培优训练3—不定方程方程组应用题

1、方程组一一不定方程、二元一次方程组应用题基本概念：1、若一个方程中出现两个或更多个未知数，则称该方程为不定方程。这个“不定方程”是指方程解的不确定性。2、若一个方程组中未知数的个数比方程的个数多，则称该方程组为不定方程组。这个不定也是指方程组的解的不确定。3、形如ax+by=c（a、b、c都是整数，且abw0）的方程称为二元一次不定方程，二元一次不定方程是最简单的不定方程。一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，设a、b、c、d为整数，则不定方程ax+by=c有如下两个重要命题：（1）若（a,b）=d，且d不能整除c,则不定方程ax+by=c没有整数解。xux0bt-y

2、=y°_at（2）若x0,y0是方程ax+by=c且（a,b）=1的一组整数解（称特解），则（t为整数）是方程的全部整数解（称通解）。4、解不定方程方程（组）没有固定的方法，需要根据方程（组）的特点进行恰当的变形，并且灵活运用：奇偶性、整数的整除性质、分离整系数、穷举、不等式分析等方法。5、求整系数不定方程ax+by=c的整数解，通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解；（2）求一个特解；（3）写出通解（4）由整数t同时要满足条件（不等式组），代入（2）中表达式，写出不定方程的正整数解。6、解不定方程组的基本方法：（1）视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示（2）通

3、过消元，将问题转化为不定方程求解（3）运用整体思想方法求解。练习：1、判断下列不定方程是否有整数解，若有求出其通解2x+5y=12x+4y=72、求不定方程31x+23y=185的整数解。3、求方程7x+4y=100的正整数解:求方程6x+22y=90的非负整数解4、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，5角钱刚好买几块橡皮和几只铅笔？5、公鸡一只值钱5,母鸡一只值钱3,小鸡三只值钱1。今有钱100,买鸡100只，公鸡、母鸡、小鸡各几只？6、篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球的个数是足球的7倍，那么其中排球的个数是多少?7、若正整数x,y满足2004x=15y,则x

4、+y的最小值是多少?8、一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒子、3粒、4粒或6粒的取出，最终盒内都剩1粒棋子，如果每次11粒地取出，那么正好取完，问：盒子里共有多少粒棋子？（2004年河南省龙春题）司机小李驾车在公路上匀速行驻，他看到里程碑上的数是两位数Th后看到里程碑上的数恰是第一次籽到的数解倒顺序的两位数再过伟后.第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上个零的三位数.这三块里程碑上的数各是多少？【练习16】口“3年广西文军题J圾中学生体师生相乘同类坳客军若干辆外出存游，刎果每辆车坐22人，就会余F!人；如暴开走辆空车.那么所有师生刚好平均分乘余下的汽不.问工原先

5、租有客车多少辆.学校师生法多少人，f已知每辆车的容量不笫于32人）（希望杯竞赛题）三元方程上+»+芸=1999的非负整数的个数有（个.A.20001999B.19992000C2001000D.2001999X4efabed图13.1（五羊杯竞霉题）如图13-1是一个六位数乘上一个一位数的竖式，口，伍abcdefCd,e.f各代表一个数（不一定相同3则6i+A+r+rf+e+/=（A.27B.24C.30I工无法确定（北京市竟塞题）购买3种数学用品4.A.A-AA的件数和用钱总数列成下表,tJArfluri件数、二、A,A,A,A.A总钱数第一次购件数1,361992（元）第二次购件

6、数1g112984<元）则5种数学用品售买一件共需元.（2003年武汉市更富遇）装人家的电活号码是八位数，将前四位数组成的数和后四位故组成的数相加得1M05.将前三位数组成的数与后丘位数相加得1697。.求此人家的电话号码，【练习22】瓦单杯建请春试题）方程/7-3|*h+3+I-I的林数麟的个数是.【练习23】一个自然数N被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被4除余3,被3除余2,被2除余1,则N的最小值是多少/7、列方程组解应用题：关键是找出题中的已知量，未知量，及它们之间的等量关系，其中包含数量之间的基本关系，题中所给的等量关系，及一些隐含关系

7、。可以根据需要设多个未知数，列多元方程解题。一般有几个未知数就要有几个方程，当方程个数少于未知数个数时，按照不定方程解法，和题中的一些限制条件去找合适的解。【练习：24上初中数学竞赛题）甲是乙现在的年龄时,乙10岁：乙是甲现在的年龄时.甲25岁，那么（rA.甲比乙大5岁B.甲比乙大10岁C乙比甲大1。岁D.乙比甲大5岁【练习25】（2000年江苏省首届数学文化节感础闯关地;船在静水中航行时.甲船的速度比乙船大,在水流速度不为零的河流中,甲、乙两船同时从A港出发.同向航行lh后立即返航那么上A.甲船先返回月港B.乙船先返回A港C.甲、乙两船同时返回4港D.不确定哪条船先返回A港【练习26】（希望

8、杯竞寡题）一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4h.从乙地到甲地逆流行驶需6h.有一木筏由甲地漂流至乙地，需氏【练习27】（希望杯竟毒题）某人以4kmh的速度由甲地步行到乙地.然后乂以6km/h的速度从乙地返回甲地，那么此人往返一次的平均速度是km/h.【练习28】（第15届江苏省初中数学支春题）汽车以每小时72km的速度笔直地开向寂静的山谷,驾驶员歉一声喇叭，心后听到回声*已知声音的速度是每秒310m,听到回用时汽车离山谷的距离是m.【练习29】（第19届江苏南初中教学竞春题）甲、乙两人从两地同时出发.若相向而行,口h相遇：若同向而行则方h甲追及乙.那么甲,乙两人的速度之比为.【练习30】（北京市竞

