科学与工程计算：引言

1、科学与工程计算科学与工程计算 授课教师：满红英授课教师：满红英 E-mail: 课件存放邮箱：课件存放邮箱：manhy_ 密码：密码：20150929需要的基础知识需要的基础知识 微积分微积分 线性代数线性代数 计算方法计算方法 偏微分方程偏微分方程 会一门编程语言会一门编程语言参考书参考书偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法, ,陆金甫等编，清华大学出版社，陆金甫等编，清华大学出版社，20032003微分方程数值解微分方程数值解，李荣华等编，高等教育出版社，李荣华等编，高等教育出版社，19961996微分方程数值解微分方程数值解，李立康等编，复旦大学出版社，李立康等编，复旦大学出版社，199

2、91999微分方程数值解微分方程数值解，余德浩等编，科学出版社，余德浩等编，科学出版社，20032003科学与工程计算方法科学与工程计算方法，熊春光等，北京理工大学出版社，熊春光等，北京理工大学出版社， 20112011numerical methods for partial differential equations, , MIT网上公开课件网上公开课件1.注意掌握各种方法的基本原理注意掌握各种方法的基本原理2.注意各种算法（差分、有限元）的构造手法注意各种算法（差分、有限元）的构造手法3.重视各种方法的性态研究（收敛性、稳定性）重视各种方法的性态研究（收敛性、稳定性）4.做一定量的习题

3、和上机实践题做一定量的习题和上机实践题5.注意与实际问题相联系注意与实际问题相联系要求要求: 考核考核1.期末考试占期末考试占70%2.平时作业平时作业30% 注、作业包括书面作业（注、作业包括书面作业（10%） 实践作业（实践作业（20%） 随着计算机软件硬件的不断更新和计算随着计算机软件硬件的不断更新和计算方法的迅速发展，方法的迅速发展，科学计算科学计算与与实验实验以及以及理理论研究论研究成为现代科学研究的三大主要手段。成为现代科学研究的三大主要手段。科学计算还能解决实验及理论无法解决的科学计算还能解决实验及理论无法解决的问题，并由此发现一些新的物理现象，问题，并由此发现一些新的物理现象，

4、加加深人们对物理机理的理解和认识，促进科深人们对物理机理的理解和认识，促进科学的发展。学的发展。计算机解决实际问题的步骤计算机解决实际问题的步骤建立数学模型建立数学模型选择数值方法选择数值方法编写程序编写程序上机计算上机计算 偏微分方程数值解偏微分方程数值解 科学与工程计算中最重要的内容：科学与工程计算中最重要的内容：求解科学求解科学研究和工程技术中出现的各类偏微分方程或研究和工程技术中出现的各类偏微分方程或方程组方程组研究偏微分方程的研究偏微分方程的数值实现数值实现、分析分析和和有关理论有关理论基础与基础与软件实现。软件实现。F 连续系统的离散化连续系统的离散化F 离散性方程的数值求解离散性

5、方程的数值求解 第一章第一章 引论、准备知识引论、准备知识 本章主要引入微分方程的概念本章主要引入微分方程的概念及数值求解微分方程的意义及其数及数值求解微分方程的意义及其数值求解方法概述值求解方法概述. .1 1 微分方程微分方程 数学来源人类的社会生产活动。数学来源人类的社会生产活动。现代数学的产生现代数学的产生和发展与力学、物理学、天文学等应用学科的发展和发展与力学、物理学、天文学等应用学科的发展相辅相成的相辅相成的：它们为数学提出问题，而数学在解决：它们为数学提出问题，而数学在解决这些问题的过程中所获得的更广泛、更深刻的结果这些问题的过程中所获得的更广泛、更深刻的结果反过来推动这些学科的

