周(3-4节)第三章,刚体运动学(2014-3-24)

1、大学物理大学物理 College Physics 华华 中中 科科 技技 大大 学学 物物 理理 学学 院院傅华华傅华华主主 讲讲 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律iiiprLLiiiFrMM刚体对转轴上任意一点刚体对转轴上任意一点的角动量、合外力矩的角动量、合外力矩与定轴转动有关的与定轴转动有关的只是它们的只是它们的Z Z分量分量zLzMzLzMLM改写改写2iirmJJM JL均是对转轴的均是对转轴的tdd mrJd2JM (Z轴轴)转轴转轴刚刚 体体OOiRiriinA回顾回顾2iirmJJM 刚体对定轴（刚体对定轴（z 轴）轴）的的转动惯量转动惯量 由刚体上各质元相对于固定转轴的分

2、布决定，由刚体上各质元相对于固定转轴的分布决定，与外力无关，是表征刚体与外力无关，是表征刚体转动惯性转动惯性的特征量的特征量.与牛顿定律比较：与牛顿定律比较：J mamFJM MFa m反映质点的反映质点的平动惯性平动惯性，J反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性定轴转动定律定轴转动定律:3. 3. 转动惯量的计算转动惯量的计算 2iirmJ mmrJd21) 构成刚体的质量元是分立的构成刚体的质量元是分立的2) 刚体的质量是连续分布的刚体的质量是连续分布的Mrdm与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：质量分布质量分布转轴的位置转轴的位置例例. . 求长为求长为L、质量为、质量为m的均匀细

3、棒的均匀细棒 对图中不同轴的转动惯量。对图中不同轴的转动惯量。ABLo解：取如图坐标。解：取如图坐标。 xxJCd 2 MAmxJd2mdxd dm= dx231mLJA Lxx02d 绕过质心的转轴的绕过质心的转轴的J：2121mLJC2L2L可见：可见：同一物体绕不同的转轴其转动惯量不同。同一物体绕不同的转轴其转动惯量不同。XABL/2L/2CXodm mrJd23 3）平行轴定理）平行轴定理 JC是通过质心的轴的转动惯量，是通过质心的轴的转动惯量， JA是通过棒端的轴的转动惯量是通过棒端的轴的转动惯量 两轴平行，相距两轴平行，相距L/2。2212131mLmLJJCA推广上述结论：推广上

4、述结论：平行轴定理平行轴定理 22Lm 若有任一轴与过质心的轴平行，相距为若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转，刚体对其转动惯量为动惯量为J，则有：，则有：2mdJJCAABLC231mLJA2121mLJC 22LmJJCA计算右图中半径为计算右图中半径为R的均的均匀圆环对匀圆环对b轴轴( (与与a轴平行轴平行) )的的转动惯量。转动惯量。2mRJa2mdJJCA对过质心的转轴对过质心的转轴a的转动惯量：的转动惯量：对转轴对转轴b的转动惯量：的转动惯量：2mdJJab22mRmR22mRORabmmrJd2计算右图中的均匀圆柱计算右图中的均匀圆柱体对体对a、b两轴的转动惯量。两轴

5、的转动惯量。 ( (圆柱半径为圆柱半径为R R）221mRJa2mdJJCA对过质心的转轴对过质心的转轴a的转动惯量：的转动惯量：对转轴对转轴b的转动惯量：的转动惯量：ab2mdJJab2221mRmR223mRLRmm匀质薄圆盘匀质薄圆盘匀质细直棒匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面转轴通过中心垂直盘面22J =m R123J =m L1转轴通过端点与棒垂直转轴通过端点与棒垂直4. 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用JM 例例 . .一个飞轮一个飞轮m= =69kg，半径，半径R = =0.25m, , 正在以每分正在以每分1000转的转速转动。转的转速转动。 现在要制动飞轮，要求在现在

