导数最值的分类讨论第三节

1、函数的最值二函数的最值的分类讨论 求函数在 1，的最大值。 2xax求函数f 在 1，2 的最小值。一.函数的最值的分类讨论 14403xxa求函数f在0，a的最大值和最小值。 2xax求函数f 在 0，2 的最大值。 axf xx eaf xf x22004湖南理 已知函数,其中0.1.讨论函数的单调性；2.求函数在 0，1 的最大值。323( )20, 1,12f xaxxa求，在上的最大值和最小值 23( )1,0,1( )1,2( )- -1f xaxag xxbxf xg xcf x g x2012北京高考已知函数若曲线y=与曲线y=在它们的交点处具有公共切线，求a,b的值;当时求函

2、数+的单调区间，并求其在区间，的最大值。总结：用导数讨论含参数的函数的最值的步骤和方法。总结：用导数讨论含参数的函数的最值的步骤和方法。v（1）求导数；）求导数；v（2）令导数等于零解方程，（讨论方程的形式，方程是否有根，）令导数等于零解方程，（讨论方程的形式，方程是否有根，根是否在给定区间内）；根是否在给定区间内）；v（3）当方程无根或者根不在区间内时，导数在区间恒大（小）当方程无根或者根不在区间内时，导数在区间恒大（小）于零于零 ，函数在区间内是单调函数，利用单调性求最值。，函数在区间内是单调函数，利用单调性求最值。(4)当根在区间内时，列表判断确定极值。当根在区间内时，列表判断确定极值。

3、如果在根的如果在根的左正右负左正右负, 那么那么f(x)在这个根处取得极大值在这个根处取得极大值;如果根的如果根的左负右正左负右正,那么那么f(x)在这个根处取得极小值在这个根处取得极小值.或者用穿针或者用穿针引线法引线法画出导数的符号草图画出导数的符号草图，根据图象判断极值，根据图象判断极值 ，增，增区间的零点是极小值减区间内的零点是极大值。区间的零点是极小值减区间内的零点是极大值。（5）求出极值和端点函数值比较大小（不能确定时要讨论），）求出极值和端点函数值比较大小（不能确定时要讨论），确定最值。确定最值。典型例题典型例题 5 已知函数已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a 0) 是是

4、 R 上的奇函数上的奇函数, 当当 x=1 时时, f(x) 取得极值取得极值 - -2. (1)求求 f(x) 的单调区间和极大值的单调区间和极大值; (2)证明证明: 对任意对任意x1, x2 (- -1, 1), 不等式不等式 |f(x1)- -f(x2)|4 恒成立恒成立.(1)解解:函数函数 f(x) 是是 R 上的奇函数上的奇函数, f(- -x)=- -f(x), 即即 - -ax3- -cx+d=- -ax3- -cx- -d 对对 x R 恒成立恒成立. d=0. f(x)=ax3+cx, f (x)=3ax2+c.当当 x=1 时时, f(x) 取得极值取得极值 - -2,

5、 f(1)=- -2 且且 f (1)=0. a+c=- -2 且且 3a+c=0. a=1, c=- -3. f (x)=3x2- -3. 由由 f (x)0 得得 - -1x0 得得 x1. f(x) 在在 (-, - -1) 上是增函数上是增函数, 在在 (- -1, 1) 上是减函数上是减函数, 在在 (1, +) 上是增函数上是增函数. 当当 x=- -1 时时, f(x) 取得极取得极大大值值 f(- -1)=2.故故函数函数 f(x) 的单调递减区间是的单调递减区间是 (- -1, 1), 单调递增区间是单调递增区间是(-, - -1) 和和(1, +); f(x) 的极大值为的

