数论综合---奇偶数和整除

1、数数论论综综合合 第一讲奇偶数和整除学习目标 1. 1.能够运用能够运用奇偶性奇偶性和和整除特征整除特征解决数论问解决数论问题题 2. 2.能够掌握能够掌握求最大公求最大公因数因数和和最小公倍数最小公倍数的的各种方法各种方法 3. 3.能够理解能够理解分解质因分解质因数数在解决数论问题中在解决数论问题中的广泛应用的广泛应用1、奇数与偶数、奇数与偶数1.1奇数与偶数运算性质奇数，奇数偶数，奇数奇数偶数，偶数偶数：偶数性质差是奇数：奇数个奇数的和或者性质差是偶数：偶数个奇数的和或者性质奇数奇数：偶数性质偶数奇数偶数，奇数偶数：偶数性质xxx54321偶数奇数偶数，奇数偶数：偶数性质12+4=64+

2、6=106+8=148+10=181+3=43+5=85+7=127+9=16奇数奇数：偶数性质22+1=34+3=76+5=118+7=152-1=14-1=36-3=38-3=5差是偶数：偶数个奇数的和或者性质31+3+5+7+9+11=3637-11-9-7-5-3=2差是奇数：奇数个奇数的和或者性质41+3+5+7+9=2537-11-9-7-5=5奇数奇数奇数偶数奇数偶数偶数偶数偶数：性质xxx51x1=31x3=33x5=155x7=354x3=126x5=308x7=562x9=182x2=44x1=46x6=361.2实用的推论实用的推论推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果

3、的奇偶性在加减法中偶数不改变运算结果的奇偶性推论推论2：对于任意两整数对于任意两整数a和和b，a+b与与a-b同奇或同偶同奇或同偶推论推论1：在加减法中在加减法中偶数不改变偶数不改变运算运算结果结果的奇的奇偶性偶性2+4=64+6=106+8=148+10=184-2=26-4=28-6=210-8=2推论推论2：对于任意两整数对于任意两整数a和和b，a+b与与a-b同奇同奇或或同偶同偶2+1=34+3=76+5=118+7=152-1=14-3=16-5=18-7=1奔跑吧！ 兄 弟例题例题1一天，章鱼哥给海绵宝宝出来一道数学题目：三个一天，章鱼哥给海绵宝宝出来一道数学题目：三个自然数自然数

4、A、B、C，其中一个是，其中一个是5，一个是，一个是6、一个是、一个是7，（A-1）X（B-2）x（C-3）的结果是奇数还是偶数）的结果是奇数还是偶数a-1+b-2+c-3=18-6=12设三个数都是奇数设三个数都是奇数奇数奇数-奇数奇数=偶数偶数 偶数偶数-奇数奇数=奇数奇数，12为偶数，所以，为偶数，所以，3个数个数不能同时为奇数，至少有不能同时为奇数，至少有个偶数。个偶数。乘积一定是偶数。乘积一定是偶数。课堂练习课堂练习 下面各题的计算结果是奇数还是偶数？下面各题的计算结果是奇数还是偶数？（1）偶数）偶数+奇数奇数x偶数偶数x5（2）奇数）奇数x奇数奇数+偶数偶数x偶数偶数（1）偶数偶数

5、x奇数奇数= 偶数偶数偶数偶数x奇数（奇数（5）=偶数偶数偶数偶数+偶数偶数=偶数偶数（2）奇数奇数x奇数奇数=奇数奇数偶数偶数x偶数偶数=偶数偶数奇数奇数+偶数偶数=奇数奇数课后练习课后练习 （1）201本书本书,分给一些同学借阅分给一些同学借阅,每人分得每人分得奇数本的人数是奇数还是偶数奇数本的人数是奇数还是偶数?为什么为什么?（2）有一排树，每）有一排树，每两棵间的距离为两棵间的距离为1米。米。如果把三块如果把三块“爱护树爱护树木木”的小牌分别挂在的小牌分别挂在三棵树上，那么不管三棵树上，那么不管怎么样挂；至少有两怎么样挂；至少有两棵挂牌的树之间的距棵挂牌的树之间的距离是偶数。为什么？离

