第7讲直线与平面的相对位置

1、1 第二章第二章 点、线、面的投影点、线、面的投影 2.5 2.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置第七讲第七讲2.5 2.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置有两种直线与平面、平面与平面的相对位置有两种: : 平面与平面相交平面与平面相交平行平行相相交交直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行直线与平面相交直线与平面相交垂直垂直一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行的条件直线与平面平行的条件 如果平面外的一直线平行于平面内的某一如果平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。直线

2、，则该直线与该平面平行。PABCD直线直线ABAB平行于平面平行于平面P P内直线内直线CD, CD, 则直线则直线ABAB平行于平面平行于平面P P。n a c b m abcmn 过过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。d d多少解？多少解？无数解无数解正平线正平线 过过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d dFEDCBAPQ 若一平面上的若一平面上的两相交直线两相交直线分别平行于另一平面上分别平行于另一平面上的的两相交直线两相交直线，则这两平面相互平行。，则这两平面相互平行。

3、 平面平面P内直线内直线AB与与BC分别平行分别平行于平面于平面Q内直线内直线DE和和EF, 则平面则平面P平行于平面平行于平面Q。 平面与平面平行平面与平面平行acebbaddfcfekhkhO OX Xmm由于由于ek不不平行于平行于ac, ,故两平面故两平面不平行。不平行。 判断平面判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行是否平行, , 已知已知ABCDEFMHABCDEFMHOnmdcbanmdcbaXkk 过点过点K K作给定平面作给定平面ABCDABCD的平行面的平行面KMNKMN。 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。交点是直线与平面

4、的共有点。二、相交问题二、相交问题 直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，判别两者之间的相互遮挡关系，即即判别可见性。判别可见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置特殊位置的情况。的情况。判断可见性方法：平面在交点处将直线分为两部分判断可见性方法：平面在交点处将直线分为两部分，以交点为界，线上一部分可见，一部分不可见，以交点为界，线上一部分可见，一部分不可见; ;不不可见部分用虚线表示。可见部分用虚线表示。 求直线求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点

5、的交点K K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC是一铅垂面，其水是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线平投影积聚成一条直线，该直线与与mn的交点即为的交点即为K K点的水平投影。点的水平投影。求交点求交点判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段段在平面前，故正面投影上在平面前，故正面投影上k k n n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。作图作图 一般位置线特殊位置面一般位置线特殊位置面abcmnc n b a m k k1 1 ( (2 2 ) )2 21 11 1 ( (2 2 ) )

6、km(n)bm n c b a ac c 特殊位置线一般位置面特殊位置线一般位置面空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线，其水平投为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点影积聚成一个点，故交点K K的水平的水平投影也积聚在该点上。投影也积聚在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点位于位于MNMN上，在后。故上，在后。故k 2 2 为不可见。为不可见。k 2 2 1 1作图作图用面上取点法用面上取点法MFKNL 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上

7、的点都是两平面的共有点。有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。 判别两平面之间的相互遮挡关系，判别两平面之间的相互遮挡关系，即即判别可见性。判别可见性。aa bd(e)ebdh(f)cfch1 1( (2 2 ) ) 空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFHDEFH是铅垂面，其水平是铅垂面，其水平投影有积聚性，与投影有积聚性，与acac、bcbc的交点的交点m m 、n n 即为

8、两个共有点的水平投即为两个共有点的水平投影，故影，故mnmn即为交线即为交线MNMN的水平投影。的水平投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MCMC上，点上，点在在FHFH上，点上，点在前，点在前，点在后，故在后，故m mc c 可见。可见。作图作图2 21 1 mmnn 求两平面的交线求两平面的交线 MN MN并判别可见性。并判别可见性。aa bd(e)ebdh(f)cfch1 1( (2 2 ) ) 2 21 1 mmnn 求两平面的交线求两平面的交线 MN MN并判别可见性。并判别可见性。abd(e)ebdh(f)cfchmnnm三、垂直问题三、垂直问题1. 1. 直线与平

9、面垂直直线与平面垂直PNMHGFEDCBA结论结论1：若一直线垂直于平面内的两相交直线，则直：若一直线垂直于平面内的两相交直线，则直线与该平面垂直；又若一直线垂直于一平面，则必垂线与该平面垂直；又若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。直于属于该平面的一切直线。nmcbanmcbaXO 结论结论2：若一直线垂直于一若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正直于属于该平面的正平线的正面投影。面投影。 结论结论3：若一直线的水平投

10、：若一直线的水平投影垂直于属于该平面的水平线影垂直于属于该平面的水平线的水平投影，直线的正面投影的水平投影，直线的正面投影垂直于属于该平面的正平线的垂直于属于该平面的正平线的正面投影，则直线与平面垂直正面投影，则直线与平面垂直。 判断直线判断直线MNMN是否垂直于平面是否垂直于平面ABC.ABC.nmdcbanmdcbaXO结论：直线结论：直线MN不垂直于平面不垂直于平面ABCfefedcbadcballXO 过点过点D D作平面作平面ABCABC的垂线的垂线2 2两平面垂直两平面垂直NMIIIMNPR2R1结论结论1 1：如果直线垂直于平面，则过直线的所有平：如果直线垂直于平面，则过直线的所有平面都垂直于该平面。面都垂直于该平面。结论结论2 2：如果两平面互相垂直，则由第一平面内的：如