第2章波动2(能量惠更斯原理)

1、12 波的能量波的能量 一、机械波的能量一、机械波的能量 能量密度能量密度 二、能流二、能流 三、能流密度三、能流密度 波的强度波的强度2一、机械波的能量一、机械波的能量 能量密度能量密度1. 机械波的机械波的能量能量每个质元振动所具有的动能每个质元振动所具有的动能每个质元形变所具有的势能每个质元形变所具有的势能之和之和2. .能量密度能量密度 波场中单位体积的能量波场中单位体积的能量PKwwVWwdmdVmd33. .细棒中机械纵波的能量密度细棒中机械纵波的能量密度如图示：如图示：xSx位移位移形变形变质量质量Vm质元振动的动能质元振动的动能222121tVmWK221KWP质元形变势能质元

2、形变势能K ？xx4xSFYxYSK221xYSWP221xVY222121xYtVWw KF由弹性力关系式由弹性力关系式和纵波杨氏模量和纵波杨氏模量则形变势能可写成则形变势能可写成能量密度能量密度5kxtAcoskxtKYAkxtAVWw222222sin21sin21kxtAw222sin如果细棒中传播的是平面谐波如果细棒中传播的是平面谐波则波的表达式为：则波的表达式为：细棒纵谐波的能量密度细棒纵谐波的能量密度222KYu由由PKww 得得222121xYtVWw6PKwwkxtAw222sin讨论讨论2） 机械谐波机械谐波w最大值出现在形变最大处最大值出现在形变最大处3）平均能量密度）平

3、均能量密度220211AtwTwTd2Aw 1）适用于各种谐波适用于各种谐波dmdVmd普适结论普适结论（细棒纵波）（细棒纵波）7二、能流二、能流( (瞬时功率瞬时功率) ) 1.能流能流 单位时间内通过某面积的能量单位时间内通过某面积的能量xxSttWPtxwSwSuwuSP )(sin)(222kxtAuStPSuASuwP22212.平均能流平均能流定义式定义式对细棒纵谐波对细棒纵谐波SuwP 8三、能流密度三、能流密度( (功率密度功率密度) ) 波的强度波的强度 1.能流密度能流密度 单位时间内垂直通过单位面积的能量单位时间内垂直通过单位面积的能量 即通过单位面积的能流即通过单位面积

4、的能流wuSPuwSPI2.平均能流密度（也称波的强度）平均能流密度（也称波的强度）9wuSP)(sin222kxtuAuwSPI2221Au1. 任意谐波任意谐波2AI 2AI uZ2. 机械波的特性阻抗机械波的特性阻抗两介质比较两介质比较 Z 较小者称波疏介质较小者称波疏介质 Z 较大者称波密介质较大者称波密介质光波：折射率较大者称光密介质光波：折射率较大者称光密介质对细棒中的纵谐波对细棒中的纵谐波讨论讨论103 惠更斯原理惠更斯原理 一、惠更斯原理一、惠更斯原理 二、惠更斯原理的应用二、惠更斯原理的应用 三、入射波三、入射波 反射波反射波 折射波的折射波的 振幅关系和相位关系振幅关系和相

5、位关系11一、一、惠更斯原理惠更斯原理1.物理上的定性和半定量方法物理上的定性和半定量方法实际：实际：一些理想模型可以写出漂亮的方程一些理想模型可以写出漂亮的方程（如平面谐波）（如平面谐波） 但但 大多数情况是很难写出波动方程的大多数情况是很难写出波动方程的所以物理上通常采用所以物理上通常采用定性定性和和半定量半定量的方法的方法加以补充（实际上是相当重要的补充）加以补充（实际上是相当重要的补充）要解决波的传播问题要解决波的传播问题原则：原则：列出波动方程列出波动方程 然后解方程然后解方程 从而得到运动的表述从而得到运动的表述12惠更斯原理就是非常成功的定性和半定量方法惠更斯原理就是非常成功的定

6、性和半定量方法 1678年惠更斯提出：简洁的作图法定性解决年惠更斯提出：简洁的作图法定性解决了波的传播问题了波的传播问题 称惠更斯原理称惠更斯原理 菲涅耳菲涅耳在光学方面做了重要发展在光学方面做了重要发展 称称惠菲原理惠菲原理 经经基尔霍夫基尔霍夫在数学上描述在数学上描述 发展成发展成“光传播光传播”的重要计算手段的重要计算手段 所以说：在研究波的传播问题中所以说：在研究波的传播问题中 波动方程和惠更斯原理波动方程和惠更斯原理 同等重要同等重要 相互补充相互补充132、惠更斯原理惠更斯原理基本内容：基本内容：子波概念子波概念 波面上任一点都是新的振源波面上任一点都是新的振源 发出的波叫子波发出

7、的波叫子波子波面的包络线子波面的包络线 - - 新波面新波面 t 时刻各子波波面的公共切面（包络面）时刻各子波波面的公共切面（包络面）就是该时刻的新波面就是该时刻的新波面作用：已知一波面就可求出任意时刻的波面作用：已知一波面就可求出任意时刻的波面14t+ t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面 t + tut 在各向同性在各向同性介质中传播介质中传播例：例：15二、惠更斯原理的应用二、惠更斯原理的应用1.原理给出：原理给出：一切波动都具有衍射现象一切波动都具有衍射现象衍射衍射-偏离原来直线传播的方向偏离原来直线传播的方向 所以：所以：衍射是波动的判据衍射是波动的判据1

