第二章拉压(3)

1、李禄昌1第第2-72-7节节 轴向拉压的变形能轴向拉压的变形能 固体受外力作用而变形。在变形过程中，外力所做的功将固体受外力作用而变形。在变形过程中，外力所做的功将转化为储存于固体内的能量。转化为储存于固体内的能量。这种能量称为这种能量称为变形能或应变能变形能或应变能。 外载荷由零开始缓外载荷由零开始缓慢增加到慢增加到P， P-l曲线曲线如图所示。如图所示。 当拉力为当拉力为P时，杆件时，杆件变形为变形为l。如果拉力再。如果拉力再增加增加dp，杆件变形增加杆件变形增加为为d(l)。 因位移因位移d(l)而作的功而作的功为：为：)( ldPdW在比例极限范围内，外载荷所作的功为：在比例极限范围内

2、，外载荷所作的功为：0()lWP dl李禄昌20()lWP dl根据能量守恒定理：构件的变根据能量守恒定理：构件的变形能形能U等于外力所作的功。等于外力所作的功。12WUP l22N lUEA构件变形能计算公式外力外力外力方向外力方向位移位移轴力轴力12Pl李禄昌3CAB例题例题1：图示结构，已知两杆长为图示结构，已知两杆长为l，横截面积为，横截面积为A，材料的弹，材料的弹性模量为性模量为E，试求在力，试求在力P作用下节点作用下节点C的位移。的位移。解：解：、外力所作的功、外力所作的功应等于两杆件内所积应等于两杆件内所积蓄的变形能，即：蓄的变形能，即： U=W (a) (b)2PWN1N2、计

3、算拉杆轴力：、计算拉杆轴力： 0 Y C12 (c)2cosPNN李禄昌42222()2cos2 (d)24cosPlN lP lUEAEAEA、计算拉杆的变形能、计算拉杆的变形能： 、解、解得：得： 22cos42EAlPP 2cos2EAPl 李禄昌51122PluAl22122P luAlEAE单位体积内的变形能单位体积内的变形能-（应变能密度）（应变能密度）它可以度量线弹性范围内材料吸收能量的能力。它可以度量线弹性范围内材料吸收能量的能力。abcdeO李禄昌6 第第2-8节节 拉伸和压缩超静定问题拉伸和压缩超静定问题1 、超静定的概念：、超静定的概念： 能用静力学平衡方程求解未知力的问

4、题，称为能用静力学平衡方程求解未知力的问题，称为静定问题静定问题。 由于未知力的个数多于所能提供的独立的平衡方程的数目，由于未知力的个数多于所能提供的独立的平衡方程的数目，因而仅仅依靠静力平衡方程使无法确定全部未知力。这类问题因而仅仅依靠静力平衡方程使无法确定全部未知力。这类问题称为称为超静定问题超静定问题。 未知力个数与独立的平衡方程数之差，称为未知力个数与独立的平衡方程数之差，称为超静定次数。在静定结构上附加的约束称为在静定结构上附加的约束称为多余约束多余约束，这种，这种“多余多余”只是对只是对保证结构的平衡与几何不变性而言的，对于提高结构的强度、保证结构的平衡与几何不变性而言的，对于提高

5、结构的强度、刚度则是需要的。刚度则是需要的。李禄昌7李禄昌8 只有在材料力学中，考虑构件变形问题时，才能解决超只有在材料力学中，考虑构件变形问题时，才能解决超静定问题。静定问题。 求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须在多余约束处寻找各构件变形之间的关系，或者外，还必须在多余约束处寻找各构件变形之间的关系，或者构件各部分变形之间的关系，这种变形之间的关系称为构件各部分变形之间的关系，这种变形之间的关系称为变形变形协调关系协调关系或或变形协调条件变形协调条件。 进而根据弹性范围内的力和变形之间关系（胡克定律），进而根据弹性范围内

