高中数学复习第二章第五节对数函数

1、第五节对 数 函 数1.1.对数的定义对数的定义(1)(1)对数的定义对数的定义请根据下图的提示填写与对数有关的概念请根据下图的提示填写与对数有关的概念: :指数指数对数对数真数真数幂幂底数底数其中其中a a的取值范围是：的取值范围是：_._.a a0,0,且且a1a1(2)(2)两种常见对数两种常见对数对数形式对数形式特点特点记法记法常用对数常用对数底数为底数为_自然对数自然对数底数为底数为_1010lgNlgNe elnNlnN2.2.对数的性质、换底公式与运算性质对数的性质、换底公式与运算性质(1)(1)性质性质logloga a1=_;1=_;logloga aa a=_;=_; =_

2、. =_.其中其中a0,a0,且且a1.a1.alog Na0 01 1N N(2)(2)换底公式换底公式基本公式基本公式:log:loga ab=_(a,cb=_(a,c均大于均大于0 0且不等于且不等于1,b0).1,b0).推广公式推广公式:log:loga ab b= ,= ,logloga ab bloglogb bc cloglogc cd=logd=loga ad d, , (a,b,c (a,b,c均大于均大于0 0且不等于且不等于1,d0).1,d0).cclog blog amnaanlog blog bmb1log a(3)(3)运算性质运算性质如果如果a0,a0,且且a

3、1,M0,N0,a1,M0,N0,那么那么: :logloga a(M(MN N)=_;)=_; =_; =_;logloga aM Mn n= _.= _.aMlogNlogloga aM+logM+loga aN Nlogloga aM-logM-loga aN Nnlognloga aM(nRM(nR) )3.3.对数函数的定义、图象与性质对数函数的定义、图象与性质定定义义函数函数_(a0,_(a0,且且a1)a1)叫做对数函数叫做对数函数图图象象a1a10a10a1y=logy=loga ax x性性质质定义域定义域: _: _值域值域:_:_当当x=1x=1时时,y=0,y=0,即过

4、定点即过定点_当当0 x10 x1时时,y0;,y1x1时时,_,_当当0 x10 x0;,y0;当当x1x1时时,_,_在在(0,+)(0,+)上是上是_在在(0,+)(0,+)上是上是_(0,+)(0,+)R R(1,0)(1,0)y0y0y0y0,0,且且a1)a1)与对数函数与对数函数_(a0,_(a0,且且a1)a1)互为反函数互为反函数, ,它们的图象关于直线它们的图象关于直线_对称对称. .y=logy=loga ax xy=xy=x判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)函数函数y=lg(x+3)(x-3)y=lg

5、(x+3)(x-3)与与y=lg(x+3)+lg(x-3)y=lg(x+3)+lg(x-3)的定义域相的定义域相同同.(.() )(2)log(2)log2 2x x2 2=2log=2log2 2x.(x.() )(3)(3)当当x1x1时时,log,loga ax x0.(0.() )(4)(4)当当x1x1时时, ,若若logloga axlogxlogb bx x, ,则则ab.(ab.() )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .函数函数y=lg(x+3)(x-3)y=lg(x+3)(x-3)的定义域为的定义域为(-,(-,-3)(3,+),-3)(3,+),而函数而函数y=lg(

6、x+3)+lg(x-3)y=lg(x+3)+lg(x-3)的定义域为的定义域为(3,+).(3,+).(2)(2)错误错误. .当当x0 x1a1时时,log,loga ax x0,0,当当0a10a1时时,log,loga ax x0.1,0b1,0blogxlogb bx x, ,但但ab.ab.答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)1.1.计算计算:2log:2log5 510+log10+log5 50.25=(0.25=() )(A)0(A)0(B)1(B)1(C)2(C)2(D)4(D)4【解析【解析】选选C.2logC.2log5 510+lo

7、g10+log5 50.25=log0.25=log5 5100+log100+log5 50.25=log0.25=log5 525=2.25=2.2.2.若函数若函数y=f(xy=f(x) )是函数是函数y=ay=ax x(a(a0,0,且且a1)a1)的反函数的反函数, ,且且f(2)=1,f(2)=1,则则f(xf(x) )等于等于( () )(A)(A) (B)2 (B)2x-2x-2 (C) (C) (D)log (D)log2 2x x【解析解析】选选D.D.由题意知由题意知f(x)=logf(x)=loga ax x, ,又又f(2)=1,f(2)=1,logloga a2=1