6、极大值为 2. 典型例题典型例题 5 已知函数已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a 0) 是是 R 上的奇函数上的奇函数, 当当 x=1 时时, f(x) 取得极值取得极值 - -2. (1)求求 f(x) 的单调区间和极大值的单调区间和极大值; (2)证明证明: 对任意对任意x1, x2 (- -1, 1), 不等式不等式 |f(x1)- -f(x2)|4 恒成立恒成立.(2)证证: 由由 (1) 知知 f(x)=x3- -3x 在在 - -1, 1 上是减函数上是减函数, 且且 f(x) 在在 - -1, 1 上的最大值上的最大值 M=f(- -1)=2, f(x) 在在 - -1,

7、 1 上的最小值上的最小值 m=f(1)=- -2, 对任意对任意x1, x2 (- -1, 1), 不等式不等式 |f(x1)- -f(x2)|4 恒成立恒成立.导数的应用举例导数的应用举例 5 已知函数已知函数 f(x)=x3- -ax2- -3x. (1)若若 f(x) 在区间在区间 1, +) 上是增函上是增函数数, 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围; (2)若若 x=- - 是是 f(x) 的极值点的极值点, 求求 f(x) 在在 1, a 上的最大值上的最大值; (3)在在(2)的条件下的条件下, 是否存在实数是否存在实数 b, 使得使得函数函数 g(x)=bx 的图象与函数

8、的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点的图象恰有三个交点, 若存在若存在, 求出实数求出实数 b 的取值范围的取值范围; 若不存在若不存在, 请说明理由请说明理由.13解解: (1)由已知由已知 f (x)=3x2- -2ax- -3. f(x) 在区间在区间 1, +) 上是增函数上是增函数, 在在 1, +) 上恒有上恒有 f (x)0, 即即 3x2- -2ax- -30 在在 1, +) 上恒成立上恒成立. 则必有则必有 1 且且 f (1)=- -2a0. a3解得解得 a0. 故实数故实数 a 的取值范围是的取值范围是 (-, 0. 由于由于 f (0)=- -30 且且 3+

9、b 0. 解得解得 b- -7 且且 b - -3. 故实数故实数 b 的取值范围是的取值范围是 (- -7, - -3)(- -3, +). 已知函数已知函数 f(x)=x2eax, 其中其中 a0, e 为自然对数的底数为自然对数的底数. (1)讨论讨论函数函数 f(x) 的单调性的单调性; (2)求函数求函数 f(x) 在区间在区间 0, 1 上的最大值上的最大值.导数的应用举例导数的应用举例 6 解解: (1)f(x)=x2eax, f (x)=2xeax+x2eax a=(ax2+2x)eax.a0, 对对函数函数 f(x) 的单调性可讨论如下的单调性可讨论如下:当当 a=0 时时,

10、 由由 f (x)0 得得 x0 得得 x0. f(x) 在在 (-, 0) 上单调递减上单调递减, 在在 (0, +) 上单调递增上单调递增; 当当 a0 时时, 由由 f (x)0 得得 x- - ; 2a由由 f (x)0 得得 0 x- - . 2a在在 (- - , +) 上也单调递减上也单调递减. 2af(x) 在在 (0, - - ) 上单调递增上单调递增, 在在 (-, 0) 上单调递减上单调递减, 2a 已知函数已知函数 f(x)=x2eax, 其中其中 a0, e 为自然对数的底数为自然对数的底数. (1)讨论讨论函数函数 f(x) 的单调性的单调性; (2)求函数求函数 f(x) 在区间在区间 0, 1 上的最大值上的最大值.导数的应用举例导数的应用举例 6 解解: (2)由由(1)知当知当 a=0 时时, f(x) 在区间在区间 0, 1 上为增函数上为增函数;当当 a=0 时时, f(x) 在区间在区间 0, 1 上的最大值为上的最大值为 f(1)=1;当当 - -2a0 时时, f(x) 在区间在区间 0, 1 上为增函数上为增函数;当当 a- -2 时时, f(x) 在区间在区间 0, 1 上的最大值为上的最大值为: 当当 a- -2 时时, f(x) 在区间在区间 0, 1 上先增后减上先增后减,当当 - -2a0 时时, f