复变函数与积分变换第9章

1、 在通常意义下，在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要变换存在的条件需要函数函数f (t)在在(- ,+ )上绝对可积上绝对可积. 很多常见的初等函很多常见的初等函数数(例如常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数例如常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数等等)都不满足这个要求都不满足这个要求. 另外，很多以时间另外，很多以时间 t 为自变为自变量的函数，当量的函数，当t0时，往往没有定义，或者不需要时，往往没有定义，或者不需要知道知道t0的情况的情况, 此时可以认为当此时可以认为当t0时时, f (t) 0. 于于是是Fourier变换的表达式为变换的表达式为 第八章第八章 Laplace

2、变换变换0 ( )( )d .i tf tf t et F F但是仍然需要但是仍然需要f (t)在在 0,) 上绝对可积的条件上绝对可积的条件. 对定义在对定义在 0,) 上的函数上的函数 f (t), 如果考虑如果考虑 1( )( ) (0),tf tf t e 那么那么 1( )f t容易满足在容易满足在 0,) 上绝对可积的要求上绝对可积的要求. 例例 如如( )f t为常数、多项式、正弦与余弦函数等为常数、多项式、正弦与余弦函数等, 这是这是因为因为 时时,t te 是衰减速度很快的函数是衰减速度很快的函数. 如果如果 0 取得适当大，那么取得适当大，那么 1( ), 0,( )0,

3、0tf t etf tt 的的Fourier变换可能有意义变换可能有意义. 1( )f t的的Fourier变换为变换为()00( )d( )d .ti titf t eetf t et 将将 i 记为记为s, 可写成可写成 0( )( )d .stF sf t et 这就是本章要讨论的这就是本章要讨论的Laplace变换变换, 它放宽了对函它放宽了对函数的限制数的限制, 使之更适合某些工程实际使之更适合某些工程实际, 且仍然保留且仍然保留Fourier变换中许多好的性质变换中许多好的性质, 在某些工程问题中在某些工程问题中更实用、更方便更实用、更方便.1 1 Laplace变换的定义变换的定

4、义 2 2 周期函数和周期函数和d d 函数的函数的Laplace变换变换 8.1 Laplace变换的定义变换的定义定义定义8.1设设 ( )f t在在0t 上有定义上有定义, 并且积分并且积分 0( )( )dstF sf t et (s是复参变量是复参变量)关于某一范围关于某一范围s 收敛，则由这个积分确定的函数收敛，则由这个积分确定的函数0( )( )d ,stF sf t et 称为函数称为函数 ( )f t的的Laplace变换变换, 并记做并记做 ( ),f tL L即即 0 ( )( )( )d .stf tF sf t et L L8.1.1 Laplace变换的定义变换的定

5、义的的像函数，像函数， ( )F s称为称为 ( )f t( )f t称为称为 ( )F s的的像原函数像原函数. 已知已知 ( )F s是是( )f t的的Laplace变换，则记变换，则记 1( )( ),f tF s L L并称并称( )f t为为( )F s的的Laplace逆变换逆变换. .0011 ( )d.ststu tetess L L因为在因为在Laplace变换中不必考虑变换中不必考虑 0t 时的情况，时的情况，所以经常记作所以经常记作 11.s L L例例8.1 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 1, 0( )0, 0tu tt 的的Laplace变换变换.根据根据Lapla

6、ce变换的定义，变换的定义， 当当Re0s 时，时， 例例8.2 求指数函数求指数函数 ( )atf te (其中其中a是实数是实数)的的Laplace变换变换. ()00( ) ( )dd ,atatsts a tF sf tee etet L LL L这个积分当这个积分当 Resa 时收敛，且时收敛，且 ()01d,s a tetsa 所以所以1 (Re).atesasa L L根据根据Laplace变换的定义变换的定义 回忆回忆,理解与问题理解与问题:(1) 回忆回忆:含参量积分含参量积分( , )( )baf x y dxI y08 1( . ):( )( )stF sf t edt就