8、,a=2,f(x)=log2=1,a=2,f(x)=log2 2x.x.x1212log x3.3.如果如果 0, 0,那么那么( () )(A)yx1(A)yx1 (B)xy1 (B)xy1(C)1xy(C)1xy (D)1yx (D)1yy1.,xy1.1122log xlog y12log x4.4.计算：计算：loglog2 23log3log3 34+ =_.4+ =_.【解析【解析】原式原式=log=log2 24+ =2+ =2+2=4.4+ =2+ =2+2=4.答案答案: :4 43log 4331log 4233log 23考向考向 1 1 对数的运算对数的运算【典例【典例

9、1 1】(1)(1)计算计算: :(2)(2)已知已知logloga a2=m,log2=m,loga a3=n,3=n,求求a a2m+n2m+n. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据乘法公式和对数的运算性质进行计算根据乘法公式和对数的运算性质进行计算. .(2)(2)将对数式化为指数式或直接代入求解将对数式化为指数式或直接代入求解. .266661 log 3log 2 log 18.log 4（）【规范解答【规范解答】(1)(1)原式原式266666266666612log 3log 3loglog6 33log 412log 3log 31 log 3 1log 3log 4226

10、666666666612log 3log 31log 3log 42 1 log 3log 6log 32log 2log 2log 21.log 2 (2)(2)方法一方法一:log:loga a2=m,log2=m,loga a3=n,3=n,aam m=2,a=2,an n=3,=3,aa2m+n2m+n=(a=(am m) )2 2a an n=2=22 23=12.3=12.方法二方法二:log:loga a2=m,log2=m,loga a3=n,3=n,aa2m+n2m+n=(a=(am m) )2 2a an n= =2= =22 23=12.3=12.aalog 2log 3

11、2aa （）【拓展提升【拓展提升】对数运算的一般思路对数运算的一般思路(1)(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形首先利用幂的运算把底数或真数进行变形, ,化成分数指数幂化成分数指数幂的形式的形式, ,使幂的底数最简使幂的底数最简, ,然后正用对数运算性质化简合并然后正用对数运算性质化简合并. .(2)(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算, ,然后逆用对然后逆用对数的运算性质数的运算性质, ,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. .【提醒【提醒】在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化在运算中要注意对

12、数化同底和指数与对数的互化. .【变式训练【变式训练】(1)(2013(1)(2013宝鸡模拟宝鸡模拟) )计算计算:(lg2):(lg2)2 2+lg2+lg2lg5+lg5+lg5=lg5=. .【解析解析】原式原式=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1.=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1.答案答案: :1 1(2)(2013(2)(2013大连模拟大连模拟) )设设2 2a a=5=5b b=m=m，且，且 =2=2，则，则m=_.m=_.【解析【解析】22a a=5=5b b=m,a=m,a=log=log2 2m,b=logm,b=log5 5m,

13、m,=log=logm m2+log2+logm m5=log5=logm m10=2,10=2,mm2 2=10,m= .=10,m= .答案答案: : 11ab251111ablog mlog m1010考向考向 2 2 对数函数的图象及其应用对数函数的图象及其应用【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013长沙模拟长沙模拟) )函数函数y=axy=ax2 2+bx+bx与与y= y= (ab0,|a|b)(ab0,|a|b)在同一直角坐标系中的图象可能是在同一直角坐标系中的图象可能是( () )balog x(2)(2)已知函数已知函数f(xf(x)= )= 若若a,b,ca,b

14、,c互不相等，且互不相等，且f(a)=f(b)=f(cf(a)=f(b)=f(c) )，则，则abcabc的取值范围是的取值范围是( )( )(A)(1,10) (B)(5,6)(A)(1,10) (B)(5,6)(C)(10,12) (D)(20,24)(C)(10,12) (D)(20,24)【思路点拨【思路点拨】(1)(1)根据函数根据函数y=axy=ax2 2+bx+bx与与x x轴的交点确定轴的交点确定 的范围的范围. .(2)(2)画出画出f(xf(x) )的图象的图象, ,确定确定abcabc的范围的范围. .lg x , 0 x10,1x6, x10,2b|a【规范解答【规范解

15、答】(1)(1)选选D.D.令令axax2 2+bx=0+bx=0得得x=0 x=0或或x=- .x=- .对于对于A,BA,B项，项，由抛物线知由抛物线知0 0| | |1 1，此时对数函数的图象不符合要求，故，此时对数函数的图象不符合要求，故A A，B B项不正确；对于项不正确；对于C C项，由抛物线知项，由抛物线知| | |1 1，此时对数函数，此时对数函数的图象不符合要求，故的图象不符合要求，故C C不正确；对于不正确；对于D D项，由抛物线知项，由抛物线知0 0| | |1 1，此时对数函数的图象符合要求，故选，此时对数函数的图象符合要求，故选D.D.babababa(2)(2)选选