8、6衍射是否明显？衍射是否明显？视衍射物（包括孔、缝）的线度与波长相比较视衍射物（包括孔、缝）的线度与波长相比较对一定波长的波对一定波长的波 线度线度小小衍射现象衍射现象明显明显 线度线度大大衍射现象衍射现象不明显不明显入射波入射波平面波平面波入射波入射波平面波平面波衍衍射射物物衍衍射射物物平面波平面波经小孔经小孔衍射成衍射成球面波球面波17水波通过窄缝时的衍射水波通过窄缝时的衍射18广播和电视广播和电视哪个更容易哪个更容易收到收到? ?更容易听到男更容易听到男的还是女的说的还是女的说话的声音？话的声音？障障碍碍物物衍射：受限的尺度与波长相比衍射：受限的尺度与波长相比192.用惠更斯作图法导出了

9、光的折射定律用惠更斯作图法导出了光的折射定律 历史上说明光是波动历史上说明光是波动 作图步骤：作图步骤：u2 t媒质媒质1折射率折射率n1 1媒质媒质2折射率折射率n2 2i法线法线B入射波入射波A ECu1 1u1 tFDu2 2折射波传播方向折射波传播方向r20iACtuBCsin1rACtuADsin221sinsinuurirninsinsin21折射定律折射定律12sinsinnnri2211ucnucn，绝对折射率定义绝对折射率定义即即u2 t媒质媒质1折射率折射率n1 1媒质媒质2折射率折射率n2 2i法线法线B入射波入射波A ECu1 1u1 tFDu2 2折射波传播方向折射波

10、传播方向r导出折射定律导出折射定律得得2121sinsinuuri如果第如果第1介质是空气介质是空气 第第2介质是水介质是水实验结果：实验结果：折射角小于入射角折射角小于入射角结论：结论：光在空气中传播的速度大于水中的速度光在空气中传播的速度大于水中的速度后来光速测量说明了上述结论的正确后来光速测量说明了上述结论的正确历史表明：历史表明：惠更斯原理给出了光的波动说惠更斯原理给出了光的波动说历史上介入了关于光的本性认识的争论历史上介入了关于光的本性认识的争论由由22即讨论边界两侧波的振幅和相位关系即讨论边界两侧波的振幅和相位关系界面界面222111uZuZxo o三、入射波三、入射波 反射波反射

11、波 折射波的折射波的 振幅关系和相位关系振幅关系和相位关系入射波入射波反射波反射波透射波透射波231.推导步骤（注意思路，记住结论）推导步骤（注意思路，记住结论）波的表达式波的表达式设：入射波、反射波、透射波表达式如下设：入射波、反射波、透射波表达式如下0111xeeAtixik0)(1111xeeAtixki0)(2222xeeAtixki222k112k注意，入射波在坐标原点（交界注意，入射波在坐标原点（交界 x =0）处）处 初相初相 1024由边界条件给出关系由边界条件给出关系由由振动位移连续振动位移连续条件条件02011xx由应力连续由应力连续条件条件02011xxSFSFSF再利用

12、关系再利用关系uZkuYuxSFY有式有式)1 (21211iieAeAA有式有式)2()(2122111iieAZeAAZ25关系式关系式21112212111221ZZZeAAZZZZeAAii2.相位关系相位关系方程右端是实数方程右端是实数 21iiee只能是实数只能是实数)2()(2122111iieAZeAAZ)1 (21211iieAeAA0sin0sin21要求要求0,21或或结果：结果：2621112212111221ZZZeAAZZZZeAAii反射波反射波透射波透射波02波密波密波疏波疏波疏波疏 波密波密注意到注意到 入射波在界面的相位入射波在界面的相位01从从波疏向波密波

13、疏向波密介质入射的介质入射的反射波反射波相位有相位有 的突变的突变从从波密向波疏波密向波疏介质入射的介质入射的反射波反射波相位不变相位不变0121ZZ121ZZ结论：结论：在界面处在界面处透射波透射波在任何情况下相位都不变在任何情况下相位都不变（与入射波同）（与入射波同）27A1A 1A2入射波入射波反射波反射波透射波透射波媒质媒质1 (Z1小小)媒质媒质2 (Z2大，大，Z2 = 2Z1)界面界面A 1 = -(1/3)A1， R = 1/9A2 = (2/3)A1， T = 8/9 入射波入射波反射波反射波透射波透射波媒质媒质1 (Z1大，大，Z1 = 2Z2)媒质媒质2 (Z2小小)界面界面A1A 1A2A 1 = (1/3)A1， R = 1/9A2 = (4/3)A1， T = 8/9 脉冲波在界面处的反射和透射脉冲波在界面处的反射和透射 形象说明：形象说明：283.振幅关系振幅关系211122121112ZZZAAZZZZAA4.光波情况光波情况21nn光波光波光从光疏介质入射光密介质光从光疏介质入射光密介质反射光的反射光的电矢量电矢量在反射处相位有在反射处相位有 的的突变突变通常称为通常称为半波损失半波损失21nn29例例 已知入射波的表达式已知入射波的表达式 写反射波的表达式写反射波的表达式2211uuxobSI2coskxtA入若全反射若全反射AArl2