第02章各向异性弹性力学基础

1、第二章第二章 各向异性各向异性 弹性力学基础弹性力学基础2.2 2.1 2.3 2.1 各向异性弹性力学各向异性弹性力学 基本方程基本方程各向异性弹性力学基本方程包括：各向异性弹性力学基本方程包括：2.1(1)工程应力 zzyzxyzyyxxzxyx 工程应变 zzyzxyzyxzxyxyx,zwyvxuzyx.;yuxvxwzuzvywxyzxyzxzzxzyyzyxxyxzxzyzzyxyyx2222222222222226个应变分量是通过个应变分量是通过3个位移分量表示的，因此，个位移分量表示的，因此， 6个应变分量不是互不相个应变分量不是互不相关的，之间存在必然联系：关的，之间存在必然

2、联系：（1）已知）已知3个位移分量，个位移分量，解唯一；解唯一；（2）已知）已知6个应变分量，个应变分量，如何？方程个数超过未知如何？方程个数超过未知数个数，解不唯一。数个数，解不唯一。yxzyxzxzyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyxz2222226个变形协调方程，其中只有个变形协调方程，其中只有3个独立。个独立。意义：意义：分割成无数个小分割成无数个小6面体，每个小单元体发面体，每个小单元体发生变形。如果应变分量生变形。如果应变分量不满足协调方程，则变不满足协调方程，则变形后，不能将小单元体形后，不能将小单元体拼合成连续体，产生小拼合成连续体，产生小裂缝。为使变形

3、后连续，裂缝。为使变形后连续，应变分量必须满足协调应变分量必须满足协调方程。因此方程。因此变形协调方变形协调方程是保证物体连续的一程是保证物体连续的一个必要条件。个必要条件。对于单连通物体，变形协调方程也是保证物体连续的充分条件。对于单连通物体，变形协调方程也是保证物体连续的充分条件。222222twfzyxtvfzyxtufzyxzzzyzxyyzyyxxxzxyx注：以上关系与各向同性体相同注：以上关系与各向同性体相同fx = xl + yxm + zxnfy = xyl + ym + zynfz = xzl + yzm + zn xyzxyzzyxxyzxyzzyxCCCCCCCCCCC

4、CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211(本构关系本构关系) Hooke 定理定理： 记作记作=C ， C刚度矩阵，刚度矩阵，可以证明，可以证明， C是对称矩阵，因此它只是对称矩阵，因此它只有有21个独立变量。个独立变量。如何证明？如何证明？ 同样，同样， S也是对称矩阵，它也有也是对称矩阵，它也有21个独立变量。个独立变量。同样，可用应力分量表示应变分量：同样，可用应力分量表示应变分量： S SC-1柔度矩阵。柔度矩阵。2.2 2.2.1

5、 具有一个弹性对称面的材料 2.2.2 正交各向异性材料 2.2.3 横观各向同性材料 2.2.4 各向同性材料2.2 2.2 222 6xyxy5zxzx4yzyz3z2y1x6xy5zx4yz3z2y1x 应变应变应力应力 21 21 21 21 21 21266665562555644654452444633653354334233362265225422432232222611651154114311321122111CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCW2.2应变势能密度为： 2121CW 2.2.1有一个弹性对称面的材料 如取如取xoyxoy坐标面与弹性对称面平行，坐标面与弹

6、性对称面平行，取取A与与A为相互对称点，则它们的弹性性能相同。为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将即将z轴转到轴转到z轴时，应力应变关系不变。轴时，应力应变关系不变。如果物体内每一如果物体内每一点都有这样一个平面，点都有这样一个平面，在此平面的对称点上在此平面的对称点上弹性性能相同，这样弹性性能相同，这样的材料就具有一个弹的材料就具有一个弹性对称面。弹性主轴性对称面。弹性主轴概念。概念。2.2.1有一个弹性对称面的材料此时：此时：z=-z，w=-w，（新旧坐标系），（新旧坐标系）yzyz4z xzx5()()wvwvyzyzuwuwzxzx 其余应变分量不变其余应变分量不变2.2.1有一个

7、弹性对称面的材料 66362616554545443633231326232212161312110000000000000000CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 为保证为保证W值不变值不变,将含有将含有xz和和yz( 4与与 5)一次项的一次项的Cij置为零，只剩下置为零，只剩下13个独个独立变量。立变量。13 66362616554545443633231326232212161312110000000000000000SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSs2.2.1 有一个弹性对称面的材料同理：同理：2.2.2正交各向异性材料 66554433231323221213121

8、1000000000000000000000000ccccccccccccc如果具有三个正交弹性对称面，则：如果具有三个正交弹性对称面，则： 92.2.2正交各向异性材料 665544332313232212131211000000000000000000000000SSSSSSSSSSSSS只有九个独立系数只有九个独立系数重要性质，正剪无耦合重要性质，正剪无耦合2.2.3横观各向同性材料 各向同性面各向同性面在该平面内，在该平面内，各点的弹各点的弹性性能在各方向上相同性性能在各方向上相同。 假定：假定：1，2，3都是弹性都是弹性主轴，主轴，12面是各向同性面是各向同性面。面。则：则：S11=

9、S22， S13=S23， S44=S55， C11=C22，C13=C23， C44=C552.2.3横观各向同性材料 又设某点应力状态：又设某点应力状态： 1= ， 2= ， 4= 5 6，有有 212112112122112121 SSSSSW 将将1、2坐标轴在面内转坐标轴在面内转450到到1 、2，则则 1= 2 30， 6 12 ， 23 31 0：66621 SW 则：则：S662(S11 S12)2.2.3横观各向同性材料 121144443313131311121312112000000000000000000000000SSSSSSSSSSSSSS52.2.3横观各向同性材

10、料 1211444433131313111213121121000000000000000000000000CCCCCCCCCCCCCC只有五个独立系数只有五个独立系数2.2.4各向同性材料 如果材料任一点、任一方向弹性特如果材料任一点、任一方向弹性特性都相同。性都相同。有：有：C11=C22=C33， C12=C13 =C23， 121166554421CCCCC S11=S22=S33，S12=S13 =S23， 121166554421SSSSS 2.2.4各向同性材料 12111211121111121212111212121121000000210000002100000000000

11、0CCCCCCCCCCCCCCCC2.2.4各向同性材料 121112111211111212121112121211200000020000002000000000000SSSSSSSSSSSSSSSS只有只有2个独立参数，个独立参数，因为因为E、 、G之间有之间有关系。关系。2.3 2.3 3 , 2 , 1 iEiii jiij2.3.1对正交各向异性材料：对正交各向异性材料： 665544332313232212131211000000000000000000000000SSSSSSSSSSSSS2.3.1123123323213132321213132121100000010000001000000100010001GGGEEEEEEEEE2.3.1ijijijEE一般一般Ei Ej，所以，所以， ij ji 。2.3.2在在S（或（或C）中任意取第）中任意取第i1,i2,i3, i1,i2,i3, 列交点处的元素构成的行列交点处的元素构成的行列式称为矩阵列式称为矩阵 S（或（或C）的主子式。）的主子式。2.3.2.0, 0, 0, 0, 0, 001231233211G