第七章弯曲内力应力

1、第七章第七章梁的强度梁的强度梁的弯曲是材料力学梁的弯曲是材料力学部分最重要的内容部分最重要的内容弯曲变形是工程构件弯曲变形是工程构件最常见的基本变形最常见的基本变形7.1 引言引言PPPPPPPP工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题本章主要内容本章主要内容v 梁的内力梁的内力v 内力方程和内力图内力方程和内力图v 弯矩、剪力及载荷集度之间的关系弯矩、剪力及载荷集度之间的关系v 截面图形几何性质截面图形几何性质v 梁的应力梁的应力v 梁的强度条件梁的强度条件FqMRARB产生弯曲变形的杆称为梁产生弯曲变形的杆称为梁梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发

2、生弯曲变形平面弯曲的概平面弯曲的概念念我们只研究矩形截面梁的弯曲我们只研究矩形截面梁的弯曲矩形截面梁有一个纵向对称面矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲1. 梁的载荷与支座反力梁的载荷与支座反力# 集中力集中力# 均布载荷均布载荷# 集中力偶集中力偶集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力偶逆时针为正、顺时针为负。集中力偶逆

3、时针为正、顺时针为负。7.2 梁的内力及正负号规定梁的内力及正负号规定2)梁的支座反力梁的支座反力滑动铰支滑动铰支1 (Ry)固定铰支固定铰支2 (Rx，Ry)固固 定定 端端3 (M， Rx，Ry)RyRxMRy图图 示示 法法反反 力力未知反力数未知反力数名名 称称RxRy梁的支承方法及反力梁的支承方法及反力3)梁的类型梁的类型根据梁的支撑情况可以将梁分为根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型种类型一端固定铰支座一端固定铰支座一端活动铰支座一端活动铰支座一端固定一端固定一端自由一端自由一端固定铰支座一端固定铰支座活动铰支座位于梁中活动铰支座位于梁中某个位置某个位置求解梁弯曲问题必须在梁上

4、建立直角坐标系求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系0, 0, 0mFFyx举例说明举例说明F左边固定铰支座，有两个约束反力左边固定铰支座，有两个约束反力ABxyAyRAxRByR0 xF右边活动铰支座，右边活动铰支座，1个约束反力个约束反力0RAx0yF0FRRByAy 0Aml02/lFlRBy2/FRBy2/FRAy2/lxyql固定端有固定端有3个约束反力个约束反力RxRyABMA0 xF0Rx0yF0lqRyqlRy 0Am02lqlMA221qlMA2、剪力和弯矩、剪力和弯矩与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：剪力和弯矩剪力和弯矩

5、考察弯曲梁的某个横截面考察弯曲梁的某个横截面xyzFS弯矩作用面在纵向对称面内弯矩作用面在纵向对称面内方向沿方向沿Z 轴方向轴方向 M用用M 表示表示3、剪力和弯矩正负号的规定、剪力和弯矩正负号的规定剪力正负号剪力正负号对所截截面上任一点的对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负力矩顺时针为正，逆时针为负弯矩正负号弯矩正负号FSFSMMMM正正负正正负负使梁使梁xyF1F2RAyABRAxRBxF1RAyaaMFS0m01xRaxFMAyaxFxRMAy1mm0 xF01sAyFFR1FRFAySRAx说明：说明：1、一般情况下，、一般情况下，x 方向的约束反力为零。方向的约束反力为零。

6、2、如果不求剪力，可以不建立、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的方向的平衡方程。平衡方程。3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要建立在截面的中心。建立在截面的中心。举例：举例：xylqx求图示简支梁求图示简支梁 x 截面的弯矩截面的弯矩qRAyMAB在在x 处截开，取左半部分分析处截开，取左半部分分析画出外力、约束反力、弯矩画出外力、约束反力、弯矩 x 截面剪力、力矩平衡方程截面剪力、力矩平衡方程0M 0 xR2xqxMAyqx221qxxRMAyQ0yF0SAyFqxRqxRFAyS221qxxRMAy弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有弯矩最大值在梁的中

7、点，此处剪力为零，有2lx 由对称性，可以求得由对称性，可以求得2qlRAy2ql81M xylqxABqxRFAyS7.3 内力方程与内力图内力方程与内力图将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用图形表示面的分布规律用图形表示xylqxABqxRFAyS221qxxRMAyxxSFM2qlRAy2ql81M （1）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程 PxMMPxMPFPFFSSy得由得0, 00, 00（2）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图例例7.1 例例7.2 图中图中 所示为一简支梁，在所示为一简支梁，在C点受集中力点受集中力P 的作用，作的作

