第六章极限定理

1、 第六章第六章 极限定理极限定理 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量,21nXXX 定理定理 6-1 1（切比雪夫大数定律）设（切比雪夫大数定律）设, 2, 1, iCDXi都有有限方差，并且它们有公共上界，即，都有有限方差，并且它们有公共上界，即，那么对任意那么对任意, 0有有:(65)(65)111lim11nkknkknEXnXnP 证明：因为证明：因为两两不相关，故两两不相关，故再由切比雪夫不等式得再由切比雪夫不等式得于是，当于是，当,21nXXX所以所以nCDXnXnDnkknkk

2、1211)1(221111)1(111nCXnDEXnXnPnkknkknkk2111111nCEXnXnPnkknkk时有时有(6-5)(6-5)成立，由此定理得证。成立，由此定理得证。 n,21nXXX 推论推论 6-1 6-1（辛钦大数定律）设（辛钦大数定律）设那么对任意那么对任意, 0有有:(66)(66); aEXk2kDX, 2, 1k是独立同分布的随机变量序列，且是独立同分布的随机变量序列，且 1)1(lim1aXnPnkkn是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量,21nXXX 定理定理 6-1 1（切比雪夫大数定

3、律）设（切比雪夫大数定律）设, 2, 1, iCDXi都有有限方差，并且它们有公共上界，即，都有有限方差，并且它们有公共上界，即，那么对任意那么对任意, 0有有:(65)(65)111lim11nkknkknEXnXnP是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量,21nXXX 定理定理 6-1 1（切比雪夫大数定律）设（切比雪夫大数定律）设, 2, 1, iCDXi都有有限方差，并且它们有公共上界，即，都有有限方差，并且它们有公共上界，即，那么对任意那么对任意, 0有有:(65)(65)111lim11nkknkknEXnXnP 定

4、理定理 6-3 6-3（贝努利大数定律）设（贝努利大数定律）设n是是 n n 次贝努利试验中次贝努利试验中随机事件随机事件A A出现的次数，出现的次数，p p是随机事件是随机事件A A在每次试验中发生的概率，在每次试验中发生的概率，那么对任意那么对任意, 0有有:1limpnPnn定义随机变量定义随机变量 X Xk k 如下如下: :), 2, 1(, 0, 1kAkAkXk，次试验中不出现第次试验中出现第假设假设 ), 2, 1(,kXk相互独立，则相互独立，则 ,1nkknX,)(pXEk而而 pnEXnXnnnkknkk1111,kp 定理定理 6-4 6-4（普阿松大数定律）在一个独立

5、试验序列中，随（普阿松大数定律）在一个独立试验序列中，随那么对任意那么对任意, 0有有:机事件机事件 A A 在第在第 k k 试验中发生的概率为试验中发生的概率为以以n试验中随机事件试验中随机事件 A A 出现的次数，出现的次数， 记前记前 n n 次次1lim1npnPnkknn定义随机变量定义随机变量 X Xk k 如下如下: :), 2, 1(, 0, 1kAkAkXk，次试验中不出现第次试验中出现第, )(kkpXE41)1 ()(kkkppXD是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量,21nXXX 定理定理 6-1 1

6、（切比雪夫大数定律）设（切比雪夫大数定律）设, 2, 1, iCDXi都有有限方差，并且它们有公共上界，即，都有有限方差，并且它们有公共上界，即，那么对任意那么对任意, 0有有:(65)(65)111lim11nkknkknEXnXnP假设假设 ), 2, 1(,kXk相互独立，则相互独立，则 ,1nkknX而而 npnEXnXnnkknnkknkk11111是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量,21nXXX 定理定理 6-1 1（切比雪夫大数定律）设（切比雪夫大数定律）设, 2, 1, iCDXi都有有限方差，并且它们有公共

