第5章地球物理中常用数值解法基本原理-有限元素法

1、计算地球物理地球物理与信息工程学院 物探系周 辉2014年第五章 地球物理中常用数值解法的基本原理有限元素法 内容第一节 几个基本概念第二节 边值问题的变分形式第三节 两点边值问题第四节 Ritz-Galerkin方法第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法第一节 几个基本概念 有限元法，实质上就是Ritz-Galerkin法。它和传统的Ritz-Galerkin法的主要区别在于，它应用样条函数方法提供了一种选取“局部基函数”或“分片多项式空间”的新技巧，从而在很大程度上克服了Ritz-Galerkin法选取基函数的固有困难。 有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力学，以后又用于流体力学、物理学和

2、其它工程科学。有限元法和差分法一样，已成为求解偏微分方程，特别是椭圆型偏微分方程的一种有效数值方法。 伽辽金（Galerkin）法是由俄罗斯数学家伽辽金发明的一种数值分析方法。应用它可以将求解微分方程问题（通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题，从而达到求解微分方程的目的。 伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。 必须强调指出的是，伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解。

3、 第一节 几个基本概念有限元法的基本问题可归纳为：（1）把问题转化成变分形式；（2）选定单元的形状，对求解域作剖分；（3）构造基函数或单元形状函数；（4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）；（5）提供有限元方程的有效解法；（6）收敛性及误差估计。 第一节 几个基本概念第一节 几个基本概念 测度：有界开集和有界闭集的测度是区间长度的直接推广。 E是有界集存在常数M，使对任意的12( ,)nxx xxE，都有|(1,2, )ixM in. 有界集 E 的外测度*11inf,iiiim EIIE， inf表示最左边的意思。 有界集 E 的内测度有界集 E 所包含的一切有界闭集的测度的上

4、确界，称为 E 的内测度，记为*m E。上确界表示最右边的意思。 可测集设 E 是有界点集，当 E 的内测度 m*E = E 的外测度 m*E 时，称 E 为勒贝格可测集，简称 L 可测集。 可测函数： 设 f x是可测集 E 上的函数， 若对于任意实数 a，集合 E x f xa也是可测集，则称 f x是可测函数。 m*(E)=infG|E包含于G且G为开集，此乃外测度。m*(E)=supF|E包含F且F为闭集，此乃内测度。从外面测，用一个最小的集合来套它，从内部测，用一个最大的集合来充填它。无论内外力求严丝密缝。第一节 几个基本概念泛函：简单地说， 泛函就是定义域是一个函数，而值域是一个实

5、数， 推广开来， 泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。 设y(x)是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数 y(x) 恒有某个确定的数与之对应，记为 (y(x)，则(y(x)是定义于集合y(x)上的一个泛函。 泛函也是一种“函数”， 它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。 抽象空间中定义的函数。 第一节 几个基本概念距离空间： 设 R 为一个非空集合，对于 R 中的任意一对元素 x，y，若有一个确定的实数, x y满足 1）0, x y（非负性） ，当且仅当 x=y 时取等号； 2）,x yy x（对称性） ； 3）若, ,x y zR，则必有,x

6、 yy zx z（三点不等式） ， 则, x y称为 x，y 之间的距离，R 称为距离空间。 设 f x是距离空间X到1R(数轴)的映射，则称 f x为泛函。 第一节 几个基本概念线性空间： 设 k 是实（或复）数域，若下列条件成立，便称 X 为一实（复）线性空间： 1）可以在集合 X 中定义加法运算，即对任何, ,x y zX，则 xyX，且满足xyyx（交换律） ， zxxyyz（结合律） ； 2）对任何,k ，, x yX，定义数乘，即xX，且满足 xxx; xx ; xyxy; 1 xx; 3）在 X 中存在零元素，记为“0” ，它满足 0 xx 4）对每个xX，存在 x 的加法逆元素

7、，记为“-x” X，使0 xx 第一节 几个基本概念线性赋范空间： 设 X 是线性空间，若对其中任一元素xX,可以引入一个与之对应的数，记为x，它满足以下条件： 1）0 x（非负性） ，等号只在0 x 时成立； 2）xx（正齐次性） ，为绝对值或模； 3）xyyx（三角不等式） 称x为 x 的范数，称 X 为线性赋范空间。 在线性赋范空间中，可以用范数定义距离： 若, x yX,则, x yxy 第一节 几个基本概念内积空间： 设 H 是实数域 R1上的线性空间， 若对其中任意元素, x yH,可以定义一个实数，记为x y，它满足以下四条公理： 1）aax yx y（1aR的任意实数） ； 2