6、是偶数。为什么？小结-奇偶数小结-奇偶数 1. 1.计算，先乘除后加减计算，先乘除后加减 2. 2.利用已掌握奇偶性质利用已掌握奇偶性质依次展开依次展开 3. 3.最终得到结果最终得到结果2、数字整除法、数字整除法2.1一个数的末尾数能被2和5整除，这个数就能被2和5整数。能被2整数的数末尾数肯定是偶数能被5整除的数末尾数肯定是5或者0能同时被2,5整除的数末尾数肯定是0122=6142=7162=8182=93122=643142=7543162=8678982=9152=6252=7352=8452=92152=632152=7432152=85432152=9102=5105=22.2一

7、个数的末两位能被4或者25整除，这个数就能被4或25整除。3124=4164=5204=6244=7284=8324=9364=12525=25025=37525=40025=52525=65025=7754=8004=9254=2.3一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。18008=21608=32408=43208=54008=64808=75608=86408=87208=2.4一个数各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除13=3 23=6 33=943=1253=1563=1873=2183=2493=27 1111+1+1=32222+2+2=6

8、3333+3+3=9 4444+4+4=12 5555+5+5=156666+6+6=18 7777+7+7=218888+8+8=249999+9+9=272.5一个数各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除19=9 29=18 39=2749=3659=4569=5479=6389=7299=81454+5=94594+5+9=18 39873+9+8+7=27 2.6如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数上的数字之和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。例如：70345能被11整除，只要看(7+3+5)-(0+4)能否被11整除2.7如果一个数的如果一个数的末三位末三位与

9、与末三位以前末三位以前的数字组成的数字组成的数字的数字之差之差能被能被7、11或或13整除，那么这个数整除，那么这个数就能被就能被7、11或或13整除。整除。例如例如：1005928末三位数：末三位数：928，末三位之前：末三位之前：1005 1005-928=77 因为因为7 | 77，所以，所以7|1005928奔跑吧！ 兄弟！例题：一个五位数例题：一个五位数835，如果这个，如果这个数能同时被数能同时被2、3、5整除，那么代表整除，那么代表的数字是（的数字是（ ?），代表的数字是（），代表的数字是（ ?）一个五位数一个五位数835，如果这个数能同时被如果这个数能同时被2、3、5整除整除那

10、么那么:代表的数字是代表的数字是( 0 )。代表的数字是（代表的数字是（2 或或5或或8）课后练习课后练习海绵宝宝的学号是一个六位数。这个数的前三位是海绵宝宝的学号是一个六位数。这个数的前三位是532，并且能被，并且能被3、4、5整除。那么海绵宝宝整除。那么海绵宝宝的学号最小是多少？的学号最小是多少？1、先确定、先确定个位个位：个位上应该是：个位上应该是0才能才能被被4、5同时整除。同时整除。2、在确定、在确定十位十位：末两位是：末两位是4的倍数，的倍数，就能被就能被4整除。那么。十位上最小是整除。那么。十位上最小是2，其次是其次是4、6、82、然后确定、然后确定百位百位：若百位，最小为：若百

11、位，最小为0只要满足：各位数字和是只要满足：各位数字和是3的倍数的倍数3、这个六位数是：、这个六位数是：532020课堂练习课堂练习四位数四位数3AA1被被9整除，求整除，求A？分析与解：分析与解：A+A+4是是9的倍数的倍数9、18、27、36、45、54.5、14、23、32、41、50（1）A+A=5, 式子不成立式子不成立（2）A+A=14，式子成立，式子成立（3）A+A=23，式子不成立，式子不成立所以，所以，A=7课堂练习课堂练习在在1992后面补上后面补上3个数字，组成一个个数字，组成一个7位数，位数，使它们分别能被使它们分别能被2,3,5,11整除，这个整除，这个7位数最小是多

12、位数最小是多少？少？（2,3,5,11）=3301992000除以除以330=6036.120所以：所以：1992000+（330-120）=1992210我们常常把需要的数字空缺处我们常常把需要的数字空缺处填写填写0，求余数进而求出应该的，求余数进而求出应该的数字。数字。课堂练习课堂练习有有 个四位数满足以下条件，它的各个位数都是个四位数满足以下条件，它的各个位数都是互不相同的奇数，它的每个数字都是能整除它本身。互不相同的奇数，它的每个数字都是能整除它本身。 1,3,5,7,9中任选四个必定有中任选四个必定有3或或9，所以四数之和一定能被所以四数之和一定能被3整除，整除，1+3+5+7+9=25 25-1=24 25-3=22 25-5=20 25-7=18 25-9=16，当且仅当无，