是满足轴对称条件的薄壁壳体。(3) 中间面所谓中间面，是与壳体内外表面等距离的中曲面，内外表面间的法向距离

6、即为壳体厚度，对于薄壁壳体，可以用中间面来表示它的几何特性。(4) 母线或经线如图3-4所示回转壳体的中间面，是由平面曲线绕回转轴OA旋转一周而成，形成中间面的平面曲线AB称为"母线"。母线也称为经线，它实际上是通过回转轴的平面与中间面相交的一条曲线。如AB'和AB''。(6) 法线通过经线上任意一点M且垂直于中间面的直线，称为中间面在该点的"法线"（n），法线的延长线必与回转轴相交。(7) 纬线与平行圆作圆锥面与壳体中间面正交，得到的交线叫做"纬线"。过N点作垂直于回转轴的平面与中间面相割形成的圆称为&quo

7、t;平行圆"，显然平行圆即是纬线，如图3-4中的CND圆。(8) 第一曲率半径R1中间面上任一点M处经线的曲率半径为该点的第一曲率半径R1，R1 =MK1。(9) 第二曲率半径R2通过经线上任一点M的法线作垂直于经线的平面与中间面相割形成的曲线EMF，此曲线在M点处的曲率半径称为该点的第二曲率半径R2。第二曲率半径的中心K2落在回转轴上，其长度等于法线段MK2，即R2 =MK2。一个小示例：一个受压力为p的圆筒形容器，求：环向应力解：（算法1）取微元体，对应夹角为d。截取圆筒长度为L，则微元体面积为d·R·L。微元体受内压作用力为Pn=pRLd,方向为与x夹角。取

8、y方向分量为Py= pRLsind。圆筒体受到的内压在y轴方向的分量综合应该与环向应力平衡，即 （算法2）假想作用在器壁上的内压作用在x轴所在的平面上，根据力的平衡关系得：，同样得出2. 回转壳体薄膜应力的基本公式（1）经向应力计算公式区域平衡方程式求经向应力时，所采用的假想截面不是垂直于轴线的横截面（因为横截面截得壳体的"厚度"不是其真正的厚度，而且各处"厚度"也不同。此外，这样的截面上不仅有正应力，而且还有剪应力），而是与壳体正交的圆锥面。为了求得任一纬线上的经向应力，必须以该纬线为锥底作一圆锥面，其顶点在壳体轴线上，圆锥面的母线长度即是回转壳体曲面

9、在该纬线上的第二曲率半径R2，如图3-5所示。圆锥面将壳体分成两部分，现取其下部分（图3-6)作脱离体，建立静力平衡方程式。作用在该部分上的外力（内压）在Z轴方向上的合力为pz作用在截面上应力的合力在z轴上的投影为Nz根据z轴方向的平衡条件Pz-Nz=0即 因为 ， 即 代入式中得： （MPa） （3-1）式中 D中间面平行圆直径，mm； 厚度，mm； R2壳体中曲面在所求点的第二曲率半径，mm； m经向应力，Mpa。式（3-1）为计算回转壳体在任意纬线上经向应力的一般公式，即区域平衡方程式。（2）环向应力计算公式微体平衡方程式从壳体中截取一个微小单元体，考察其平衡，即可求得环向应力。由于单元

10、体足够小，可以近似地认为其上的应力是均匀的。微小单元体的取法如图3-7及图3-8所示，它由三对曲面截取而得：一是壳体的内外表面；二是两个相邻的、通过壳体轴线的经线平面；三是两个相邻的、与壳体正交的圆锥面。如图3-9所示是所截得的微小单元体的受力图，其中图3-9(a)为空间视图。在微小单元体的上下面上作用有经向应力m；内表面有内压力P的作用，外表面不受力；另外两个与纵截面相应的面上作用有环向应力。由于m可由式（3-1)求得，内压力p为已知，所以考察微小单元体的平衡，即可求得环向应力。内压力P在微小单元体abcd上所产生的外力的合力在法线n上的投影为PnPn= pdl1dl2在bc与ad截面上经向