8、）,zzHxyy zx z； 3）x yy x（在复线性空间中为x yy x） ； 4）0 x x，等号当且仅当 x=0 时成立， 则称x y为 x 与 y 的内积，称 H 为内积空间。 范数xx x 第一节 几个基本概念完备空间： 完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间： 空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。 在数学中，一个柯西序列是指，其元素随着序数的增加而愈发靠近。柯西序列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间中柯西列才有意义。 例子：有理数空间不是完备的，因为2的有限位小数表示是一个柯西序列，但

9、是其极限2不在有理数空间内。 实数空间是完备的，开区间(0,1)不是完备的。 正交系全在某空间中，则该空间为完备空间。 Hilbert 空间: 完备的内积空间。 第一节 几个基本概念Lebesque（勒贝格）积分：设 yf x是在集合,Ea b上的有界函数，它的值域是,A B。 在,A B中插入分点 012nAyyyyB， 考虑集合 1kkkex yf xy，它是 E 的子集。 （1） 所有12,ne ee互不相交 （2） 12nEeee （3） 对每个ke可求出它的测度，记为kme （4） 1nkkmEme xyabABekyk-1ykek第一节 几个基本概念引入勒贝格积分和 1nnkkkT

10、me，1,kkkyy 再考虑大和与小和111,nnnkknkkkkSy mesyme 它们都是有界的，且 nnnsTS, 11nnnkkkkSsyyme 令1maxkkklyy，于是对任意 n，nnSsl mE ，从而 ,nnS s有共同的极限，记为S，按11nnnkkkkSsyyme知 ，nT也 有 极 限S。 仍 用 积 分 符 号 ESf x dx。 将 ESf x dx定义的积分称为 f x在点集,Ea b上的勒贝格积分。 勒贝格积分不要求被积函数连续（与黎曼积分不同） 。 第一节 几个基本概念L2空间 由全体勒贝格平方可积函数（存在积分的函数）组成的完备的函数空间。 它为线性空间、完

11、备空间。 第一节 几个基本概念第二节 边值问题的变分形式 数学物理中的变分原理，有重要的理论和实际意义，也是构造微分方程数值解法的基础。为了便于理解一般形式的变分原理，先以二次函数的极值问题为例，介绍变分问题的基本概念和方法。 2.1 二次函数的极值 在 n 维欧氏空间 中nR12,.,Tn y 边值问题的变分形式（变分法就是求泛函极值的方法。变分问题就是求泛函的极值问题。） 2.1 二次函数的极值 考虑 n 个变量的二次函数定义 x, y 的内积为 F(x) 在 处取极值的必要条件第二节 边值问题的变分形式令若A 对称,则 则二次函数 J(x)于 x0取极值的必要条件是：x0是线性代数方程组

12、 Axb 的解。 2Ax0b 第二节 边值问题的变分形式2.1 二次函数的极值 定理 1 设矩阵A对称正定，则下列两个问题等价： （1）求0nRx使 00minnRJJxxx, （2）求方程组 Axb 的解。 称为nR上的二次泛函或简称泛函数。 定理 1 表明，在矩阵 A 为对称正定的条件下，若0 x是极值问题 00minnRJJxxx的解，则它也是线性方程组 Axb 的解；反之亦然。 正定：设A是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量x都有xTAx0，就称A正定。 泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。 第二节 边值问题的变分形式2.1 二次函数的极值 为了确定并计算0 x，可采取两种不同的

13、途径： 一种是求方程组 Ax=b 的解， 另一种是求泛函数 J x的极小值所对应的 x。 求泛函J(x)的极小更有意义：（）因为许多数学物理问题，其直接的数学形式就是求意义更广的“二次泛函”的极小值，只是对解作了某些“光滑性”假设之后，才归结到微分方程；（）即便是熟知的微分方程边值问题，也宁愿把它化为某一“二次泛函”的极小值问题，因为从极值问题出发建立数值解法往往更灵活方便。 第二节 边值问题的变分形式2.1 二次函数的极值 第三节 两点边值问题3.1 两点边值问题弦的平衡 用 u x表示在荷载 f(x) 作用下弦的平衡位置，它满足 T 是弦的张力（假定是常数） 强迫振动方程：2222,uuT