7、是一个含参量的积分就是一个含参量的积分.(2) 拉氏变换实际是实函数拉氏变换实际是实函数f (t)的集合到复函数的集合到复函数F(s):( )( )Lf tF s的集合的一种对应关系的集合的一种对应关系所以记所以记F(s)为为Lf(t),并称并称F(s)为为f(t)的象函数的象函数. .集合集合A f(t)集合集合B F(s)L(3) 由由(2)产生了以下问题产生了以下问题: : 集合集合A中都有什么样的实函数中都有什么样的实函数? ? 换句话说换句话说, , A中不同实函数的象函数是否也不同中不同实函数的象函数是否也不同? ?若若L什么实函数有拉氏变换？什么实函数有拉氏变换？是是A到到B 的

8、一一对应的一一对应, ,则则L就有逆映射就有逆映射L L-1-1. . 内分段连续内分段连续, 并且当并且当t 时时, ( )f t的增长速度不的增长速度不超过某一指数函数超过某一指数函数, 即即存在常数存在常数0M 和和00,s 使得在使得在 0,) 上，上， 在在定理定理8.1 设函数设函数 ( )f t0t 的任何有限区间的任何有限区间0( ),s tf tMe 则在半平面则在半平面0Ress 上，上， ( )f tL L存在存在, 且且 ( ) ( )F sf t L L是是s的解析函数的解析函数, 其中其中 0s称为称为( )f t的增长指数的增长指数. 8.1.2 Laplace变

9、换存在定理变换存在定理 定理定理8.2如果如果0( )dstf t et 在在111si 处收敛，则这个积分在处收敛，则这个积分在 1Res 上处处收敛上处处收敛, 且且由这个积分确定的函数由这个积分确定的函数 ( )F s在在1Res 上解析；上解析；如果如果 0( )dstf t et 在在222si 处发散处发散, 则这个则这个积分在积分在 2Res 上处处发散上处处发散. 类似于幂级数中类似于幂级数中 ，有下面定理，有下面定理. 根据定理根据定理8.2，存在实数，存在实数s s (或是或是)使得在使得在 Ress s 上上, 积分积分0( )dstf t et 收敛收敛, 而在而在Re

10、ss s 上，积分上，积分0( )dstf t et 处处发散处处发散. 在收敛区域内，在收敛区域内， Laplace变换的变换的像函数像函数 ( ) ( )F sf t L L是是s的解的解析函数析函数. O实轴实轴虚轴虚轴s s例例8.3 求求( )sinf tt 的的Laplace变换变换. Laplace变换存在，且变换存在，且 2200sindsincosststeet tstts 22,s 于是于是22sin (Re0).tss L L类似可得类似可得 22cos (Re0).stss L L 因为因为0( )1,f te 故在故在 Re0s 上，上，注注:计算过程与高等数学算法一

11、致计算过程与高等数学算法一致,应用两次分部积分应用两次分部积分22sinkLktsk(Re( )0)s 记住结果记住结果法即可法即可.在学习了拉氏变换的微分性质以后在学习了拉氏变换的微分性质以后,我们我们还将给出本题的其它证明方法还将给出本题的其它证明方法.22cos (Re0).sLtss 例例8.4 求求( ) (1)f tt 的的Laplace变换变换. 解解 如果如果 是正整数是正整数 m, 则由分部积分法则由分部积分法, 易易求得求得1! (Re0).mmmtss L L方法方法, 可求出可求出当当1 不是正整数时不是正整数时, 利用复变函数论的利用复变函数论的11(1) (Re0)

12、,tss L L其中其中0(1)dxx ex 是是 函数函数.设设( )f t是以是以T 为周期的函数为周期的函数, 即即 ()( ) (0),f tTf tt 且在一个周期内分段连续，则且在一个周期内分段连续，则 (1)00 ( )( )d( )d .kTststkTkf tf t etf t et L L令令, 0, ),tkTT 则则(1)()0( )d()d ,kTTstskTkTf t etfkT e 例例8.5 周期函数的周期函数的Laplace变换变换(1)0( )d( )d .kTTstkTsskTf t etefe 而当而当Re0s 时，时，1,Tse 所以所以 (1)000