11、应力m的合力在法线n上的投影为Nmn，如图3-9(b)所示。 (3-2)在ab与cd截面上环向应力的合力在法线n上的投影为Nn，如图3-9(c)所示。 (3-3) 根据法线n方向上力的平衡条件，得到P-Nmn-Nn=0即 (3-4)因为微小单元体的夹角d1与d2与很小，因此取代入（3-4），并对各项均除以dl1dl2，整理得 （3-5）式中环向应力，MPa;R1回转壳体中曲面在所求应力点的第一曲率半径，mm。其他符号意义及单位同前。式（3-5)即为计算回转壳体在内压力p作用下环向应力的一般公式，即微体平衡方程式。对于第一曲率半径，即经线的平面曲率半径，如果经线的曲线方程为y = y(x)，则

12、(3-6)以上我们对承受气体内压的回转壳体进行了应力分析，导出了计算回转壳体经向应力和环向应力的一般公式。这些分析和计算，都以应力沿厚度方向均匀分布为前提，这种情况只有当器壁较薄以及离两部分连接区域稍远才是正确的。这种应力与承受内压的薄膜非常相似，因此又称为“薄膜理论”。（3）轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围薄膜应力是只有拉压正应力，没有弯曲正应力的一种两向应力状态，因而薄膜理论又称为"无力矩理论"。只有在没有（或不大的）弯曲变形情况下的轴对称回转壳体，薄膜理论的结果才是正确的。在工程上，薄膜理论也是比较简单适用的，它的适用范围除壳体较薄这一条件外，还应满足下列条件。(1)

13、 回转壳体曲面在几何上是轴对称的，壳壁厚度无突变，曲率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能（主要是E和)应当是相同的。(2) 载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的，没有突变情况。因此，壳体上任何有集中力作用处或壳体边缘处存在边缘力和边缘力矩时，都将不可避免地有弯曲变形发生，薄膜理论在这些情况下就不能应用。(3) 壳体边界的固定形式应该是自由支承的，否则壳体边界上的变形将受到约束，在载荷作用下势必引起弯曲变形和弯曲应力，不再保持无力矩状态。(4) 壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无横剪力和弯矩。综上所述，薄壁无力矩应力状态的存在，必须满足壳体是轴对称的，即几何形状、

14、材料、载荷的对称性和连续性，同时需保证壳体应具有自由边缘。当这些条件不能全部满足时，就不能应用无力矩理论未分析发生弯曲时的应力状态。但远离局部区域（如壳体的连接边缘、载荷变化的分界面、容器的支座附近与开孔接管处等）的情况，无力矩理论仍然有效。经线截面ae与法线截面bf割出微体abef。由于微体处于平衡状态： （3-1）由于abef是微体，d1及d2都很小，其正弦函数约等于弧度:sin(d1/2)=d1/2=dl1/(2r1); sin(d2/2)=d2/2=dl2/(2r2);将(3-1)整理得：1/r1+2/r2=P/s (3-2)3-2式导出了任何回转壳体中经向应力1，周向应力2和壳体中一

15、些几何参数的关系，但有两个未知数1和2要解出，还必须再建立一个条件方程式。一般可根据局部壳体的静平衡条件列出一个只含有经向应力1的方程式。如：割一个半径为r0的平行圆，为切线与回转轴交角。r02p=2r0s1cos 所以 （3-3） (3-2)和(3-3)是计算回转壳体薄膜应力的基本公式。二、球形壳体的薄膜应力化工设备中的球罐以及其他压力容器中的球形封头均属球壳。球形封头可视为半球壳，除与其他部件（如圆筒）连接处外，其中的应力与球壳完全一样。如图3-12所示为一球形壳体，已知其平均直径为D，厚度为，气体内压为p，试求球壳中的应力。球壳的特点是中心对称，因此应力分布有两个特点：一是各处的应力均相

16、等；二是经向应力与环向应力相等。由图3-12可见，对于球壳，其曲面在任意点A处的第一曲率半径与第二曲率半径均等于球壳的半径，即由于球形是完全对称，R1=R2=R; 由公式(3-2),由公式(3-3),也可求出。将球壳的环向应力与圆筒壳的环向应力相比较可以发现，对相同的内压p，球壳的环向应力是同直径、同厚度的圆筒壳的环向应力的1/2，这是球壳的又一特点，也是球壳显著的优点。三、圆筒形壳体的薄膜应力经线是直线,R1=；R2=圆筒形壳体的半径R，由(3-2)；而平行圆半径r0=R,0=0,则：可以看出，薄壁圆筒承受内压时，其环向应力是轴向应力的2倍。因此在设计过程中必须注意：如果需要在圆筒上开设椭圆