14、fx ttx,为弦的线密度 由力学的“极小位能原理” ，弦的平衡位置（记为 *uux）是在满足边值条件的一切可能位置中，使位能取最小者。设弦处于某一位置 u x，计算它的位能(21,2WT为伸缩率): 外力作功 应变位能 3.1 两点边值问题弦的平衡 第三节 两点边值问题总位能 根据极小位能原理， *uux是下列变分问题的解： *minuJ uJ u 3.1 两点边值问题弦的平衡 第三节 两点边值问题（）两点边值问题二者之间应具有某种等价关系。 根据极小位能原理， *uux是下列变分问题的解： *minuJ uJ u 3.1 两点边值问题弦的平衡 确定弦的平衡位置，有两个不同形式的数学问题：（

15、）变分问题第三节 两点边值问题为了精确地表述变分问题，必须指出 J u在哪一个函数类里取极小，即要给出 u 属于哪一个函数空间。从位能的计算公式看出，为使积分有意义，必须对 u，f 作必要的限制。但又不能限制过严而把取极小值的函数 *uux排斥在外。因此，适当地选取函数空间十分重要。这样的空间称为 Sobolev（索波列夫）空间。 设,Ia bIa b。用 2LI表示由定义在 I 上的平方可积的可测函数组成的空间，内积和范数分别为 3.1 两点边值问题弦的平衡 第三节 两点边值问题 2LI关于“加法”及“数乘”运算是线性空间，关于（， ）是完全内积空间，因此 2LI是 Hilbert（希尔伯特

16、）空间。 定义 f 是f的广义导数。 1HI是线性空间。于 1HI引进内积 和范数 1HI是完全内积空间， 因此是 Hilbert 空间， 称之为 Sobolev （索波列夫）空间。 3.1 两点边值问题弦的平衡 第三节 两点边值问题广义导数：用 0CI表示于 I 无穷次可微，且在端点 a，b 的某一邻域内（邻域大小与具体函数有关）等于零的函数类。对于任一于, a b一次连续可微的函数 f x和任意 0CI，用分部积分法，恒有 利用上式推广导数的概念。设 2fLI，若存在 2gLI，使 恒成立，则说 fx于 I 有广义导数 g x，记为 3.1 两点边值问题弦的平衡 第三节 两点边值问题若 2

17、,f xL a b有通常意义下的导数 fx，则 fx也是 f x在广义意义下的导数，相反的结论则不一定成立。 f xx在1,1内按通常导数意义下是不可微的。 但对任意的 01,1xc则有 10111001110111xx dxxx dxxx dxx dxx dxg xx dx 1,101,01xg xx 为 f xx的广义导数。 3.1 两点边值问题弦的平衡 第三节 两点边值问题从位能的表达式 看出，当 01,fHIuHI时，位能 J u恒有意义。此外，u 还应满足边值条件。 1HI中所有满足齐次边值条件的函数类构成 1HI的子空间， 记为 10HI或10H。10H就是所要找的函数空间。现在可

18、将变分问题 *minuJ uJ u精确地叙述为：求1*0uH使 10*minu HJ uJ u 3.2 两点边值问题极小位能原理 第三节 两点边值问题进一步分析位能 J u的结构。 引进微分算子(算子是表示一种对函数的运算的符号)22d uLuTdx ， 则 22Inner200111,222lld uduLu uTudxTdxWdxdx Out0,lWf ufudx 。 于是总位能 1,2J uLu uf u= = 3.2 两点边值问题极小位能原理 #第三节 两点边值问题 ,000,0Tufxxluu l 用满足上述边值条件的任意函数 v x乘上式的第一式，并在区间0,xl上积分 00220

19、00000,0lllllllTu vdxfvdxududu dvdu dvTvdxT vTdxTdxxdxdx dxdx dxdu dva u vTdxdx dxa u vf v 3.2 两点边值问题虚功原理 第三节 两点边值问题 ,000,0Tuf xxluu l 20011,1122,22,llduLu uTdxdxLu ua u udu dva u vTdxdx dx ,0a u vf v （虚功原理） 11,22J uLu uf uaf uu u （最小位能原理） 3.2 两点边值问题虚功原理 第三节 两点边值问题 (p-一次连续可微函数) 以满足上式边值条件的 v 乘微分方程两端，沿