6、的力和变形之间关系（胡克定律），即即物理条件物理条件，建立，建立补充方程补充方程。2、超静定问题的解决办法：、超静定问题的解决办法：方程不够，变形来凑方程不够，变形来凑李禄昌9 总之，求解超静定问题需要综合考察平衡、变形和物理总之，求解超静定问题需要综合考察平衡、变形和物理三方面，这是分析超静定问题的基本方法。现举例说明求解三方面，这是分析超静定问题的基本方法。现举例说明求解超静定问题的一般过程以及超静定结构的特性。超静定问题的一般过程以及超静定结构的特性。 、利用原始尺寸原理，不考虑变形，列出独立的静力平、利用原始尺寸原理，不考虑变形，列出独立的静力平衡方程。衡方程。、利用胡克定律，列出物理

7、方程。、利用胡克定律，列出物理方程。、画出变形几何关系图，列出变形协调方程。、画出变形几何关系图，列出变形协调方程。EANll 10李禄昌例题例题2 ：求图示杆的支反力。求图示杆的支反力。解：解：、对杆件受力分析，列静力平衡条件：、对杆件受力分析，列静力平衡条件：RRPAB( ) 1、变形协调条件：、变形协调条件：lllACBC 0RlE ARlE AAB120R lR lAB122( )、利用胡克定律，列物理方程：、利用胡克定律，列物理方程：由此得：由此得：联立求解联立求解(1)和和(2), 得：得：RllPRllPAB21,李禄昌11 例题例题3 3 两端固定的等截面直杆，杆件沿轴线方向承

8、受一对大小相两端固定的等截面直杆，杆件沿轴线方向承受一对大小相等、方向相反的集中力，假设杆件的拉伸刚度为等、方向相反的集中力，假设杆件的拉伸刚度为EA，其中，其中E为材料的弹为材料的弹性模量，性模量，A为杆件的横截面面积。要求各段杆横截面上的轴力，并画出为杆件的横截面面积。要求各段杆横截面上的轴力，并画出轴力图。轴力图。 解：解：、分析约束力，判断静不、分析约束力，判断静不定次数。在轴向载荷的作用下，定次数。在轴向载荷的作用下，固定端固定端A、B二处各有一个沿杆件二处各有一个沿杆件轴线方向的约束力轴线方向的约束力FA 和和FB ，独，独立的平衡方程只有一个立的平衡方程只有一个 。0 xF0PP

9、BAFFFFBAFF 因此，静不定次数因此，静不定次数n211次。所以除了平衡方程外还需次。所以除了平衡方程外还需要一个补充方程。要一个补充方程。 、为了建立补充方程，需要先建立变形协调方程。杆件在载荷与约为了建立补充方程，需要先建立变形协调方程。杆件在载荷与约束力作用下，束力作用下，AC、CD、DB等等3段都要发生轴向变形，但是，由于两段都要发生轴向变形，但是，由于两端都是固定端，杆件的总的轴向变形量必须等于零：端都是固定端，杆件的总的轴向变形量必须等于零：AFBFACDB李禄昌120DBCDACABllll这就是变形协调条件。这就是变形协调条件。 、根据胡克定律，杆件各段的轴力与变形的关系

10、、根据胡克定律，杆件各段的轴力与变形的关系- -即物理方程即物理方程： EAlFlEAlFlEAlFlCBACCDACACACNNN,、应用截面法、应用截面法,上式中的轴力分别为：上式中的轴力分别为： FNAC-FA (压压) ，FNCDFPFA (拉拉) ，FNDB-FB(压压) 、将、将上述各上述各式联立，即可解出两固定端的约束力：式联立，即可解出两固定端的约束力：3PFFFBAACDBAFBF李禄昌13 、据此即可求得、据此即可求得直杆各段的轴力，画直杆各段的轴力，画出直杆的轴力图。出直杆的轴力图。 ACDBAFBF14李禄昌例题例题4：求图示结构结点：求图示结构结点A的垂直位移。的垂直