17、形孔，应使椭圆形孔的短轴平行于筒体的轴线（图3-11)，以尽量减小纵截面的削弱程度，从而使环向应力增加少一些。纵焊缝越少越好。球形可以比圆筒形薄。四、圆锥形壳体的薄膜应力。经线是直线，R1=,但垂直于经线的平面与中间面相交的曲率半径则是变化的,R2=r0/cos;代入由(3-2)得, 由（3-3）得：可看出，1、2；0，1、2圆筒体应力。五、椭球形壳体的薄膜应力（椭圆形封头）母线是一根半椭圆形曲线，它的经线曲率半径是变化的。首先必须求出壳体任意点的两个曲率半径r1,r2。 若椭圆长轴半径为a，短轴半径为b，则椭圆方程为：b2x2+a2y2=a2b2曲率半径: 则任意点经线曲率半径:, 将代入得

18、：椭球壳体上任意点在垂直于经线的平面与中间面相交线上的曲率半径r2就是从该点到回转轴法线的长度，由图得:任意一点的曲线斜率为tg=dy/dx,则:或由(3-3)式得,回转壳体任意点上的经向应力为： r0=x; =90°-; 即 sin=cos则椭球形壳体任意点上的径向应力为：将m代入(3-2)式得，周向应力为:讨论椭球形壳体的薄膜应力分布情况:经向应力m：由公式可看出, m与曲率半径R2成正比。而由公式看出R2>0,，而且在x=和x=a处分别取得最大值和最小值。当x=0时，, x=a时， , 这就是说椭球壳体在经线上的应力始终是拉伸的(R2>0, m>0);赤道处最

19、小，回转轴处最大。最大值应力(max)随a/b的比值增加而增大。周向应力：当X=0时，R1=R2=a2/b ,(回转轴)当X=a时，R1=b2/a,R2=a, (赤道)赤道线上的周向应力因不同的a/b而发生变化。1）若，即a/b<1.42,则>0,周向应力仍然是拉伸的；2）若，即a/b=1.42，则=03）若，即a/b>1.4，则<0，周向应力是压缩的。此时从回转轴到赤道线上自然有一个周向应力为零的过渡区，它与回转轴的距离为。当a/b=2时为标准椭圆壳体，=Pa/=1max，即赤道线上的周向应力（压缩应力）的绝对值与回转轴处的经向应力或周向应力相等。当a/b>2时

20、，椭球形壳体上的最大薄膜应力是压缩应力，而位于赤道上。若的比值过大，赤道将产生很大剪应力，如：max=(m-)/2(第三强度理论)=此应力比壳体其他部位的正应力大得多，而且会由此导致壳体失效。六、蝶形壳体的薄膜应力（蝶形封头）如图3-19所示为一承受气体内压的碟形封头，它由三部分经线曲率不同的壳体所组 成：bb段是半径为的球壳；ac段是半径为r的圆筒；ab段是连接球顶与圆筒的摺边，它是过渡半径为r1的圆弧段。因此，应分别应用薄膜理论求出各段壳体中的薄膜应力m和。对球顶部分(bb):对圆筒部分(ac）：, 对摺边过渡部分(ab):用通过M点法线方向的R2截取封头的上半部，沿O'O轴（图3-20）列平衡方程式可得 （3-22） 将式（3-22）代入微体平衡方程式中求，过渡圆弧部分R1=r1,故 （3-23）式中，第二曲率半径R2是一个变量，随角而变（090°，rR2R）, R2可由下式求出 （3-24）将式（3-24）分别代入式（3-22）与式（3-23）得以上各式中，p介质压力，MPa;碟形封头厚度，mm;r1过渡圆弧半径，mm;D碟形封头平均直径，mm;R2所求应力点的第二曲率半径，mm;所求应力点第二曲率半径与回转轴的夹角，（&