6、要制动飞轮，要求在5.0秒内秒内 使它均匀减速而最后停下来。闸使它均匀减速而最后停下来。闸 瓦与轮子间的摩擦系数瓦与轮子间的摩擦系数 = = 0.46。 求闸瓦对轮子的压力求闸瓦对轮子的压力N为多大？为多大？解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度t0 rad/s7.104min/r1000o 0s5 t2rad/s9.20 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。RfMrNR JM mR221)(3922N mR N oNfr tt0odJM 例例. 在半径为在半径为R，质量为，质量为 m，J= mR2的圆轮上挂一细绳的圆轮上挂一细绳 细绳两端各挂两物

7、细绳两端各挂两物 m1m2。求两物的。求两物的 a及轮子的及轮子的 ？21m2m1解：解： m1、m2可作为质点处理，可作为质点处理，轮子作刚体处理。轮子作刚体处理。各物受力情况如图：各物受力情况如图：m1gT1m2gT2T1T2T1T2=根据牛顿定律：根据牛顿定律：amTgm111)(222amTgmy根据根据定轴转动定律定轴转动定律： JRTRT21 aa R解得：解得：gmmmmma212121Rgmmmmm212121? JM 例例 . .一根长为一根长为L、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端有一的均匀细直棒，其一端有一 固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。固定的光滑水平轴，

8、因而可以在竖直平面内转动。 最初棒静止在水平位置，求它由此下摆最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角角时的角 加速度和角速度。加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对力矩为重力对O的力矩。的力矩。 棒上取质元棒上取质元dm, ,当棒处在当棒处在 下摆下摆 角时角时，重力矩为：重力矩为：mxgMdd XOgdmdmxCmgxM mxgdmmcx重力对整个棒的合力矩与全部重力集中重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。作用在质心所产生的力矩一样。 cosLxc21 mgLcos M21JM 23121mLcosmgL Lcosg23

9、 mgC mxgMd合力矩：合力矩：JM ddt tdd dd dd dd Lcosg23 Lgcos 0023dd22123 sinLgLsing 3 又：又：即：即：mgCXOxcLcosg23 若一人突然松手，另外若一人突然松手，另外一人手上的力在这一瞬一人手上的力在这一瞬间如何变化？间如何变化？问题：问题：例例 . . 质量为质量为m、长为、长为L L的匀质细杆水平放置，一端为的匀质细杆水平放置，一端为 铰链，另一端用绳悬挂。求剪断绳子瞬时，杆的铰链，另一端用绳悬挂。求剪断绳子瞬时，杆的 角加速度以及铰链的支撑力。角加速度以及铰链的支撑力。分析：分析：.解：解：gmF剪断时剪断时F =

10、 mg或或mgF21?0 0 0M剪断时细杆绕剪断时细杆绕O O点的力矩为点的力矩为omgLM21根据定轴转动定律根据定轴转动定律JM 231mLJ Lg23 质心平动：质心平动：cmaFmg Lac21)(cagmFmg41问：问：若杆从上方转下来到水平位置时若杆从上方转下来到水平位置时o 此时此时?F rac.Fogmo 水平位置时力矩仍为：水平位置时力矩仍为：mgLM21JM 231mLJ Lg23 此时质心的加速度为：此时质心的加速度为：ncaaa a r L21g43narr2)( rv2221 L F此时此时?F mamg mg41nFnma221 mL221241)()(omLm

11、gF 合合nFFtg oLg 21问：问：杆向下转到任意位置杆向下转到任意位置时，如何求解？时，如何求解？JM 竿子长些还是短些安全？竿子长些还是短些安全？ 飞轮的质量为什么大飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？都分布于外轮缘？转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、分布及转轴的位置分布及转轴的位置. 几个生活中的实际例子：几个生活中的实际例子： 长长杆杆短短铅铅笔笔竿子长些还是短些安全？竿子长些还是短些安全？续上 从小倾角从小倾角 处静止释放处静止释放两匀直细杆两匀直细杆地面地面短杆的角加速度大短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关且与匀质直杆的质量无关两者瞬时角加速度之

12、比两者瞬时角加速度之比213 1 1321根据刚体中任一质元刚体中任一质元 的速率的速率该质元的动能该质元的动能对所有质元的动能求和对所有质元的动能求和转动惯量转动惯量 JJ得得2iirmJ力力 的元功的元功力对转动刚体所做的功用力矩的功来计算力对转动刚体所做的功用力矩的功来计算切向切向若在某变力矩若在某变力矩 的作用下，刚体由的作用下，刚体由 转到转到 ，做的总功为做的总功为力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率回忆质点的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理由由 力矩的元功力矩的元功转动定律转动定律合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量称为称为则则4、刚体的重力