13、( )d( )dkTTstkTsstkTkkf t etef t et 01( )d ,1TstsTf t ete 于是于是01 ( )( )d .1TstsTf tf t ete L L这就是这就是周期函数的周期函数的Laplace变换公式变换公式. 1(1)1Ls附录附录3 3(见见P181 )给出了一些常见函数的拉氏变换给出了一些常见函数的拉氏变换. .请特别记住以下结果请特别记住以下结果( (六个六个):):1(2)ktL esk 1(1)(3)(1),mmmL tms 1!(1,2,)mmmL tms22(4)sinkLktsk22(5)cossLktsk(6)( )1Ltd定理定理

14、8.3设设 12, , , nsss是是 ( )F s的所有孤立的所有孤立奇点奇点(有限个有限个)， 除这些点外除这些点外, ( )F s处处解析处处解析, 且存且存在在00,R 当当0|sR 时时, ( )(| |),F sMs 其中其中( )M r是是r的实函数的实函数, 且且 lim( )0.rM r 选取选取, 使使所有所有孤立奇点都在孤立奇点都在 Res 内内, 则当则当 0t 时，时， 11( )dRes( ),2niststkikF s esF s esi 8.1.3 Laplace 逆变换计算公式逆变换计算公式1( )( )d (0),2istif tF s esti 其中其中

15、0,s 0s是是( )f t的增长指数的增长指数. 0 xy积分路径是积分路径是在右半平面在右半平面 0Ress 上的任意一条直线上的任意一条直线 Re.s 这就是这就是Laplace逆变换的逆变换的一般公式一般公式, 称为称为Laplace 变换变换的的反演积分反演积分. 应用应用Laplace变换的性质计算逆变换的方法，也是变换的性质计算逆变换的方法，也是常用的方法。常用的方法。Laplace逆变换的一种较一般的方法。后面还有逆变换的一种较一般的方法。后面还有 应用复变函数论中的留数理论作为工具，是计算应用复变函数论中的留数理论作为工具，是计算简便的方法。简便的方法。在使用时在使用时, 应

16、该根据具体情形采用应该根据具体情形采用例例 求求 2( )1sF ss 的的Laplace逆变换逆变换. 解解si 是是 21stses 的的1级极点，级极点， 由计算由计算 留数的法则，留数的法则， 21Res, ,122ststitsisseeiess 122( )Res, Res, 11ststssF seieiss L L1()cos .2ititeet 例例8.6 求求21( )(1)F ss s 的的Laplace逆变换逆变换. 解解和和2级极点级极点. 10s 和和21s 分别是分别是 21(1)stes s 的的1级级故由计算留数的法则故由计算留数的法则 2201Res, 0l

17、im1,(1)(1)ststsees ss211Res, 1lim(1),(1)ststtseee ts ss 1211(1) (0).(1)te tts s L L例例8.7求求 132.(1) (1)sss L L解解11s 和和21s 分别是分别是 32(1) (1)stsess的的3级和级和2级极点级极点. 故由计算留数的法则故由计算留数的法则 2322211dRes, 1lim(1) (1)2 !d(1)ststssseessss2(12),16tet 3231dRes, 1lim(1) (1)d(1)ststssseessss (21).16tet12321(12)(21) .(1

18、) (1)16ttsetetssL L当当( )F s是有理函数时是有理函数时, 可把它可把它化为部分分式化为部分分式 再求逆变换，一般来说这样更为方便再求逆变换，一般来说这样更为方便. 例例8.8求求 2351511( )(1)(2)ssF sss 的的Laplace逆变换逆变换. 解法解法111s 和和22s 分别是分别是 ( )stF s e的的1级级和和3级极点，级极点， 故由计算留数的法则故由计算留数的法则 231515111Res( ), 1lim,(2)3ststtsssF s eees 22221d51511Res( ), 2lim2!d1ststsssF s eess 222

19、2174.32tttetet e2221d9lim5202!d1stssess 3221189lim252!(1)(1)ststsetess 295201stst es 21223515111174.(1)(2)332ttssettess L L解法解法2( )F s可分解为形如可分解为形如 233251511,(1)(2)1(2)(2)2ssABCDssssss 可以求得可以求得11, 7, 4, .33ABCD 因为因为 1 !,()atnnne tsa L L所以所以 2122223515111714.(1)(2)323ttttsset eteess L L1 1 线性性质线性性质 3

