机械控制工程-拉氏变换

1、第 2 课控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型1、基本环节数学模型基本环节数学模型2、数学模型的线性化、数学模型的线性化3、拉氏变换、拉氏变换1. 基本环节数学模型基本环节数学模型 数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达式 数学模型是研究的第一步 建立数学模型的方法：分析法、实验法微分方程的列写微分方程的列写（1）质量）质量-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统弹性元件x1x2FFF=k(x1-x2)阻尼元件阻尼元件12()dxdxFBdtdtFx1x2F惯性负载惯性负载22d xFmdtmx相对于大地坐标系例题221()()()ioiood xxBk xxdtd xxBdtxixoxB

2、2k2B1k111()od xxBk xdt(2) 电路网络电路网络电感元件电容元件diuLdt1uidtC例题1 1iouRiu2ouRi21 11i dtRiC12iiiCR1R2uiuoi1i2i(1)(2)(3)(4)（3）电枢控制式直流电机）电枢控制式直流电机mT aTK iaaa aabdiLR iuudtbbuK22mddJBTdtdt 自然界中，真正的线性系统自然界中，真正的线性系统是不存在的。是不存在的。 将非线性方程在一定范围内将非线性方程在一定范围内用近似的线性方程来代替，用近似的线性方程来代替，称为线性化称为线性化2、数学模型的线性化、数学模型的线性化sincTmglI

3、2sincTglml非线性模型的例子非线性模型的例子 单变量函数y=f(x)的线性化 00220002( )1( )( )( )|()|()2!x xx xdf xd f xf xf xx xx xdxdx000( )( )()|()x xdf xf xf xxxdxyK x yxx0yx x例:2sincTglml000sinsin()cos()() 2cTglml00( ,)LQf x p 双变量函数y=f(x1,x2)的线性化11011022022012102011022012( ,)(,)|()|()xxxxxxxxf x xf xxffxxxxxx1122yKxKx 0：|qx xQ

4、Kx流量增益000000(,) |()|()LLx xppLLQQ xpQQxxppxp0：|LcppQKp 流量-压力系数qcLQK xK p线性化是针对某一工作点进行的线性化是针对某一工作点进行的为保证一定的精度，变量偏离工作点的为保证一定的精度，变量偏离工作点的范围应足够小（范围应足够小（小信号线性化小信号线性化）对于含本质非线性的系统不适用（对于含本质非线性的系统不适用（死区、死区、滞后滞后）3、 拉氏变换拉氏变换3.1 定义1、x(t)为时间的函数，且t0时，x(t)= 02、s为复变量,s=+j0( ) ( )( )stX sL x tx t edt则则x(t)的拉氏变换定义为的拉

5、氏变换定义为F(s)的拉氏反变换为11( ) ( )( )2cjstcjf tLF sF s e dsj 拉氏变换将函数从拉氏变换将函数从时间域时间域转到转到复数域复数域。 许多函数通过拉氏变换可以转变为复变许多函数通过拉氏变换可以转变为复变量量s的代数函数，且可以使微积分用复数平的代数函数，且可以使微积分用复数平面内的代数运算取代。面内的代数运算取代。 3.2 简单函数的拉氏变换简单函数的拉氏变换 单位阶跃函数0 01( )1 0ttt0tf(t)10011( )|ststeLtedtss 单位脉冲函数 0( )0 0ttt0( )1t dt( ) ( )(0)t f t dtf0tf(t)

6、(t) ( )1Lt 单位斜坡函数0 0( ) 0tf ttt0tf(t)21 ( )L f ts 指数函数( )atf te1atL esa0tf(t)1 正弦函数 余弦函数22sinLts22cossLts3.3 拉氏变换的性质拉氏变换的性质 叠加原理1212( )( )( )( )L f tf tF sF s11( )( )L af taF s 平移定理( )()atL ef tF sa22sin()atL etsa22cos()atsaL etsa 延时定理 ()( )sL f teF s 微分定理( )( )(0)df tLsF sfdt0000( )( )( )()( )|( )(

7、0)1( )ststststeF sf t edtf tdtseef tf tdtssfL f tss(1)12( )( )(0)(0)(0)nnnnnnd f tLs F ssfsffdt222( )( )(0)(0)d f tLs F ssffdt若若(1)(0)(0)(0) 0nfff( )( )( )nnL fts F s则则1( )(0)( )F sfLf t dtss 积分定理 终值定理0( )( )tsLim f tLimsF s注意成立条件：注意成立条件：当当sF(s)有极点位于虚轴或有极点位于虚轴或s右右半平面不成立半平面不成立例：1sa例：sint 初值定理0( )( )t

8、sLim f tLimsF s 卷积定理1212( )*( )( )( )L f tf tF s F s卷积定义1212210()* ()() ( )()* ()tf tf tf tfdf tf t 3.4 拉氏反变换拉氏反变换1211112 ( )( )( ) ( )( )( )F sF sF sLF sLF sLF s若则 将象函数分解成比较简单的形将象函数分解成比较简单的形式式,然后通过拉氏变换表进行反变然后通过拉氏变换表进行反变换换.1011111( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbB sF sA ssa sasa将分母进行因式分解101112( )( )( )()()(

9、)mmmmnb sbsbsbB sF sA sspspsp极点和零点的概念 零点：零点： 若使得若使得 f(z0）=0，则，则z0称为函数称为函数f(z)的零点的零点 极点：极点： 令函数分母多项式为零的点令函数分母多项式为零的点zp称为极点称为极点( )( )( )g zf zh z( )()( )kkkspB saspA s1212( )( )( )nnaaaB sF sA sspspsp1、F(s)的极点各不相同12( )12aaF sss例1：113(1)2(1)(2)ssasss3( )(1)(2)sF sss223(2)1(1)(2)ssasss 解：321( )(1)(2)12s

10、F sssss12( ) ( )2ttf tLF see 当极点为复数时当极点为复数时,也适用也适用思考思考?1222( )aaF sssjsj112aj 212aj111122 ( )jjLF sLsjsj111( )()sin222jjjjf teeeetjjj 极点为共轭复数时的另一种分解方法极点为共轭复数时的另一种分解方法222( )25sF sss例:222222102(1)( )(1)22152(1)2(1)2sF sssss( )5sin22cos2ttf tetet2、F(s)含有重极点101111( )( )( )() ()()mmmmrrnb sbsbsbB sF sA s

11、spspsp11111111( )( )( )()() rrrrnrrnaaB sF sA sspspaaaspspsp11111112212(1)111()( )()( )1()( )2!1()( )(1)!rrsprrsprrsprrspraspF sdaspF sdsdaspF sdsdaspF srds例222( )(1) (3)sF ss ss32142( )(1)(1)3aaaaF sssss解：221221(1)(1) (3)2ssass ss 211223(1)(1) (3)4sdsasdss ss 30222(1) (3)3ssass ss43221(3)(1) (3)12ssass ss21/23/42/31/12( )(1)(1)3F sssss31321( )24312tttf te tee 3.5 拉氏变换的应用 求解微分方程1、将微分方程进行拉氏变换2、整理方程，得到变量的拉氏变换表达式3、进行拉氏反变换微分方程象函数代数方程象函数原函数（微分方程解）拉氏变换解代数方程拉氏反变换566 0)(0)2xxxx(x2( )(0)(0)65( )(0)6( ) s X ssxxsX sxX ss222126( )(56)ssX ssss例：解：231222126( )(56)23aaassX ss sssss2102126|1(2)(3)sssass