第四章万有引力第四节

1、第四节万有引力第四节万有引力 所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。太阳处在所有椭圆的一个焦点上。第一定律第一定律(轨道定律轨道定律)补充：开普勒定律补充：开普勒定律 从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积等的面积. 第二定律第二定律(面积定律面积定律)ABCDEKt= t= tABCDEKS= S= S则则 说明：行星说明：行星离太阳近时速度快，离太离太阳近时速度快，离太阳远时速度慢阳远时速度慢。V1R1 =V2R2 行星轨道半长轴的三次方与公转周期的行星轨道半长轴的三次方与公转周期

2、的二次方的比值是一个常量二次方的比值是一个常量.32rkT第三定律：（周期定律）第三定律：（周期定律） 注意：注意：比值比值k是是一个对所有行星都相同的一个对所有行星都相同的常量常量，与行与行星星无关无关，是，是只与太阳只与太阳（中心天体）（中心天体）的的质量质量有有关的恒量关的恒量。C太阳半长轴rAB行星行星一、万有引力定律一、万有引力定律知识梳理知识梳理1内容：内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和和m2的的_成正比，与它们之间距离成正比，与它们之间距离r的

3、的_成反成反比比2 表 达 式 ：表 达 式 ： F ， 其 中， 其 中 G _Nm2/kg2，叫引力常量，叫引力常量要点整合要点整合基础落实基础落实乘积乘积二次方二次方6.671011著名的著名的“月月- -地地”检验检验3适用条件：适用条件：公式适用于公式适用于质点质点间的相互作用但对间的相互作用但对于不能看做质点的两个于不能看做质点的两个质量分布均匀的球体质量分布均匀的球体间的相互间的相互作用是适用的，此时作用是适用的，此时r是是 的距离；另外，对的距离；另外，对于一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的相于一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的相互作用万有引力定律也适用，其中互

4、作用万有引力定律也适用，其中r为为 的距的距离离两球心间两球心间球心到质点球心到质点答案答案ABD（1）实验原理：）实验原理： 科学方法科学方法放大法放大法卡文迪许卡文迪许卡文迪许实验室卡文迪许实验室现代科技测得的现代科技测得的G值为值为6.6710-11 Nm2/kg2补充：引力常量的测量补充：引力常量的测量扭秤实验扭秤实验（）（）卡文迪许测得卡文迪许测得 G值为值为6.74510-11 Nm2/kg2（）卡文迪许扭称实验的意义（）卡文迪许扭称实验的意义证明了万有引力的存在，使万有引力定律进入证明了万有引力的存在，使万有引力定律进入了真正实用的时代；了真正实用的时代；开创了微小量测量的先河，

5、使科学放大思想得开创了微小量测量的先河，使科学放大思想得到推广。到推广。注意：若忽略地球的自转，则有：注意：若忽略地球的自转，则有：2MmmgGR(M Rm其中 、 分别为地球的质量和半径， 为地面上一物体的质量）2gRMG卡文迪许被称为卡文迪许被称为“能称出地球质量的人能称出地球质量的人”！补充：重力与万有引力的关系补充：重力与万有引力的关系万有引力万有引力（指向地心）（指向地心）分解分解F向向=m2r （指向（指向所在纬度圆心）所在纬度圆心）G=mg (竖直向下）竖直向下）1.2.纬度增加，纬度增加，F向向=m2r 减小，减小，G增加，增加，g也增加。也增加。特别地：特别地：两极点：两极点

6、：F向向=0，2MmmgGRoF引F向G22MmmgGmRR赤道上：赤道上：O1OFF向向mg2RmMGmg 不考虑地球自转的影响，不考虑地球自转的影响，地球表面的物体受到的重力地球表面的物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。等于地球对物体的万有引力。2gRGM -黄金代换式黄金代换式3.黄金代换式黄金代换式4.4.重力加速度的计算方法重力加速度的计算方法: :g=GMR2补充：人造卫星补充：人造卫星人造卫星的轨道人造卫星的轨道（1）地心是椭圆轨道的）地心是椭圆轨道的一个一个焦点或是圆轨道的焦点或是圆轨道的圆心；圆心；（2）做匀速圆周运动的卫）做匀速圆周运动的卫星星a向向=g轨轨，故卫星处于

7、完，故卫星处于完全失重。全失重。3人造卫星的运行规律人造卫星的运行规律 若无特别说明，都认为卫星绕中心天体做匀速圆周若无特别说明，都认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，则有：运动，则有：F向向F万万，由此可知：，由此可知：22MmvGGMvmrrr 232MmGmrMrGr 22232)4(MmGmrrTGMrT -r越大，越大，T越大越大-r越大，越大，v越小越小- r越大，越大，越小越小- r越大，越大，a向向越小越小注意：注意：在同一中心天体做匀速圆周运动的所有卫星的在同一中心天体做匀速圆周运动的所有卫星的v、T、a向向各量都只与轨道半径各量都只与轨道半径r有关有关22=MmGmaGMar