6、发展。反过来推动这些学科的发展。 现实世界中绝大多数事物的内外联系是及其复现实世界中绝大多数事物的内外联系是及其复杂的，其状态随着时间、地点、条件的不同而不同，杂的，其状态随着时间、地点、条件的不同而不同，我们只能通过对问题进行简化和作某些假定，从中我们只能通过对问题进行简化和作某些假定，从中找出其状态和状态的变化规律之间的关系，也即找出其状态和状态的变化规律之间的关系，也即一一个或一些函数与它们的导数之间的关系，这种关系个或一些函数与它们的导数之间的关系，这种关系的数学表达就是的数学表达就是微分方程微分方程。一、偏微分方程简介偏微分方程简介( , , , )( , , , )( , , ,

7、),tyzzu x y z tu x y z tu x y z tuuutyzz 1 1、偏微分方程：含有未知函数的偏导数的方、偏微分方程：含有未知函数的偏导数的方 程称为程称为偏微分方程偏微分方程。( )( ) ( ),( )xu xdu xif u x uu xxdx 22222( , )uuuuuabcdefug x yxxyyxy例：例：二阶偏微分方程二阶偏微分方程2、发展史发展史(1) 十八世纪十八世纪(2) 十九世纪中期，三类偏微分方程：十九世纪中期，三类偏微分方程：3）十九世纪末到二十世纪初，其它方程：十九世纪末到二十世纪初，其它方程： 高阶方程：高阶方程： KDVKDV方程：方

8、程： 薛定谔方程（薛定谔方程（Schrdinger equation）:fuau22t fu2 fuauxx2tt fuau22tt fuauxxxx2tt 0uuuuxxxxt U(r)2ti22 偏微分方程分为偏微分方程分为线性线性和和非线性非线性，22222( , )uuuuuabcdefug x yxxyyxy 考考虑虑二二阶阶偏偏微微分分方方程程 ( (1 1) ), , , ,(1)a b c d efxy若若系系数数和和 设设为为 和和 的的函函数数，即即方方程程是是线线性性的的。 , , ,(1).uua bcx y uxy如如果果系系数数和和 是是和和的的函函数数，称称方方程

9、程是是拟拟线线性性的的),(.40),(),(,),()1(22222000000 uuuhuuacbyxyxyx 标标准准型型是是二二阶阶双双曲曲型型方方程程的的，其其中中处处如如果果在在点点处处是是双双曲曲型型的的在在点点方方程程),(0),(),(,),()1(2222000000 uuuhuuyxyxyx 准准型型是是，二二阶阶椭椭圆圆型型方方程程的的标标处处如如果果在在点点处处是是椭椭圆圆型型的的在在点点方方程程),(0),(),(,),()1(22000000 uuuhuyxyxyx 准准型型是是，二二阶阶抛抛物物型型方方程程的的标标处处如如果果在在点点处处是是抛抛物物型型的的在在

10、点点方方程程3 3、建立方程的步骤、建立方程的步骤当确定了研究的是哪一类物理量后，当确定了研究的是哪一类物理量后，(1)(1)、划分出一小块，考虑其与邻近部分的关系；、划分出一小块，考虑其与邻近部分的关系；(2)(2)、根据物理学规律，表示出此关系；、根据物理学规律，表示出此关系；如：牛顿运动定律、能量守恒定律、麦克斯韦如：牛顿运动定律、能量守恒定律、麦克斯韦方程等。方程等。(3)(3)、化简、整理，即得偏微分方程。、化简、整理，即得偏微分方程。xx2tuau fuuyyxx xx2ttuau uuuyyxx2 这里主要讨论三类方程，这里主要讨论三类方程，弦振动方程、泊松方程、弦振动方程、泊松

11、方程、热传导方程热传导方程。此三类方程并不包括所有物理问题，。此三类方程并不包括所有物理问题，如：量子力学中的薛定谔方程，如：量子力学中的薛定谔方程，KDVKDV方程等。方程等。例例. 一维波动方程的建立一维波动方程的建立物理分析：物理分析： 弦振动属于机械振动弦振动属于机械振动, 基本规律是牛顿的质点力学基本规律是牛顿的质点力学 f = ma.弦的横振动方程弦的横振动方程一拉紧的细弦，其横向运动情况。一拉紧的细弦，其横向运动情况。 x轴：弦的平衡位置轴：弦的平衡位置u( x, t )：弦上：弦上 x 点在点在 t 时刻的位移时刻的位移ux )(xFl0B 弦不是质点弦不是质点, 但可以把整个