11、位移。解：静力平衡条件：解：静力平衡条件：变形协调条件：变形协调条件：NNNNP13122cos132coslll N1N2N3312cosN lN lN lEAEAEA利用胡克定律，列物理方程：利用胡克定律，列物理方程：其它步骤略。其它步骤略。1l以垂线代以垂线代替弧线替弧线AO15李禄昌 例题例题5 5：刚性梁刚性梁ADAD由由1 1、2 2、3 3杆悬挂，已知三杆材料相杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为同，许用应力为 ，材料，材料的弹性模量为的弹性模量为 E E，杆长均为，杆长均为l l，横截面面积均为，横截面面积均为A A，试求，试求结构的许可载荷结构的许可载荷PP。解：静力平衡条件

12、：解：静力平衡条件：变形协调条件：变形协调条件：NNNP1232331( )llll213123,0Am 只列一只列一个方程个方程16李禄昌即：即：N lEAN lEAN lEAN lEA213123,NNNN2131232,( )联立求解联立求解(1)和和(2), 得：得：NPNPNP123314614914,llll213123,17李禄昌联立求解联立求解(1)和和(2), 得：得：NPNPNP123314614914,333914NAPA 杆杆3轴力为最大轴力为最大,其强度条件为其强度条件为:PA149 PA14918李禄昌例题例题6 装配应力装配应力：对于超静定结构，由于加工制造对于超

13、静定结构，由于加工制造误差，在装配时往往产生较大应力。误差，在装配时往往产生较大应力。19李禄昌解：静力平衡条件：解：静力平衡条件：变形协调条件：变形协调条件：杆杆1、3被压缩，杆被压缩，杆2被拉长。被拉长。NNNN13122cosllh21coshEAlNEAhlNcos)cos(12引用胡克定律：引用胡克定律：李禄昌20AB李禄昌21例例7 杆杆AB长为长为l , ,面积为面积为A , ,材料的弹性模量材料的弹性模量E和线膨胀系数和线膨胀系数 , ,求温度升高求温度升高 T 后杆温度应力。后杆温度应力。 解：解： （1）列平衡方程）列平衡方程 设约束设约束力为力为RA 、RB ，列方程：列

14、方程：0, 0 BARRX（2）列变形几何条件）列变形几何条件Tl Rl RTll 因温度引起的伸长因温度引起的伸长因轴向压力引起的缩短因轴向压力引起的缩短RRRBA :得得设想解除右端约束，设想解除右端约束，李禄昌22（4） 建立补充方程建立补充方程EARllT TEAR TEAR （5）杆温度应力）杆温度应力为防止管道温度应力过为防止管道温度应力过大顶坏两端装置而接入大顶坏两端装置而接入管道的伸缩节管道的伸缩节（3） 列物理条件列物理条件lTlT EARllR 李禄昌23第第2-9节节 应力集中的概念应力集中的概念 由于结构的需要，构件的截面尺寸往往会突然变化，例由于结构的需要，构件的截面

15、尺寸往往会突然变化，例如开孔、键槽、轴肩和螺纹等，局部的应力不再均匀分布而如开孔、键槽、轴肩和螺纹等，局部的应力不再均匀分布而急剧增大。急剧增大。 因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为称为应力集中应力集中。maxmax24李禄昌：发生应力集中的截面上的最大应力：发生应力集中的截面上的最大应力nkmax理论应力集中系数：理论应力集中系数：max：同一截面上按净面积算出的平均应力：同一截面上按净面积算出的平均应力nmax结构对应力集中的影响：结构对应力集中的影响：截面尺寸改变得越急剧、角越尖、截面尺寸改变得越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度就越严重。孔越小，应力集中的程度就越严重。李禄昌25 塑性材料有屈服变形阶段。塑性材料有屈服变形阶段。 塑性材料制成的零件，在静载荷作用下，可以不考虑应塑性材料制成的零件，在静载荷作用下，可以不考虑应力集中的影响，但在比例极限内，仍有局部应力集中。力集中的影响，但在比例极限内，仍有局部应力集中。 脆性材料制成的零件，应力集中的危害性较严重。脆性材料制成的零件，应力集中的危害性较严重。 至于灰口铸铁，其内部的不均