8、r 向向向向（1）发射速度（）发射速度（v发发）：）：4.人造卫星的两个速度人造卫星的两个速度GMr（2）运行速度（即线速度）：卫星在轨道上）运行速度（即线速度）：卫星在轨道上绕行时所具有的速度，即：绕行时所具有的速度，即： V运运= 可见：可见：轨道越高，运行速度越小。轨道越高，运行速度越小。22MmvGGMvmrrr mM解：对于靠近地面的卫星，可以认为此时的解：对于靠近地面的卫星，可以认为此时的 r 近似等于地球半径近似等于地球半径R，则由万有引力定律和向，则由万有引力定律和向心力公式有：心力公式有： 这就是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆这就是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周

9、运动所必须具有的周运动所必须具有的最小发射速度最小发射速度，也是最大的运行，也是最大的运行速度，也叫做速度，也叫做。问题：绕地球做匀速圆周运动的近地卫星的速度是多少呢？问题：绕地球做匀速圆周运动的近地卫星的速度是多少呢？112466.67 105.89 10/7.9/6.4 10GMvm skm sR 二、宇宙速度二、宇宙速度22MmvGmrr =GMGMvrR 推导：已知天体表面重力加速为推导：已知天体表面重力加速为g，自身半径为，自身半径为R，对，对m由由F向向=F万万=mg 可得：可得：21vmgmR1vgR对地球，对地球，R=6400km,g=9.8m/s2616.4 109.8 /7

10、.9/vgRm skm s mM1GMvR 1vgR2.第二宇宙速度第二宇宙速度v2：（也叫脱离速度也叫脱离速度）3.第三宇宙速度第三宇宙速度v3：（：（也叫逃逸速度也叫逃逸速度）v2=11.2km/sv3=16.7km/s三、近地卫星与同步卫星（详见三、近地卫星与同步卫星（详见能能P42）1近地卫星近地卫星所谓所谓近地近地卫星指的是卫星的卫星指的是卫星的轨道半径等于地球的半径轨道半径等于地球的半径，卫星做匀速圆周运动的向心力是万有引力卫星做匀速圆周运动的向心力是万有引力它的运动速度为第一宇宙速度，它是卫星的最大运行速它的运动速度为第一宇宙速度，它是卫星的最大运行速度度2同步卫星同步卫星同步卫

11、星指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的同步卫星指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星同步卫星又叫通讯卫星，同角速度绕地球运动的卫星同步卫星又叫通讯卫星，同步卫星有以下几个特点：步卫星有以下几个特点：(1)同步卫星的运行方向与地球自转方向一致同步卫星的运行方向与地球自转方向一致(2)同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T24 h.(3)同步卫星的运行角同步卫星的运行角速度等于地球自转的速度等于地球自转的角速度角速度(4)同步卫星的轨道一同步卫星的轨道一定与赤道平面共面定与赤道平面共面如图所示，假设卫星在轨道如图所示，假设卫星在轨

12、道B跟着地球的自转同步做匀速跟着地球的自转同步做匀速圆周运动，卫星运动的向心力由地球对它的引力圆周运动，卫星运动的向心力由地球对它的引力F引引的一的一个分力个分力F1提供，由于另一个分力提供，由于另一个分力F2的作用将使卫星轨道的作用将使卫星轨道靠向赤道，故只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定靠向赤道，故只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行，所以所有同步卫星只能在赤道正上方，的轨道上运行，所以所有同步卫星只能在赤道正上方，且在一定高度处且在一定高度处（5）同步卫星的高度固定不变）同步卫星的高度固定不变（6）同步卫星的运行速度大小不变。）同步卫星的运行速度大小不变。(1)所有同步卫星

13、的周期所有同步卫星的周期T、轨道半、轨道半径径r、环绕速度、环绕速度v、角速度、角速度及向心及向心加速度加速度a的大小均相同的大小均相同(2)所有国家发射的同步卫星的轨所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，它们都在同道都与赤道为同心圆，它们都在同一轨道上运动且都相对静止一轨道上运动且都相对静止注意：注意：二、卫星运行规律及宇宙速度二、卫星运行规律及宇宙速度知识梳理知识梳理1地球同步卫星的特点地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和轨道平面一定：轨道平面和 平面重合平面重合(2)周期一定：与地球周期一定：与地球 周期相同，即周期相同，即T24 h86 400 s.(3)角速度一定