12、弦细分为许多小段但可以把整个弦细分为许多小段, 每一小段可以看每一小段可以看 作质点作质点. 研究对象取为其中任一小段研究对象取为其中任一小段B (x处的处的dx一小段一小段). 柔软弦的微小横振动柔软弦的微小横振动: 柔软弦柔软弦(不是固体杆，杆对弯曲有抵抗不是固体杆，杆对弯曲有抵抗), 张张 力沿弦的切向力沿弦的切向,平行于截面的应力为零平行于截面的应力为零. 仅横向振动仅横向振动,无纵向振动无纵向振动. 均匀细弦均匀细弦: 与外力、张力相比与外力、张力相比, 重量不计重量不计, 线密度线密度 设垂直于设垂直于x轴向上外力的线密度是轴向上外力的线密度是F, dx受外力为受外力为Fdx。 t

13、tudxFdxTTyTTx)(sinsin:0coscos:11221122 T21 2 uxx+dxxT1BACF121211221122 00 cos1cos1 sintan sintantan sintan| ,sintan|xxxxx dxuuuxu 由由于于微微小小横横振振动动：，而而为为斜斜率率，即即，)(,|1)(|:0:22121212次项的理解次项的理解作为非齐次方程的非齐作为非齐次方程的非齐单位质量上受的外力，单位质量上受的外力，其中其中 FfTafuauuFdxuTuTudxFdxuTuTyTTxxxttttxxdxxxttxxdxxx 这个方程不仅仅可以描述上述物理过程

14、，也可以这个方程不仅仅可以描述上述物理过程，也可以用来描述用来描述管道气体小扰动的传播、电报方程、均管道气体小扰动的传播、电报方程、均匀杆的纵振动、均匀薄膜的微小横振动（二维）、匀杆的纵振动、均匀薄膜的微小横振动（二维）、电磁方程（三维）等电磁方程（三维）等。薄膜振动问题薄膜振动问题222222)uuuTF xyttyx （ ， ， ），于是方程取形式：不随时间变化，故），（定状态，此时则薄膜处于一种平衡稳），（，即如果外力不随时间变化0ttuyxuyxFF2222( , )uuuF x yxy 0u Poisson 方程方程若若F( x, y )=0, 则有则有Laplace 方程方程热传导

15、问题热传导问题( , , )( , , , )研研究究对对象象：物物体体在在处处 时时刻刻的的温温度度x y ztu x y z tdtdsudQk(xyz)dsdtn 在在时时间间内内，流流过过曲曲面面的的热热量量， ， 其其中中， ，是是点点， ，处处的的热热传传导导系系数数。k( xyz )0( xyz )热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时， 有热量从高温处流向低温处。热场MSSVn傅里叶定律：在傅里叶定律：在导热导热现象中，单位时间内通过给定截现象中，单位时间内通过给定截 面的热量，面的热量，正比例正比例于垂直于该截面方于垂直于该截面方向向 上的温度变化率和上的温度变化率和

16、截面面积截面面积，而热量，而热量传传 递的方向则与温度升高的方向相反。递的方向则与温度升高的方向相反。12tt 任任取取一一闭闭曲曲面面 ，它它所所包包围围的的区区域域记记为为，从从 到到时时刻刻内内，由由于于热热传传导导流流入入此此闭闭曲曲面面的的热热量量为为dxdydzdtukGaussdsdtnuzyxktttt2121）（公式），（ 212ttFdvdtQtzyxFG ）。，（内内有有热热源源，其其强强度度为为设设物物体体热场MSSVn中温度变化时刻，到从21tt为体密度。为比热，其中c321QQQ 由由热热量量守守恒恒定定律律 2121ttttdvdttucdvdtFuk ）（即为即