20、3 像函数的微分性质像函数的微分性质 6 6 位移性质位移性质 5 5 像函数的积分性质像函数的积分性质 2 2 微分性质微分性质 4 4 积分性质积分性质 7 7 延迟性质延迟性质 10 10 卷积定理卷积定理 9 9 初值和终值定理初值和终值定理 8 8 相似性质相似性质 8.2 Laplace变换的性质变换的性质以下假定所考虑的以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数变换的像原函数都满足存在定理的条件都满足存在定理的条件. (1) 线性性质线性性质 设设 , 是常数，是常数， 11( )( ),F sf t L L22( )( ),F sf t L L则则 1212( )( )(

21、 )( )f tf tF sF s L L12( )( ),f tf tLLLL1111212( )( )( )( ).F sF sF sF sLLLLLL由由Laplace变换的定义及积分的线性性质可证变换的定义及积分的线性性质可证. (2) 微分性质微分性质 设设 ( ) ( ),F sf t L L则则 ( )( )(0).ftsF sf L L此性质可以将此性质可以将f (t)的微分方程转化为的微分方程转化为F(s)的代数方程的代数方程. .推论推论对正整数对正整数n, 有有 ( )1(1)( )( )(0)(0).nnnnfts F ssffL L特别地，当特别地，当 (1)(0)(

22、0)(0)0nfff 时，时， ( )( )( ).nnfts F s L L在这个性质中，要求在这个性质中，要求( )( )kft存在且满足存在且满足Laplace 变换存在定理的条件变换存在定理的条件(1).kn 22coscos(0)(0),tstsff LLLL例例8.9求求( )cosf tt 的的Laplace变换变换. 解因为解因为2(0)1, (0)0, ( )cos t,ffft 22coscos,tstsLLLL所以所以22cos.sts L L使用同样方法，可得使用同样方法，可得 22sin.ts L L参见例参见例8.3, 8.3, 与这里方法不同与这里方法不同 根据根

23、据 和线性性质和线性性质 例例8.10求求2( )sinf ttt 的的Laplace变换变换. 解根据线性性质与解根据线性性质与2sintt L L2sintt LLLL3222!.ss 利用利用 也可以求出当也可以求出当m是正整数时，是正整数时， 1!.mmmts L L参见例参见例8.4 事实上事实上, 设设 ( ),mf tt 则则 (1)(0)(0)(0)0.mfff 因为因为 ()( )!,mftm 11,s L L所以所以 !1.mmmst L LL L于是于是 1!.mmmts L L(3) 像函数的微分性质像函数的微分性质 设设 ( ) ( ),F sf t L L则则 (

24、)( ).F stf t L L一般地，对正整数一般地，对正整数n, 有有 ( )( )( 1)( ).nnnFst f t L L例例8.11 求求( )sinf ttt 的的Laplace变换变换. d sinsindttts LLLL22222d2.d()ssss 使用同样方法，可得使用同样方法，可得22222d coscos.d()stttss L LL L 根据根据 与与例例8.12 求求 221222 (0).()saasa L L解因为解因为 222222222 222 2d12,d()()ssasssasasasa 22dcos, ( )( ) ,dsattf tf tsas

25、LLLLLL所以所以221222cos.()satatsa L L(4) 积分性质积分性质 设设 ( ) ( ),F sf t L L则则 01( )d( ).tf ttF ss L L(5) 位移性质位移性质 设设 ( ) ( ),F sf t L L则则 0( )() Re(),atef tF sasas L L其中其中0s是是( )f t的增长指数的增长指数. 例例8.13求求 sinatteatL L和和 cos.atteatL L2222 sin.()astatsa L L故根据故根据 22 22 ()sin.()ata sateatsaa L L使用同样方法，可得使用同样方法，可得