20、区间, a b积分 利用分部积分和关于 u，v 的边值条件，则 3.2 两点边值问题虚功原理 第三节 两点边值问题 以此代入到积分式，得 ,0a u vf v 边值问题的变分形式 ,a u v对 u、v 都是线性的，称为双线性泛函或双线性形式。 3.2 两点边值问题虚功原理 第三节 两点边值问题3.2 两点边值问题虚功原理 第三节 两点边值问题 定义：设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，映射 f：VV 上的二元函数， 即对,V ， 根据 f 唯一地对应于 P 中一个数,f ，如果,f 具有性质： （1）11221122,fkkk fk f （2）11221122,f kkk fk f 其

21、中121212,V k kP 则,f 成为 V 上的一个双线性函数。 定理 2 设2uC，则 u 是边值问题 的解的充要条件是：对任意1EvH，1EuH且满足变分方程 ,0a u vf v(*) 1EH为1H中满足左边界条件 0u a 的函数组成的子空间。 在力学里， （*）左端表示虚功，所以也称定理 2 为虚功原理。当 u是边值问题的古典解时，它也是变分方程（*）的解。像位能原理一样，变分方程(*)还允许非古典解，这样的解为边值问题的广义解。 虚功原理比位能原理更具有一般性。 3.2 两点边值问题虚功原理 第三节 两点边值问题 Ritz-Galerkin (利兹伽辽金)方法是最重要的一种近似

22、解法， 它是有限元法的基础。 用 V 表示10H，1EH，1H等 Sobolev 空间，0HH是2L空间。L 代表微分算子。,a u v是由 L 及边值条件决定的双线性形式，它由,Lu v经过分部积分并代入边值条件后得到。得出,a u v的表达式后，,u v就无需满足自然边值条件（ 0ub）了，但本质边值条件（u(a)=0）仍需满足，就是说，,u v应属于空间 V。 一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。 第四节 Ritz-Galerkin方法,a u v是对称正定双线性形式，即满足 ,a u va v u，

23、对任意,u vV 21,a u uu， 对任意uV ,a u v还满足连续性条件 第四节 Ritz-Galerkin方法 设2fH L，二次泛函 1,2J ua u uf u 边值问题Luf等价于求uV，使 minu VJ uJ u 这就是极小位能原理。 边值问题的另一变分形式是：求uV，使 ,a u vf v，对任意vV都成立， 这就是虚功原理。 第四节 Ritz-Galerkin方法 变分问题 minu VJ uJ u和通常的极值问题比较，主要困难是在无穷维空间V上求泛函的极小值。Ritz-Galerkin 方法的基本思想在于用有穷维空间近似代替无穷维空间， 从而化成求多元二次函数的极值问

24、题。关键是如何选取有穷维空间。 第四节 Ritz-Galerkin方法 设nV 是V的n维子空间，12,.,n 是nV 一组基底，称为基函数。nV 中任一元素nu 可表为 (*) Ritz 法的目标是：选取系数ic ，使nJ u取极小值。注意 1,2nnnnJ ua uuf u 是12,.,nc cc 的二次函数，,ijjiaa 。 第四节 Ritz-Galerkin方法令 这是线性代数方程组，求出ic 后，代到 就得出近似解nu 。 这是 Rize 法。Ritz 法求得的nu 在空间nV 是最佳的，就是说，在nV 中的所有元素中，nu 使 J u 达到极小值。 第四节 Ritz-Galerk

25、in方法Galerkin 法也是求形如 的近似解，但要求系数ic 使nu 关于nvV满足 或（取） 这 和 Ritz 法 导 出 的 方 程 组 相 同 ， 习 惯 上 称 其 为Ritz-Galerkin 方程。 第四节 Ritz-Galerkin方法 尽管 Ritz 法和 Galerkin 法导出的近似解及计算方法完全一样，但二者的基础不同。Ritz 法基于极小位能原理，而Galerkin 法基于虚功原理，所以Galerkin 法较Ritz 法应用更广，方法推导也更直接。仅当,a u v 对称正定时，两者才一致；否则，只能用 Galerkin 法，而不能用 Ritz法。Ritz 法的优点是