17、为12ttuk uFct 由由于于、 、 的的任任意意性性，于于是是有有 （）),(1tzyxu),(2tzyxud321VQcu( x, y,z,t )u( x, y,z,t ) V温度发生变化需要的热量为：VttucVttdd21 21ddttVtVtuc cFfcKafuatuk ，其其中中为为常常数数，则则如如果果22uk uFct （）热传导方程热传导方程二阶抛物型方程二阶抛物型方程 满足方程的函数满足方程的函数u( x, t)称为方程的解，对于微分方程，称为方程的解，对于微分方程，仅仅满足方程还不够。还需要初始条件、边界条件。仅仅满足方程还不够。还需要初始条件、边界条件。 tu(0

18、,t )0()u(l,t )0u( x,0 )( x )()u ( x,0 )( x ) 两两端端固固定定边边值值条条件件 边边界界条条件件定定解解条条件件初初值值条条件件 初初始始条条件件二、定解问题二、定解问题xmmaf 如牛顿力学方程如牛顿力学方程 , ,是位移的二阶导数方程，是位移的二阶导数方程，若要确定以后的位移情况，需要知道某个时刻（初始时若要确定以后的位移情况，需要知道某个时刻（初始时刻）的位移、速度（位移一阶导数）。刻）的位移、速度（位移一阶导数）。对于具体的上述弦振动方程（称为泛定方程），对于具体的上述弦振动方程（称为泛定方程），x, t有其确定的物理意义，为空间、时间。有其

19、确定的物理意义，为空间、时间。定解问题定解问题= =泛定方程泛定方程+ +定解条件定解条件定解问题：边值问题，定解问题：边值问题， 初值问题（初值问题（Cauchy问题或无边界问题）问题或无边界问题） 混合问题。混合问题。xxu(0,t)(t)u (0,t)(t)u (0,t)hu(0,t)(t) 第第一一边边界界条条件件：三三类类边边值值条条件件：第第二二边边界界条条件件：第第三三边边界界条条件件：(t)(t)(t)若若，为为零零，称称为为齐齐次次边边界界条条件件。典型方程典型方程对流扩散方程对流扩散方程（Convection-Diffusion）2uUukuft 22222 ),(yxyx

20、U( x, y ),k( x, y )0, f ( x, y ) 其中其中类型：线性抛物型标量方程类型：线性抛物型标量方程2uUukuft 为：如果u1、温度、温度- 热量传输热量传输2、污染物密度、污染物密度-环境工程环境工程3、密度分布、密度分布-统计力学统计力学4、价格、价格- 金融工程金融工程5、.三、三、 数值求解微分方程的意义数值求解微分方程的意义 如果能找到一个（或一族）具有所要求阶连续如果能找到一个（或一族）具有所要求阶连续导数的解析函数，恰好使得方程（组）的所有条件导数的解析函数，恰好使得方程（组）的所有条件都得到满足，我们就将它称为这个方程（组）的都得到满足，我们就将它称为

21、这个方程（组）的解解析解（也称古典解）析解（也称古典解）。“微分方程的真解微分方程的真解”或或“微微分方程的解分方程的解”就是指解析解。寻找解析解的过程称就是指解析解。寻找解析解的过程称为求解微分方程。为求解微分方程。 微分方程的微分方程的解解在数学意义上在数学意义上的存在性可以的存在性可以在一般条在一般条件下得到件下得到证明证明，这已有许多重要的结论。但实际上人们，这已有许多重要的结论。但实际上人们更关注更关注某个定义范围内，对应某个定义范围内，对应某些特定解的取值或是近某些特定解的取值或是近似值似值- -这样一组数值称为这个微分方程在该范围内的这样一组数值称为这个微分方程在该范围内的数数值

22、解值解，寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。，寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。为什么要研究数值求解方法为什么要研究数值求解方法 1 1）在实际问题中我们所能获取的或感兴）在实际问题中我们所能获取的或感兴趣的，往往只是一个趣的，往往只是一个特定点上的数据特定点上的数据。如空间。如空间的温度分布只能一个点一个点地测定，火箭升的温度分布只能一个点一个点地测定，火箭升空传回的控制信息只能以某个确定的时间为间空传回的控制信息只能以某个确定的时间为间隔，一个个地发送和接受，如此等等。这些隔，一个个地发送和接受，如此等等。这些离离散点上的函数值散点上的函数值对于解决实际问题，已经足够对于解决实际问题