9、器膻）某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动,甲，乙两人都急于上楼办琳.因此在乘扶掷的同时匀速登梯甲登r55级后到达楼J乙量悌速度是中的2倍（单位时间内乙登梯级数是甲的2倍.他登60级后到达樱匕邸么，由搂F到楼I-自动扶梯级数为_【练习31】（江苏省品17届竞蹇越）也影胶片烧在盘上,空盘的盘心直径为60mm,现有厚便为0.15mm的胶片,它紫绕在盘上共有柠。0圈那么这盘胶片的总长度约为m（圆周率或取3J4计算L【练习32】中最左端的盒子中放了翼个小球”展行端的食子中放b个小球如果任克相邻的12个盒子中的小球共有24个,则£A.«-ft=2B.白=方=1匚口=1,办=2D.a=

10、26=J【练习331时3km,乙纸行的速度为每小时5k*两人骑白行隼的速度都是第小时15km.现甲先步行.乙先骑自行车，两人同时出发.走了一段路程后.乙放下车步行甲走到乙放车处改躺百再车,以后不断交替前进两人恰好同时到达8地,则甲走全程的平均速度是km/h:【练习34】一种月刊，每期定价2.5元，某中学初一年级组织集体订阅，有些学生订半年，而另一些学生订全年，共需1320元，如果订全年的改订半年，订半年的改订全年，则需1245元。问共有多少学生订阅。【练习35】有一6位正整数，把它的第一位数字移到末位，所得的6位数比原6位数的3倍还多5173,求原来的6位数。【练习36】今有若干克4%的盐水，

11、蒸发了一些水分以后变成了水，混合后变为6.4%的盐水。问最初盐水是多少克？10%的盐水，再加进300克4%的盐【练习37】某个团队的成员要从A地到相距18千米的B地去，只有一辆汽车，所以把全体人员分成甲乙两组，先让甲组乘车，乙组步行，同时出发；开到途中C地，甲组人员下车步行，汽车回去接乙组，把乙组人员送到B地时，甲组也恰好同时到达B地。设车速每小时60千米，步行每小时4千米，求AC两地之间的距离。【练习38】若时钟的时针在4点和5点之间，且与分针所夹角为直角，求此时间。【练习39】甲、乙、丙三人相聚，谈起年龄问题。甲说：我和乙的年龄加起来比丙大13岁；丙说:我和乙的年龄加起来比甲大15岁；乙说

12、：你们俩的年龄加起来比我只多了11岁。那么他们年龄最大相差几岁？【练习40】山脚下有一池塘，山泉以固定的流量不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台抽水机则1小时后正好把池塘中水抽完，若用两台则20分针正好抽完。问，若用三台抽水机，则需要多少时间抽完水？解：设原有水a升，山泉流量为x升/分，抽水机抽水流量为y升/分，若用三台，需要分抽完则：【练习41】某校有100名学生在语数外三科联赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，即参加语文又参加数学竞赛的有14人，即参加数学又参加外语竞赛的有13人，即参加语文又参加外语竞赛的有9人，有1人这三项都不参

13、加。问三项都参加的都有多少人？【练习42】某班参加一次智力竞赛，共a、b、c3题。每题或者得满分或者得0分，其中a满分20分，b、c满分都是25分。竞赛结果，每个学生至少答对1题，3题全对的有1人，答对其中两题的有15人。答对题a的人数与答对题b的人数之和为29;答对题a的人数与答对题c的人数之和为25,答对题b的人数与答对题c的人数之和为20,.问这个班的平均成绩是多少分？【练习43家名华怀春试题7、乩:个节型机器人围绕-个网形轨道高速动.它们版时针同时同地出发后.人在23时追上以2,5s时追上C当追上B时，C1B的运动路程的比是3：2.问第1分钟时，人围绕这个IH形轨道运动了多少圈？【练习

14、44】将分针和时针所夹的银题平分？【练习45】（2。0。年全国初中数学联赛题）某果品商店进行组合销衿，甲种搭联:八水果2k4口水果4kg；乙种搭配：H水果3kM.B水果8kg"：水果4小丙种搭泡;4水果B水果6kg,水果ik即已知A水果每克2元.8水果每千克L2元.。水果每干丸1。元,某天谈商店销售这三种搭配水果共UL2元，是中J水果的椅传解为H6元,问.C水果的精档颤为名少元？【练习46】广西竞本题）心武准备装修套和£.君甲、乙用个装制公司合作需6周完成.雷工钱12万元：若卬公司单拽做4周后,剩下的南乙公司来做.还需9周才徙完成，需工钱L8万元.若只选个公司单独完成,从节

15、约开支的角度?虑.书武是选中公司还是选乙公司？请说明理由.【练习47】量相等），如果放牧羽嵬牛,则6天吃完牧草工如果放牧21头牛.则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的问：（1）如果放牧16头牛.几天可以吃完牧草？（2）要使牧席永远吃不完，至多放牧几头牛？【练习48（21-年首届江苏街,”数学之优节”能力亲质模战题）如图12-3.氐方形AbD中故置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图屋求图中阴影部分的而枳.克庆市竞霉题）某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车,第一辆出租车出发后，每隔4mm就有一辆出租汽车升出.在第一辆汽车开出2min后，有一辆出租汽车进站-以后每隔6min就有一辆出租汽车回站.回站的出租汽车在原有的出租汽车依次开用之后又依次每隔4min开出一辆.同八第一辆出租汽车开出后，经过最少塞少时间，车站不能正点发车？绰习501（北京南竞春题）团体购买公园门票,票价如下:购票人数15。51100100以上每