26、：力学意义更明显（尤其是特征值问题） ，理论基础比较容易建立。 第四节 Ritz-Galerkin方法实际应用中， 用 Ritz-Galerkin 法求解会遇到许多原则性的困难。主要有： （1）基函数的选取。基函数必须满足本质边界条件。在有限元法出现前，通常选代数或三角多项式为基函数，除特别规则的区域外，满足边值条件是困难的。 （2）Ritz-Galerkin 方程的形成。这需要大量的积分，计算量可观。 （3） 求解 Ritz-Galerkin 方程。 按传统取基函数的方法，方程组的条件数很大，数值不稳定。系数矩阵不稀疏，计算量和内存需求量大。 上世纪五十年代发展起来的有限元法， 提供了一种选

27、取基函数的新方法， 克服了传统的 Ritz-Galerkin 方法的困难。 第四节 Ritz-Galerkin方法第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法 其中 ,Ia b。从 Ritz 法和 Galerkin 法两种观点出发，导出解此问题的线性有限元法。 5.1 解一维问题的线性元 有限元法的基本问题可归纳为：（1）把问题转化成变分形式最小位能原理、虚功原理；（2）选定单元的形状，对求解域作剖分；（3）构造基函数或单元形状函数；（4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）；（5）提供有限元方程的有效解法；（6）收敛性及误差估计。 5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限

28、元法对求解区间进行网格剖分，节点为 相邻节点1,iixx之间的小区间1,iiiIxx称为单元， 其长度为1iiihxx。 在 Sobolev 空间 1EHI 内按下列原则取子空间hV（下标maxiihh） ：它的元素 hux 在每一单元上是次数不超过某一正整数 m 的多项式，在全区间,Ia b上属于函数空间 1EHI ，就是说， 1huxHI且 0hua 。这是有限维空间，称hV 为试探函数空间， hhuxV为试探函数。 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法最简单的试探函数空间hV 是由分段线性函数组成的，它由节点上的一组值 按线性插值公式 确定。它为

29、单元形状函数。 Ii 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法为使按段插值标准化，通常用仿射变换(由一个线性变换接上一个平移组成) 把iI 变到轴上的参考单元0,1。令 则 因为 hux 的自由度是 n，故hV是 n 维线性空间。 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法将 代入 得 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法利用变换 得 令 就得到确定12,.,nu uu 的线性代数方程组，称之为有限元方程。 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有

30、限元法在工程计算中，并不是直接由 形成有限元方程，而是分析每一单元的局部二次形及单元矩阵，力学上称为单元刚度矩阵；再由单元刚度矩阵形成总矩阵，称为总刚度矩阵。刚度矩阵分析法比较灵活，程序也易实现。 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法考察 右端第一个求和号内的第 i 项 （对应第 i 个单元） ， 它是1,iiuu的二次形，可写成 ,， 而 单元刚度矩阵。 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法 212111011022111101222210110110221, 111, 11,122222iiiiiiiiii

31、iiiiiiiiiiiiiiTiiiiiiiiiiiii iiii iiuup xhhq xhNuNudhuuuup xhdhhNuNNuuNuq xhdKauaau ua uuu 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法 221, 111, 11,1121, 110100111,1011001, 110110122122122Tiiiiiiiiiiiii iiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiKauaau ua uhap xhdNq xhdhhap xhdNNq xhdhhap xhdNNq xhh uu 10112,11

32、100122iii iiiiiidhap xhdNq xhdh 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法如果把 iK扩展成nn矩阵，第1i 行、第 i 行和第1i 列、第 i 列交叉位置的元素就是上面的四个元素， 其余元素全是零。记向量 12,.,Tnu uuu，则可写成 于是hJ u右端第一个和式等于 其中 就是总刚度矩阵。同样可以处理hJ u的其它项。 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法 1122111,11,1,1100000000000000000000000000000000TiiiiiiiiiiiTi

33、iiii ii iiinnuuuuuuaaKuuaauuuuuu i-1ii-1i 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法112211111,111111,1,100000000000000000000000000000000TiiiiiTiiiii ii iiiiiiiiinnuuuuuuKuuaauuaauuuu ii+1ii+1 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法(1)1,1(1)1,2(1)2,1(1)2,2(2)2,2(2)2,3(2)3,2(2)3,3(3)3,3(3)3,4(3)4,3(3)4,4