26、 2222 222 2()(2 )cos.()()atsaas sateatsaasaa L L 由例由例9 例例8.14求求 0sind.tatteat t L L22 202 ()sind.()tata sateat ts saa L L使用同样方法，可得使用同样方法，可得22 202cosd.()tatsateat tsaa L L 根据例根据例10 与与 (6) 像函数的积分性质像函数的积分性质 设设 ( ) ( ),F sf t L L且且 0( )limtf tt 存在，积分存在，积分 ( )dsF uu 收敛，则收敛，则 ( )( )d.sf tF uut L L推论推论如果像函

27、数积分性质的条件满足如果像函数积分性质的条件满足, 且且积分积分0( )df ttt 收敛，则收敛，则00( )d( )d .f ttF sst 例例8.15求求 sin( )tf tt 的的Laplace变换，并变换，并0sind .ttt 求积分求积分解由解由 已知已知 21sin ,1ts L L故根据故根据 2sin1darctan12stssts L L再利用再利用 200sin1dd.12ttsts (7) 延迟延迟(平移平移)性质性质 设设 ( ) ( ),F sf t L L若当若当 时时, 0t ( )0,f t 则对任何非负实数则对任何非负实数 , 有有 ()( ).sf

28、teF s L LOt f (t)f (t)(8) 相似性质相似性质 设设 ( ) ( ),F sf t L L则则 1 () (0),sf atFaaa L L其中其中0Re.sas 下面介绍下面介绍Laplace变换的卷积性质变换的卷积性质卷积定理卷积定理. Laplace变换的卷积性质不仅能用来求出某些函数变换的卷积性质不仅能用来求出某些函数 的的Laplace逆变换逆变换, 而且在线性系统的研究中起着重而且在线性系统的研究中起着重 要作用要作用. 因为在因为在Laplace变换中变换中, 总认为总认为t 0时像原函数时像原函数 恒为零恒为零. 因此因此, ( )f t1( )f t与与

29、 2( )f t的卷积为的卷积为 1212120( )( )( )( )()d .tf tf tfftff t 卷积定理卷积定理 设设 1( )f t和和2( )f t满足满足Laplace变换变换 存在的条件，即存在存在的条件，即存在 0M 和和00,s 使得使得 0012( ), ( ).s ts tf tMef tMe 如果如果1122( )( ), ( )( ),F sf tF sf t L LL L则则 1212( )( )( ),fftF s F s L L或或 11212( )( )( ).F s F sfft L L 对一个系统进行分析和研究对一个系统进行分析和研究, , 首先

30、要知道该首先要知道该系统的数学模型系统的数学模型, , 也就是要建立该系统特性的数也就是要建立该系统特性的数学表达式学表达式. . 所谓线性系统所谓线性系统, , 在许多场合在许多场合, , 它的数它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述学模型可以用一个线性微分方程来描述, , 或者说或者说是满足叠加原理的一类系统是满足叠加原理的一类系统. . 这一类系统无论是这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中在电路理论还是在自动控制理论的研究中, , 都占都占有很重要的地位有很重要的地位. . 本节将主要讨论拉氏变换在求本节将主要讨论拉氏变换在求解线性微分方程中的应用解线性微分方程中的应用

31、. .8.3 8.3 Laplace变换的应用变换的应用像原函数像原函数(常微分方程的解常微分方程的解)像函数像函数常微分方程常微分方程像函数的像函数的代数方程代数方程Laplace逆变换逆变换Laplace变换变换解代数方程解代数方程基本思路基本思路例例8.16求常系数线性微分方程的初值问题求常系数线性微分方程的初值问题 ( )2( )2 ( )2cos(0)(0)0tx tx tx tetxx 的解的解.解设解设 ( ) ( )X sx t L L是初值问题解是初值问题解 ( )x t的的 Laplace变换的像变换的像. 对方程两边进行对方程两边进行Laplace变换，变换， 根据根据 和初值条件和初值条件, 2( )2( )2( )2cos .ts X ssX sX setL L利用利用 2cos 1sts L L及及22(1)2cos ,(1)1tsets L L2222(1)1( ).(1)1(1)1sX sss 因为因为21sin ,1ts L L所以所以21sin .(1)1tets L L由由21sin ,(1)1ttets L L于是于是112222(1)1( )(