16、C.C.作出作出f(xf(x) )的大致图象的大致图象. .不妨设不妨设abcabc，因为，因为a a，b b，c c互不互不相等，且相等，且f(a)=f(b)=f(cf(a)=f(b)=f(c) )，由函数的图象可知，由函数的图象可知10c1210c12，且且|lg a|=|lg|lg a|=|lg b| b|，因为，因为abab，所以所以lg a=-lglg a=-lg b b，可得，可得abab=1=1，所以所以abcabc=c(10,12)=c(10,12)，故选，故选C.C.【拓展提升【拓展提升】应用对数型函数的图象可求解的问题应用对数型函数的图象可求解的问题(1)(1)对一些可通过

17、平移、对称变换作出其图象的对数型函数对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数, ,在在求解其单调性求解其单调性( (单调区间单调区间) )、值域、值域( (最值最值) )、零点时、零点时, ,常利用数形常利用数形结合思想结合思想. .(2)(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题题, ,利用数形结合法求解利用数形结合法求解. .【变式训练【变式训练】(1)(1)已知函数已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx,h(xf(x)=lnx,g(x)=lgx,h(x)=log)=log5 5x,x,直直线线y=a(ay=a(

18、a0)0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x x1 1,x,x2 2,x,x3 3, ,则则x x1 1,x,x2 2,x,x3 3的大小关系是的大小关系是( () )(A)x(A)x2 2xx3 3xx1 1 (B)x(B)x1 1xx3 3xx2 2(C)x(C)x1 1xx2 2xx3 3 (D)x (D)x2 2xx1 1xx3 3【解析【解析】选选A.A.在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y=a(ay=a(a0),xx3 3xx2 2, ,故选故选A.A.(2)(2)函数函数y=logy=log2 2|

19、x+1|x+1|的单调递减区间为的单调递减区间为, ,单调递增区单调递增区间为间为. .【解析【解析】作出函数作出函数y=logy=log2 2x x的图象的图象, ,再将其再将其关于关于y y轴对称轴对称, ,两支共同组成函数两支共同组成函数y=logy=log2 2|x|x|的图象的图象, ,再将图象向左平移再将图象向左平移1 1个单位长度就个单位长度就能得到函数能得到函数y=logy=log2 2|x+1|x+1|的图象的图象( (如图所示如图所示).).由图知由图知, ,函数函数y=logy=log2 2|x+1|x+1|的单调递减区间为的单调递减区间为(-,-1),(-,-1),单调

20、递增区间为单调递增区间为(-1,+).(-1,+).答案答案: :(-,-1) (-1,+)(-,-1) (-1,+)考向考向 3 3 对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用【典例【典例3 3】已知函数已知函数f(xf(x)= )= . .(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的定义域的定义域. .(2)(2)若函数若函数f(xf(x) )的定义域关于坐标原点对称的定义域关于坐标原点对称, ,试讨论它的奇偶性试讨论它的奇偶性和单调性和单调性. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)利用真数大于利用真数大于0 0构建不等式构建不等式, ,但要注意分类讨但要注意分类讨论论.(2).(2)先由条

21、件求出先由条件求出a a的值的值, ,再讨论函数的奇偶性和单调性再讨论函数的奇偶性和单调性. .2x2a1logx3a1【规范解答【规范解答】(1) 0(1) 0 x-(3a-1)x-(-2a-1)0,x-(3a-1)x-(-2a-1)0,所以所以, ,当当3a-1-2a-1,3a-1-2a-1,即即a0a0时时, ,定义域为定义域为(-,-2a-1)(-,-2a-1)(3a-1,+);(3a-1,+);当当3a-1-2a-1,3a-1-2a-1,即即a0a0,-1)(a0,且且a1).a1).(1)(1)求求f(xf(x) )的定义域的定义域. .(2)(2)求函数求函数f(xf(x) )的

22、单调性的单调性. .【解析【解析】(1)(1)由由a ax x-10,-10,得得a ax x1,1,当当a1a1时时,x0;,x0;当当0a10a1时时,x0.,x1a1时时,f(x,f(x) )的定义域为的定义域为(0,+);(0,+);当当0a10a1时时,f(x,f(x) )的定义域为的定义域为(-,0).(-,0).(2)(2)当当a a1 1时，设时，设0 0 x x1 1x x2 2, ,则则1 1 , ,故故0 0 , ,f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2).).故当故当a a1 1时，时，f(xf(x) )在在(0(0，+)+)上是增函数，同理，当上是增函数，同理，当