23、，已经足够了，寻找解析解的一般形式未必必要了，寻找解析解的一般形式未必必要。2）在很多情况下，）在很多情况下，寻找解析解不可能寻找解析解不可能。现。现实问题中归结的微分方程不满足解析解的存实问题中归结的微分方程不满足解析解的存在条件的比比皆是，方程中出现的有些函数在条件的比比皆是，方程中出现的有些函数连续性都无法保证，它们并不存在前述意义连续性都无法保证，它们并不存在前述意义的解析解。于是，求数值解便成了在这种情的解析解。于是，求数值解便成了在这种情况下解决问题的重要手段了。况下解决问题的重要手段了。3）即使微分方程的解析解存在，以并不意味即使微分方程的解析解存在，以并不意味可以将它表示为初等

24、函数可以将它表示为初等函数，如多项式、对数函，如多项式、对数函数、指数函数三角函数及它们的不定积分的有数、指数函数三角函数及它们的不定积分的有限组合形式限组合形式显式解显式解。事实上，有显式解的微分方程只占解析解存在事实上，有显式解的微分方程只占解析解存在的微分方程中的非常小的一部分。的微分方程中的非常小的一部分。u1-2tu u(0)0,22tt0u( t )eed 例例 : : 对对 于于 方方 程程它它 的的 解解 可可 以以 表表 示示 成成2x00,etu( t )我我们们知知道道的的原原函函数数是是无无法法用用初初等等函函数数表表示示的的，因因此此要要确确定定在在某某个个 时时刻刻

25、的的值值，还还是是必必须须数数值值计计算算积积分分值值。既既然然如如此此，为为什什么么不不一一开开始始直直接接使使用用数数值值方方法法来来解解呢呢？四、数值求解方法概述四、数值求解方法概述1 1）区域剖分区域剖分 把整个定义域分成若干个小块，以便对每把整个定义域分成若干个小块，以便对每小块上的点或片求出近似值，这样按一定规律小块上的点或片求出近似值，这样按一定规律对定义域分切的过程称为区域剖分。对定义域分切的过程称为区域剖分。2 2）微分方程的离散）微分方程的离散 区域剖分完毕后，依据原来的微分方程去区域剖分完毕后，依据原来的微分方程去形成关于这些形成关于这些离散点或片的函数值的递推公式离散点

26、或片的函数值的递推公式或方程或方程。这个步骤称为微分方程离散。这个步骤称为微分方程离散。3 3）初始和边界条件处理初始和边界条件处理 离散后系统若是一个递推公式，那它需要离散后系统若是一个递推公式，那它需要初值才能启动。若是一个方程组，那它所含的初值才能启动。若是一个方程组，那它所含的方程个数一般少于未知量的个数，要想求解还方程个数一般少于未知量的个数，要想求解还需要补充若干个方程。这些需要补充的初值和需要补充若干个方程。这些需要补充的初值和方程往往可以通过微分方程的初始条件和边界方程往往可以通过微分方程的初始条件和边界条件来得到，这就是初始和边界条件处理过程。条件来得到，这就是初始和边界条件处理过程。 4 4）离散系统的性态研究）离散系统的性态研究 我们主要研究：这个系统我们主要研究：这个系统是否可解，即解是否可解，即解的存在性、唯一性问题；的存在性、唯一性问题；它与精确解的差距有它与精确解的差距有多大，这个差距当区域剖分的尺寸趋于零时，多大，这个差距当区域剖分的尺寸趋于零时，是否也会趋于零，趋于零的速度多快，即是否也会趋于零，趋于零的速度多快，即解的解的收敛性和收敛速度问题收敛性和收敛速度问题；当外界对数据有所干；当外界对数据有所干扰时，所得的解是否会严重背离离散系统的固扰时，所得的解是否会