34、( )1,1nnn( )1,nnn( ),1nn n( ),nn n(1)1,1nnnK= 有限元方程为 11,22TTJAAxx xb xxxx b 从Ritz法出发5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法现在从 Galerkin 法（基于虚功原理）出发推导有限元方程。为此需要构造出试探函数空间hV 的一组基底。同一空间hV ，可取各种不同基底，但并非任一组基底对实际计算都是可取的。 从Galerkin法出发 5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法在单元iI 、1iI考察线性插值公式 及iu 的系数，对每一节点ix 构造山形函数： 显然12,.,

35、n 线性无关，它们组成hV 的基底。 从Galerkin法出发 5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法 IiIi+1 1ix 1ix 从Galerkin法出发 5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法任一hhuV可表成 与边值问题相应的双线性形式为(,0a u vf v) 从而 Galerkin 方程为（v 取,1,2,.,jjn） 当2ij时，0ij ， 系数矩阵第 j 行只有三个非零元素。 从Galerkin法出发 5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法 若借助仿射变换及0,1上的标 准山形函数 则对1,2,.,1in，

36、 1N01 0Nxi-1xixi+1 ix01 从Galerkin法出发 5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法当2ij时，0ij ，系数矩阵第 j 行只有三个非零元素。 的系数矩阵就是总刚度矩阵（与i定义在1,iiI I上有关） 。 按 Galerkin 方法推导有限元方程更加方便直接。尤其重要的是，因为它基于虚功原理，所以不但可用于保守场问题，也可用于非保守场及非驻定问题。 一般用数值积分方法计算，例如Gauss求积法。 从Galerkin法出发 5.1 解一维问题的线性元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法为了提高有限元法的精度，需要增加hV 的维数。 一是加密网

37、格，节点参数 iu增加； 二是增加分段多项式的次数，即高次元。引进高次元是有限元法的重要技巧。 高次元在每一单元上增加自由度。 Lagrange 型插值：在单元内部增加插值节点； Hermite 型插值：在节点处引进导数。 在整个区间，插值函数要有一定的光滑度，以保证双线性形式有意义。 5.2 解一维问题的高次元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法二次元拉格朗日插值 在每一单元上是二次多项式，在单元节点处连续。 自由度是 3，应给三个插值条件：在端点和终点处取指定值，在每一单元中点增设了一个自由度。 基函数分两类：对应节点、对应单元中点。 先在区间0，1构造二次多项式 0N，满足插值条件： 由

38、 001N，确定 c2， xi-1xixi+1 0N5.2 解一维问题的高次元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法二次元 用 消去，得 这是 ix的右半支。若用ih替换1ih，即得它的左半支。总之 11111111211 ,211 ,0,othersiiiiiiiiiiiiihxxhxxxxxxhxxhxxxx x 5.2 解一维问题的高次元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法二次元 其次，构造二次多项式 12N满足插值条件： 用 消去，得 5.2 解一维问题的高次元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法二次元 以所有12,ii 为基底，张成二次元试探函数空间hV。任一hhuV可唯一地表示成 5

39、.2 解一维问题的高次元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法Lagrange 型公式 单元剖分：为简单起见，假定区域 G 可以分割成有限个矩形的和， 且每个小矩形的边和坐标轴平行。 任意两个矩形，或者不相交，或者有公共的边或公共的顶点。 把每一个小矩形叫作单元， 称如此的分割为矩形剖分。 5.3 解二维问题的矩形元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法Lagrange 型公式 构造试探函数：,hux y （h 为单元的最大直径）在每一单元上是多项式称为单元形状函数， 在相邻单元之间有一定的光滑性。由单元形状函数就可构造试探函数。 5.3 解二维问题的矩形元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法Lagrange 型公式 任意一个矩形 ,;,;ijiijjiijjjRx xx yyyxxxx yyyy 通过仿射变换 总可变成单位正方形0,1;0,1II。 如果在II上造出了形状函数，再通过仿射变换就得到ijR上的形状函数。 ,;,ijiijjRx xx yyy5.3 解二维问题的矩形元 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法Lagrange 型公式 II上最简单的形状函数是双线性函数 其系数由四个顶点上的值00011011,uuuu决定。 采用一维山形函