8、用，作此梁的剪力图和弯矩图此梁的剪力图和弯矩图。(1) 求支座反力求支座反力0,0AymFlPaRlPbRBA ,(2) 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程AC段段:lPbRFAS1(0 x a)xlPbxRMA 1)(ax 0CB段：段：lPaPlPbPRFAS2)(lxa )()()(xllPbaxPxlPbaxPxRMA 2)(lxa AC段段:lPbRFAS1(0 x a)xlPbxRMA 1)(ax 0CB段：段：lPaFS2)lxa()xl (lPbM2)(lxa lMRMlRMlMRlRMMAABBBA00000, 00, 0例例7.3 000202:MxlMMxRMlMR

9、FCBAAS段)(lxa （3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图lbMM0 maxxlMxRMlMRFACAAS0101:段)0(ax 2,20000PlMRPlMRMMBAAB 可得和由例例7.4 )xl(PxlMPlPxxPxlM)lx(PxRM:CBA2222002段段xPxlMxRM:ACA201段段7.4 分布载荷分布载荷q、剪力剪力Q 和弯矩和弯矩 M之间的之间的微分微分 关系关系ABM)(xqFyxxdx)(xqdxsFCssdFF MdMM 分布载荷分布载荷q、剪力剪力FS和弯矩和弯矩 M之间的之间的微分关系微分关系 0yF)(xqdxsFCssdFF MdMM xFdxxd

10、Ms)()()(xqdxxdFs0Cm0)()()()(2)(dxxFxMxdMxMdxdxxqs0)()()()(xdFxFdxxqxFssS)()(22xqdxxMd（1） q = 0 ，FS =常数，为一水平线。常数，为一水平线。M 为为 x 的一次函数，是的一次函数，是一条斜直线。（一条斜直线。（计算特殊点按计算特殊点按x 顺序连直线顺序连直线）（2）q =常数时，常数时， FS 为为 x 的一次函数，是一条斜直线。的一次函数，是一条斜直线。M 为为 x的二次函数，是一条抛物线（的二次函数，是一条抛物线（附加中间的特殊点值，用三附加中间的特殊点值，用三点连抛物线点连抛物线）。）。（3）

11、若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极值点位于剪力值点位于剪力FS 为零的截面。为零的截面。（4）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（突变突变值等于集中力或集中力偶矩的值值等于集中力或集中力偶矩的值） xFdxxdMs)()()(xqdxxdFs)()(22xqdxxMdm4m4m4m3kNP21kNP22kNmMD10m/kNq1ACDBEARBRkNRA7kNRB5ARB

12、RABCq =10 kN/mm.20m.40QM0BM0602040100602040.R.R.qAAkN.RA3310YkN.RB6721.332.670.27m.1300.36ARBRABm.20m.10C10 NmNRRBA50QM50 N10 NmARBRAa2Caq 0BM02212aRaaqaaqAqaRA43qaRB49QM0.283/45/41a.7500.54-2（j）ARBRABCq 2qam a2aaQM5/6 qa1a6113/60AM052332a.aqqaaRBqaRB613qaRA657/65/6 qa21/613/72q 2qam aaABCa2a2qam 23

13、qa2qaqa2qa22qa2qa23qa23qa2qaABq P=qaAa4aq aaaaqaqaqaqaqa2qa22qa2811qa2qa232qa7.5 7.5 静矩与惯性矩的计算静矩与惯性矩的计算1、形心和静矩、形心和静矩dAxSdAySAyAxxydAyxOCcxcyASyASxxcyc例例P157 例例7.77.5 7.5 静矩与惯性矩的计算静矩与惯性矩的计算1、惯性矩和平行移轴公式、惯性矩和平行移轴公式dAxyIdAxIdAyIAxyAyAx22xydAyxOCbayxcycx7.5 7.5 静矩与惯性矩的计算静矩与惯性矩的计算简单截面的惯性矩简单截面的惯性矩123322322

14、22bhybbdyydAyIhhAzhh 123bhIz 123hbIy矩形截面矩形截面圆形与圆环截面圆形与圆环截面3242DdAIAp yzPyAzAAAPIIIIIdAzdAydA)zy(dAI2222222实心圆实心圆6424dIIIPyz空心圆空心圆44642dDIIIPyz441642DIIIPyzDd平行移轴公式平行移轴公式AxcdAyI2AbIIAaIIycyxcx22AAccxdAyyAySdAy00且xydAyxOCbayxcycxAycdAxI2AxdAyI2AydAxI2ayybxx,AadAyadAydAayIAAAx2222)(AbdAxbdAxdAbxIAAAy22