23、0 0a a1 1时，时，f(xf(x) )在在(-(-，0)0)上也是增函数上也是增函数. . 12xxaa12xxa1a112xxaaloga1loga1 ,【创新体验【创新体验】数形结合解决恒成立问题数形结合解决恒成立问题 【典例【典例】(2012(2012新课标全国卷新课标全国卷) )当当0 0 x x 时，时，4 4x xlogloga ax x，则则a a的取值范围是的取值范围是( )( )(A)(0(A)(0， ) (B)( ) (B)( ，1)1)(C)(1(C)(1， ) (D)( ) (D)( ，2)2)12222222【思路点拨【思路点拨】 找找准准创创新新点点 当当0

24、0 x x 时，时，4 4x xlogloga ax x 寻寻找找突突破破口口 (1)(1)根据根据0 0 x x 时，时，logloga ax x0 0知知0 0a a1 1(2)(2)画出函数画出函数y=4y=4x x与与y=logy=loga ax x的图象的图象(3)(3)观察图象可知，观察图象可知，121212a1log42【规范解答【规范解答】选选B.B.由由0 0 x x 且且logloga ax x4 4x x0 0知知0 0a a1.1.在同一坐标系中画出函数在同一坐标系中画出函数y=4y=4x x(0(0 x )x )和和y=logy=loga ax(0 x(0a a1,0

25、1,0 x )x )的图象的图象, ,如图所示如图所示. .由图象知，要使当由图象知，要使当0 0 x x 时，时，4 4x xlogloga ax x, ,只需只需 , ,1212121212a1log422aa21loglog a212a0a 1a 1.22即， ，又 ， 【思考点评【思考点评】1.1.方法感悟方法感悟: :本题充分体现了数形结合思想和函数思想在解题本题充分体现了数形结合思想和函数思想在解题中的应用中的应用, ,即通过函数图象的关系得到两函数值之间的关系即通过函数图象的关系得到两函数值之间的关系. .2.2.技巧提升技巧提升: :此类不等式恒成立问题无法分离参数此类不等式恒

26、成立问题无法分离参数, ,此时常用数此时常用数形结合的方法求解形结合的方法求解. .解题的关键是正确画出函数在给定区间上解题的关键是正确画出函数在给定区间上的图象的图象, ,使之符合要求使之符合要求, ,然后根据图象找出不等关系然后根据图象找出不等关系. .1.(20121.(2012安徽高考安徽高考)log)log2 29log9log3 34=( )4=( )(A) (B) (C)2 (D)4(A) (B) (C)2 (D)4【解析解析】选选D.logD.log2 29 9loglog3 34= 4= =4.=4.1412lg 9lg 42lg 32lg 2lg 2lg 3lg 2lg 3

27、2.(20122.(2012天津高考天津高考) )已知已知a=2a=21212，b=( )b=( )-0.5-0.5，c=2logc=2log5 52,2,则则a a，b b，c c的大小关系为的大小关系为( )( )(A)c(A)cb ba (B)ca (B)ca ab b(C)b(C)ba ac (D)bc (D)bc ca a【解析【解析】选选A.aA.a=2=21212，b= b= ，c=logc=log5 54,4,11b b2,02,0c c1,1,aab bc,c,所以选所以选A.A.1223.(20133.(2013聊城模拟聊城模拟) )函数函数y=|lg(xy=|lg(x-1

28、)|-1)|的图象是的图象是( )( )【解析【解析】选选C.y=|lg(xC.y=|lg(x-1)|=-1)|=根据图象之间的关系可知根据图象之间的关系可知C C正确正确. .lg x1 ,x2,lg x1 ,1x2, 4.(20124.(2012北京高考北京高考) )已知函数已知函数f(x)=lgxf(x)=lgx, ,若若f(abf(ab)=1,)=1,则则f(af(a2 2)+f(b)+f(b2 2)=)=. .【解析解析】f(ab)=lg(ab)=1,ab=10,f(ab)=lg(ab)=1,ab=10,f(af(a2 2)+f(b)+f(b2 2)=lga)=lga2 2+lgb+lgb2 2=lg(a=lg(a2 2b b2 2)=lg100=2.)=lg100=2.答案答案: :2 25.(201