14、：与地球自转的角速度相同角速度一定：与地球自转的角速度相同赤道赤道自转自转一致一致2极地卫星和近地卫星极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过极地卫星运行时每圈都经过 由于地球自由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖转，极地卫星可以实现全球覆盖(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于于 ，其运行线速度约为，其运行线速度约为_ km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过两种卫星的轨道平面一定通过 南北两极南北两极地球的半径地球的半径7.9地球的球心地球的球心

15、3三种宇宙速度比较三种宇宙速度比较宇宙速度宇宙速度数值数值(km/s)意义意义第一宇第一宇宙速度宙速度_这是卫星绕地球做圆周运动的这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度最小发射速度第二宇第二宇宙速度宙速度_这是物体挣脱地球引力束缚的这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度最小发射速度第三宇第三宇宙速度宙速度_这是物体挣脱太阳引力束缚的这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度最小发射速度7.911.216.7自主检测自主检测2(2014天津理综天津理综)研究表明，地球自转在逐渐变慢，研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前亿年前地球自转的周期约为地球自转的周期约为22小时假设这种趋势会持续下去，地球的

16、小时假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比A距地面的高度变大距地面的高度变大B向心加速度变大向心加速度变大C线速度变大线速度变大 D角速度变大角速度变大A考点突破考点突破规律总结规律总结例例1(2013大纲全国大纲全国) “嫦娥一号嫦娥一号”是我国首次发射的探月是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周的圆形轨道上运行，运行周期为期为127分钟已知引力常量分钟已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，月球半，月球半径约为径约

17、为1.74103 km.利用以上数据估算月球的质量约为利用以上数据估算月球的质量约为A8.11010 kgB7.41013 kgC5.41019 kg D7.41022 kgD 1(2015合肥模拟合肥模拟)1798年，英国物理学家卡文迪许年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人若已知引力常量人若已知引力常量G，地球表面处的重力加速度，地球表面处的重力加速度g，地球半径，地球半径R，地球上一个昼夜的时间地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期地球自转周期)，一年的时间，一年的时间T2(地球公地球公转的周期

18、转的周期)，地球中心到月球中心的距离，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中，地球中心到太阳中心的距离心的距离L2，可估算出，可估算出变式训练变式训练A比较内容比较内容赤道表面赤道表面的物体的物体近地卫星近地卫星同步卫同步卫星星向心力来源向心力来源万有引力万有引力的分力的分力万有引力万有引力向心力方向向心力方向指向地心指向地心重力与万有重力与万有引力的关系引力的关系重力略小于重力略小于万有引力万有引力重力等于万有引力重力等于万有引力4.四个关系四个关系“四个关系四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系速度、周期与轨道半径的关系

19、例例2(2014凉山诊断凉山诊断)“嫦娥二号嫦娥二号”环月飞行的高度为环月飞行的高度为100 km，所，所探测到的有关月球的数据将比环月飞行高度为探测到的有关月球的数据将比环月飞行高度为200 km的的“嫦娥一号嫦娥一号”更加详实若两颗卫星环月的运行均可视为匀速圆周运动，运行轨更加详实若两颗卫星环月的运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图所示则道如图所示则A“嫦娥二号嫦娥二号”环月运行的周期比环月运行的周期比“嫦嫦娥一号娥一号”大大B“嫦娥二号嫦娥二号”环月运行的线速度比环月运行的线速度比“嫦娥一号嫦娥一号”小小C“嫦娥二号嫦娥二号”环月运行的向心加速度环月运行的向心加速度比比“嫦娥一号嫦娥一

20、号”大大D“嫦娥二号嫦娥二号”环月运行的向心力与环月运行的向心力与“嫦娥一号嫦娥一号”相等相等CC例例4(2014安徽联考安徽联考)北京时间北京时间2012年年10月月25日日23时时33分，中分，中国在西昌卫星发射中心用国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙长征三号丙”运载火箭，成功将第运载火箭，成功将第16颗北斗导航卫星发射升空并送人预定转移轨道颗北斗导航卫星发射升空并送人预定转移轨道第第16颗北斗导航颗北斗导航卫星是一颗地球静止轨道卫星卫星是一颗地球静止轨道卫星，它将与先期发射的，它将与先期发射的15颗北斗导航颗北斗导航卫星组网运行，形成区域服务能力根据计划，北斗卫星导航系卫星组网运行，形成

21、区域服务能力根据计划，北斗卫星导航系统将于统将于2013年初向亚太大部分地区提供服务下列关于这颗卫星年初向亚太大部分地区提供服务下列关于这颗卫星的说法正确的是的说法正确的是A该卫星正常运行时一定处于赤道正上方，角该卫星正常运行时一定处于赤道正上方，角速度小于地球自转角速度速度小于地球自转角速度B该卫星正常运行时轨道也可以经过地球两极该卫星正常运行时轨道也可以经过地球两极C该卫星的速度小于第一宇宙速度该卫星的速度小于第一宇宙速度D如果知道该卫星的周期与轨道半径可以计算出其质量如果知道该卫星的周期与轨道半径可以计算出其质量C 2(2014广东理综广东理综)如图所示，飞行器如图所示，飞行器P绕某星球