7、上界，即，都有有限方差，并且它们有公共上界，即，那么对任意那么对任意, 0有有:(65)(65)111lim11nkknkknEXnXnP 定理定理 6-3 6-3（贝努利大数定律）设（贝努利大数定律）设n是是 n n 次贝努利试验中次贝努利试验中随机事件随机事件A A出现的次数，出现的次数，p p是随机事件是随机事件A A在每次试验中发生的概率，在每次试验中发生的概率，那么对任意那么对任意, 0有有:1limpnPnn简单说明为什么上式不能写为：简单说明为什么上式不能写为：0)(limpnnnpnnnlim 或一、林德贝格一、林德贝格- -勒维中心极限定理勒维中心极限定理 ,21nXXX设设

8、; kEX20kDX, 2, 1k是独立同分布的随机变量序列，且是独立同分布的随机变量序列，且 令令nXEEYnkkn121nXDDYnkkn所以所以 nnXDYEYYYnkknnnn1*于是于是nkknXY1 定理定理 6- 6-5（林德贝格（林德贝格-勒维中心极限定理）设勒维中心极限定理）设 ,21nXXX; kEX20kDX, 2, 1k是独立同分布的随机变量序列，且是独立同分布的随机变量序列，且 那么对任意实数那么对任意实数 x x，总有总有: : xtnkkndtexnnXP21221lim也就是说，当也就是说，当近似服从近似服从 时，nnnXnkk1。)1 ,0(N证明证明 略。略

9、。 定理定理6-56-5对离散型和连续型随机变量都是适用的。对离散型和连续型随机变量都是适用的。 例例 6-1 1 一个螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是一个螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是5050克，标准差是克，标准差是5 5克，求一盒（克，求一盒（100100个）螺丝钉的重量超过个）螺丝钉的重量超过51005100克的概率。克的概率。 解：设第解：设第 k k 个螺丝钉的重量为个螺丝钉的重量为),100, 1(kXk1001,XX相互独立，并且相互独立，并且又设一盒重量为又设一盒重量为50kEX5kDX100, 1k1001kkXX根据定理根据定理 6-5 6-5 有有: : nnn

10、nXPXP5100510002275. 0)2(15*10050*1005100nnXP2nnXP21nnXP 例例 6-2 2 某单位内部有某单位内部有260260部电话分机，每个分机有部电话分机，每个分机有4%4%的的时间要使用外线。各分机是否使用外线是相互独立的，问总时间要使用外线。各分机是否使用外线是相互独立的，问总机要有多少条外线，才能有机要有多少条外线，才能有95%95%的把握保证各个分机用外线的把握保证各个分机用外线时不必等候？时不必等候？ 解：设解：设依题意依题意 )260, 1(, 0, 1kkkXk，个分机不使用外线第个分机使用外线第)260, 1(),04. 0, 1 (

11、kBXk以以2601kkXX表示某一时刻同时使用外线的分机数，又假设表示某一时刻同时使用外线的分机数，又假设总机有总机有 x x 条外线。条外线。依题意，依题意，x x 应当满足应当满足 : :95. 0)( xXP也就是也就是95. 0nnxnnXP根据定理根据定理 6-5 6-5 有：有： nnX近似服从近似服从 N(0,1)N(0,1)分布，分布， 例例 6-2 2 某单位内部有某单位内部有260260部电话分机，每个分机有部电话分机，每个分机有4%4%的的时间要使用外线。各分机是否使用外线是相互独立的，问总时间要使用外线。各分机是否使用外线是相互独立的，问总机要有多少条外线，才能有机要

12、有多少条外线，才能有95%95%的把握保证各个分机用外线的把握保证各个分机用外线时不必等候？时不必等候？ 解：解：故故nnX 近似服从近似服从 N(0,1)N(0,1)分布，分布， nnxnnxnnXP95. 0查表得查表得 65. 1nnx将将 ,04. 0pEXk96. 004. 0)1 (ppDXk260, 1 k代入上式代入上式得：得：65. 196. 004. 026004. 0260 x解得解得,61.15x取整数，所以总机至少需要取整数，所以总机至少需要1616条外线。条外线。 例例 6- 6-3 售报员在报亭内售报，每个过路人在该处买报售报员在报亭内售报，每个过路人在该处买报的