13、势能、刚体的重力势能yhihcxOMC mi一一个质元的势能：个质元的势能：iiighmE iiiPhgmE )(iiihmg 整个刚体的势能：整个刚体的势能：刚体的重力势能刚体的重力势能 cMghMM它的全部质量都它的全部质量都集中在质心时所集中在质心时所具有的势能具有的势能. . iicxmMx1 iicymMy1 iiczmMz1机械机械外外力力非保守内非保守内力矩力矩力力力矩力矩则系统的机械能守恒。则系统的机械能守恒。外外力力力矩力矩非保守内非保守内力矩力矩力力若若1. 刚体的角动量刚体的角动量刚体上的一个质元绕固定轴做圆周运动时相刚体上的一个质元绕固定轴做圆周运动时相对于转轴上任意一

14、点对于转轴上任意一点O 的角动量在轴上的分的角动量在轴上的分量的大小均为：量的大小均为：vmrPrL质点对定点的角动量：质点对定点的角动量：所以，刚体对此轴的角动量定义为：所以，刚体对此轴的角动量定义为：iizzLLiriiiizvmrL iimr2 刚体对固定转动轴的角动量刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯等于它对该轴的转动惯量量J 和角速度和角速度 的乘积。的乘积。zim izL )(2iiirm zJ JL简写为：简写为：四、刚体的角动量定理和角动量守恒定律四、刚体的角动量定理和角动量守恒定律dtLdM质点的角动量定理为：质点的角动量定理为：对质点对质点系系任意一质点任意一

15、质点:dtLdMii内外iiiMMM dtdLMiizzdtdLMiziz定轴方向定轴方向0外iMM外izzMM dtLdiz dtdLz对质点对质点系系:zzdLdtM由上可得：由上可得： zzJL dLdtM简写简写 dtdLMzz)( zJdtdconstJz dtdJMzz zJ定轴转动定律定轴转动定律constJz dt)J(dMzz刚体刚体绕绕定轴定轴的角动量定理的角动量定理LddtM2. 刚体刚体绕绕定轴定轴的角动量定理的角动量定理合外力矩合外力矩 对刚体对刚体绕绕定轴定轴的冲量矩为：的冲量矩为：MdLMdtotooJJ oLtLotLL PddtFotPPovmvm与动量定与动

16、量定理比较：理比较：即：即：对某对某一一定轴的外力矩的作用在某段时间内的累定轴的外力矩的作用在某段时间内的累 积效果为刚体对同一转动轴的角动量的增量。积效果为刚体对同一转动轴的角动量的增量。dLMdt( (微分形式微分形式) )刚体刚体绕绕定轴定轴的角动量定理的角动量定理000JJdtMt( (积积分形式分形式) )dLMdtototLL dLMdt当合外力矩当合外力矩0M则：则：otLL const角动量守恒角动量守恒讨论讨论1）当）当 L=常量，常量， 若若J=常量，常量， 则则 =常量，常量，即：刚体保持恒定的角速度即：刚体保持恒定的角速度 转动。转动。2）当）当 L =常量，常量，但但

17、J 常量，常量， J =常量，常量，则则 常量，常量，1122JJJ 3) 此定律对多个刚体、质点组成的系统也成立。此定律对多个刚体、质点组成的系统也成立。 JL例：系统由两个刚体组成，例：系统由两个刚体组成，设初时刻，设初时刻，Lo= 0任意任意t 时刻，时刻，Lt=0系统无转动：系统无转动：21LL 0系统有转动：系统有转动：021LL21LL2211 JJ即即：21JJ 若若则：则：21 同一转轴同一转轴或或J3. .角动量守恒定律角动量守恒定律直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干 CH47)用 尾 浆（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）角动量守恒定律的应用角动量守恒定律的应