22、做绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为，下列说法正确的是，下列说法正确的是A轨道半径越大，周期越长轨道半径越大，周期越长B轨道半径越大，速度越大轨道半径越大，速度越大C若测得周期和张角，可得到星球的平均密度若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度变式训练变式训练AC2卫星轨道的突变：卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨

23、道发生突变，使其进入预定的轨道如图所示，入预定的轨道如图所示，发射同步卫星时发射同步卫星时，可以分多过程完成：，可以分多过程完成：(1)先将卫星发送到近地轨道先将卫星发送到近地轨道；(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在，变轨时在P点点火加点点火加速，短时间内将速率由速，短时间内将速率由v1增加到增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨，使卫星进入椭圆形的转移轨道道；(3)卫星运行到远地点卫星运行到远地点Q时的速率为时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由在短时间内将速率由v3增加到增加到v4，使卫星进入同步轨

24、道，使卫星进入同步轨道，绕地，绕地球做匀速圆周运动球做匀速圆周运动例例5北京航天飞行控制中心对北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号嫦娥二号”卫星实施多次变轨控卫星实施多次变轨控制并获得成功首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的，紧随其制并获得成功首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的，紧随其后进行的后进行的3次变轨均在近地点实施次变轨均在近地点实施“嫦娥二号嫦娥二号”卫星的首次变轨卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点的轨道高度同之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点的轨道高度同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨图为样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实

25、施变轨图为“嫦娥二号嫦娥二号”某次在近地点某次在近地点A由轨道由轨道1变轨为轨道变轨为轨道2的示意图，下列的示意图，下列说法中正确的是说法中正确的是A“嫦娥二号嫦娥二号”在轨道在轨道1的的A点处应点火加速点处应点火加速B“嫦娥二号嫦娥二号”在轨道在轨道1 A点处的速度比在轨道点处的速度比在轨道2的点的点A处的速度大处的速度大C“嫦娥二号嫦娥二号”在轨道在轨道1 A点处的加速度比在轨道点处的加速度比在轨道2的的A点处的加点处的加速度大速度大D“嫦娥二号嫦娥二号”在轨道在轨道1的的B点处的机械能比在轨道点处的机械能比在轨道2的的C点处的机点处的机械能大械能大A 32013年年12月月14日日21时

26、时11分分“嫦娥三号嫦娥三号”探测器成探测器成功落月，中国成为世界上第三个有能力独立自主实施月球软着陆的功落月，中国成为世界上第三个有能力独立自主实施月球软着陆的国家假设月球半径为国家假设月球半径为R.月球表面的重力加速度为月球表面的重力加速度为g0.飞船沿距月球飞船沿距月球表面高度为表面高度为3R的圆形轨道的圆形轨道运动，到达轨道的运动，到达轨道的A点，点火变轨进入点，点火变轨进入椭圆轨道椭圆轨道，到达轨道，到达轨道的近月点的近月点B再次点火进入近月轨道再次点火进入近月轨道绕月绕月球做圆周运动下列判断正确的是球做圆周运动下列判断正确的是变式训练变式训练B思维提升思维提升满分培优满分培优构建物

27、理模型构建物理模型7双星系统模型双星系统模型(1)双星系统模型的特点双星系统模型的特点两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等的角速度、周期相等两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；力，所以它们的向心力大小相等；两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r1r2L.(2)双星系统模型的三大规律双星系统模型的三大规律双星系统的周期、角速度相同双星系统的周期、角速度相同速度速度及及轨道半径轨道半径均与质量成均与质

28、量成反比反比双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关例例6(2014唐山模拟唐山模拟)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统在浩瀚的银河此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统设某双星系统系中，多数恒星都是双星系统设某双星系统A、B绕其连线上的绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示若点做匀速圆周运动，如图所示若AOOB，则，则A星球星球

29、A的质量一定大于的质量一定大于B的质量的质量B星球星球A的线速度一定大于的线速度一定大于B的线速度的线速度C双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大BD 4(2013山东理综山东理综)双星系统由两颗恒星组成，双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动研究发现，双星系统演化过程中，两期相同的匀速圆周运动研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某双星系统中两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某双星系统中两星做圆周运动的周期为星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运倍，则此时圆周运动的周期为动的周期为变式训练变式训练B1长期以来长期以来“卡戎星卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径星，它的公转轨道半径r119 600 km，公转周期，公转周期T1 6.39天天.2