13、概率是的概率是 1/3 1/3，令，令 X 是出售了是出售了100份报纸时过路人的总数，份报纸时过路人的总数，求求 解：设第解：设第 k k1 1 份报纸被买走之后，有过了份报纸被买走之后，有过了。)320280( XPkX个人才买个人才买kX第第 k k 份报纸，显然份报纸，显然近似地是独立同分布的，它的概率分布近似地是独立同分布的，它的概率分布为为几何分布几何分布： )100, 1, 2, 1(31)32()(1kiiXPik；33/111pEXk6)3/1(3/2222pqDXi6kDX另外另外 1001kkXX根据定理根据定理 6-5 5 有：有：nnX 近似服从近似服从N(0,1)N

14、(0,1)， 故故 )320280( XP)320280(nnnnXnnP)61003100280()61003100320()62()62(1)62(25876.0二、德莫哇佛二、德莫哇佛- -拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 我们知道，如果我们知道，如果),(pnBX且当且当 n n 很大，而很大，而 p p 很小，很小，npnp大小适中时，二项分布可由普阿松分布大小适中时，二项分布可由普阿松分布)(npP来近似计算。来近似计算。 但是当但是当 p p 不是很小时，我们就无法用此方法。现在我们不是很小时，我们就无法用此方法。现在我们通过中心极限定理，由通过中心极限定理，由) 1 ,

15、 0(N近似计算近似计算 将林德贝格将林德贝格- -勒维中心极限定理应用到贝努里试验场合，勒维中心极限定理应用到贝努里试验场合，。),(pnB很容易得到下面的定理：很容易得到下面的定理： 将林德贝格将林德贝格- -勒维中心极限定理应用到贝努里试验场合，勒维中心极限定理应用到贝努里试验场合，很容易得到下面的定理：很容易得到下面的定理： 定理定理 6-6 6-6（德莫哇佛（德莫哇佛- -拉普拉斯中心极限定理）设拉普拉斯中心极限定理）设n是是 n n 次贝努利试验中随机事件次贝努利试验中随机事件 A A 出现的次数，出现的次数，p p是随机事是随机事件件 A A 在每次试验中发生的概率，那么对任意实

16、数在每次试验中发生的概率，那么对任意实数 x x，有有 dtexpnpnpPxtnn2221)1(lim 德莫哇佛德莫哇佛- -拉普拉斯中心极限定理也就是说，如果随机拉普拉斯中心极限定理也就是说，如果随机变量变量),(pnBX那么，当那么，当 n n 很大时，很大时，)1 (pnpnpX近似服从近似服从 N(0,1)N(0,1)。 定理定理 6- 6-5（林德贝格（林德贝格-勒维中心极限定理）设勒维中心极限定理）设 ,21nXXX; kEX20kDX, 2, 1k是独立同分布的随机变量序列，且是独立同分布的随机变量序列，且 那么对任意实数那么对任意实数 x x，总有总有: : xtnkkndt

17、exnnXP21221lim 例例 6-4 假设某产品的正品率为假设某产品的正品率为80%，现抽查，现抽查100件。件。求：求： (1)抽出的次品数超过抽出的次品数超过15件的概率；件的概率； (2)以概率以概率0.9保证查出的正品数与保证查出的正品数与80的偏差范围是多少？的偏差范围是多少？解：设解：设 X 为抽出的正品数，则为抽出的正品数，则 ),8 . 0 ,100( BX其中其中 n=100，p=0.8，np=80，不适合用普阿松分布近似计算。不适合用普阿松分布近似计算。)48085480()85(XPXP)25. 1 (8944. 0 (1)次品数超过次品数超过15件的概率，即件的概率，即 可用正态分布近似计算。即：可用正态分布近似计算。即：),16 ,80(),(NnpqnpNX近似服从 (2)依题意即要求满足下式的依题意即要求满足下式的 使使 ,9 . 0)80(XP)4480(XP)4()4(1)4(29 .0 所以所以,95.0)4