18、用受合外力矩为零受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒角动量守恒回转仪定向原理回转仪定向原理使其以一定的角速度高速旋转，使其以一定的角速度高速旋转，其中转动惯量其中转动惯量J为常量。为常量。若将回转体转轴指向若将回转体转轴指向Z方向，方向，则转轴将保持该方向不变，则转轴将保持该方向不变，而不会受基座改向的影响。而不会受基座改向的影响。（转动惯量（转动惯量 ）回转体回转体万万向向支支架架基基 座座常量常量 JL Z 例例: :如图所示如图所示, ,一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一静止的子弹以水平速度射入一静止

19、悬于顶端的长棒的下端悬于顶端的长棒的下端, ,穿出后速度损失穿出后速度损失3/ /4, ,求子弹求子弹 穿出后棒的角速度穿出后棒的角速度 . .已知棒长为已知棒长为L, ,质量为质量为M. .v0vmM解解: :问问: :子弹和棒的总动量是否子弹和棒的总动量是否守恒守恒? ?系统对轴的总角动量守恒。系统对轴的总角动量守恒。 JmvLLmv0 J40/mLvLmv0L LJLmv430 MLmv490 231mLJ 故：故： mgZL 陀螺在绕自身的对称轴转动的同时陀螺在绕自身的对称轴转动的同时, ,其对称轴绕经过其对称轴绕经过定点定点( (如如: :O点点) )的轴的轴( (如如: :OZ轴轴

20、) )转动，这种高速自旋的物体转动，这种高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象称为的转轴在空间转动的现象称为进动进动( (回转效应回转效应) )。p OrdL L重力对重力对O点的力矩始终与角动量垂直，点的力矩始终与角动量垂直，所以角动量只改变方向而大小不变，所以角动量只改变方向而大小不变，从而产生旋进运动从而产生旋进运动, ,即即进动进动。dL 的的方方向向与与重重力力矩矩的的相相同同。五五. 进动进动tMLdd tgmrd LLLd 进动的角速度：进动的角速度：ddpt ddsinLL ddddsinLLMtt sinpL LOdL sinL p d sinsinpMMLJ 注意：注意：上述

21、讨论中上述讨论中, 将高速旋转的陀螺对将高速旋转的陀螺对O点的角点的角 动量近似成了陀螺对本身对称轴的角动量动量近似成了陀螺对本身对称轴的角动量。回转效应（回转效应（进动进动）的应用举例：）的应用举例：来复线使枪弹、炮弹在飞行时能绕自身的对来复线使枪弹、炮弹在飞行时能绕自身的对 称轴旋转称轴旋转,在空气阻力的作用下不会翻在空气阻力的作用下不会翻“筋斗筋斗”，而是产生进动，使总的运动基本保持原方向。而是产生进动，使总的运动基本保持原方向。(3) 抗磁性的起源抗磁性的起源: 电子在外磁场中的进动。电子在外磁场中的进动。(2) 飞机的自动驾驶，轮船的稳定器飞机的自动驾驶，轮船的稳定器例例: :如图所

22、示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度摆锤拉到高度h0 ，令它自静止状态下，令它自静止状态下落落, ,于铅垂位置和直杆作于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的最大最大高度高度h. .解解: :002ghv 设碰撞后杆的角速度为设碰撞后杆的角速度为 ，摆锤的速度为摆锤的速度为v。由角动量守恒有：由角动量守恒有： Jvmlmlv 0碰撞过程中机械能也守恒碰撞过程中机械能也守恒: :2

23、220212121 Jvmmv lv,vv23200 amll0h碰撞前单摆的速度为碰撞前单摆的速度为chchh b按机械能守恒，碰撞后摆锤达到按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的的高度满足高度满足：40hh 而杆的质心而杆的质心增加增加的高度的高度hc满足满足：cmghJ221 2320hhhc 由此得碰撞后直杆下端达到的由此得碰撞后直杆下端达到的最最大大高度高度 ：lv,vv23200 002ghv chchh b221vmhmg 20)22(21ghm .Fogmo 水平位置时力矩仍为：水平位置时力矩仍为：mgLM21JM 231mLJ Lg23 此时质心的加速度为：此时质心的加速度为：ncaaa a r L21g43narr2)( rv2221 L