15、22)(abAIIxcycxyzIIzAAzIIdAydAyI1222 求求T字形截面的中性轴字形截面的中性轴 z，并求，并求截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩.将截面划分为将截面划分为 、两矩形，取两矩形，取与截面底边相重合的与截面底边相重合的z 轴为参考轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至轴，则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为：轴的距离分别为：cm122cm1226cm5262cm126222 IIIIIIyAyA整个截面的形心整个截面的形心C 在对称轴在对称轴 y上的位置则为：上的位置则为：cm31212112512IIIIIIIIIiiCAAyAyAAyAy即中性轴即中性

16、轴 z 与轴与轴 z 的距离为的距离为3cm。（2）求各组合部分对中性）求各组合部分对中性轴轴z的惯性矩的惯性矩 设两矩形的形心设两矩形的形心C和和C；其形心轴为；其形心轴为z1和和z2，它们距，它们距z轴的轴的距离分别为：距离分别为：cm2,cm2 IIIIIICCaCCa由平行移轴公式，两矩形对中由平行移轴公式，两矩形对中性轴性轴z的惯性矩为：的惯性矩为：4232242321cm521221226cm841221262 IIIIIIzzIIIIIzzIAaIIAaII将两矩形对将两矩形对z轴的惯性矩相加，得轴的惯性矩相加，得4cm1365284 zIIzIzIII（3）求整个截面对中性轴）

17、求整个截面对中性轴的惯性矩的惯性矩7.6 7.6 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力# 纯弯曲与剪切弯曲纯弯曲与剪切弯曲# 中性层和中性轴中性层和中性轴# 弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律# 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量弯曲正应力的计算、抗弯截面模量各横截面上同时有弯矩各横截面上同时有弯矩M和剪力和剪力Q，称为，称为。各横截面只有弯矩各横截面只有弯矩M，而无剪力，而无剪力Q，称为，称为。 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕直于轴线，只是绕转过一个角度，称为弯曲问转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。题的平面假设。中中性性

18、层层中中性性轴轴# 中性层和中性轴中性层和中性轴xyz 中性层中性层 梁弯曲变形时，既梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。纤维层称为中性层。 对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。 中性轴中性轴梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短将缩短 dyabddxabdxdOO)(21 )()(aydddyababab 变形的几何关系为：变形的几何关系为：2、应力和变形的关系（物

19、理关系）、应力和变形的关系（物理关系）yEE 由虎克定律由虎克定律)()(aydddyababab 弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律M 与中性轴距离相等的点，与中性轴距离相等的点，正应力相等；正应力相等；MyEE 3、静力学关系分析、静力学关系分析0AdA0AAydAEydAE0AydA000 cczcAyAAySAyydA没有轴向力没有轴向力yEE 中性轴必然通过横中性轴必然通过横截面的形心截面的形心质心坐标质心坐标静矩，面积矩静矩，面积矩MdAyAMdAyEdA)yE(yAA2zzAzEIMMEIdAyI12或或令令yEE 抗弯刚度抗弯刚度zIMyzIMy横截面上横截面上某点正应力某点

20、正应力该点到中性轴该点到中性轴距离距离该截面弯矩该截面弯矩该截面惯性矩该截面惯性矩 mNqlMmax3000216000222 图所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长图所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布，均布载荷集度载荷集度q=6kN/m；梁由；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，）作弯矩图， 求最大弯矩求最大弯矩 因危险截面上的弯因危险截面上的弯矩为负，故截面矩为负，故截面上缘上缘受受最大拉应力，其值为最大拉应力，其值为在截面的在截

21、面的下端下端受最大压应力，其值为受最大压应力，其值为MPa385Pa103850328. 0106 .253000682maxmax yIMzC （2）求最大应力）求最大应力MPa178Pa101780152. 0106 .253000681maxmax yIMzT 7.7 梁的弯曲正应力强度梁的弯曲正应力强度 # 梁的最大正应力梁的最大正应力# 梁的强度条件梁的强度条件# 举例举例1、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 某截面上最大弯某截面上最大弯曲正应力发生在截面曲正应力发生在截面的上下边界上：的上下边界上：ZmaxWMWZ 称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，

22、Z 为中性轴为中性轴.矩形截面矩形截面Zbh6bhW2Z实心圆截面实心圆截面Zd32dW3ZmaxZZyIW 2、梁的最大正应力、梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处ZmaxmaxWM3、梁的强度条件、梁的强度条件 ZmaxmaxWMMmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定