(系列二)第2课时等差数列及其前n项和课件

1、数学数学 A（理）理）第三章 数 列3.2等差数列及其前n项和 基础基础知识知识 自主学习自主学习 题型题型分类分类 深度剖析深度剖析 思想方法思想方法 感悟感悟提高提高 练出高分练出高分基础知识自主学习知识梳理1.等差数列的定义如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示.从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数公差d基础知识自主学习知识梳理2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 .3.等差中项如果 ，那么A叫做a与b的等差中项.ana1(n1)d基础知识自主学习知识梳理4.等差数列的常用性质

2、(1)通项公式的推广：anam (n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则 .(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 .(nm)dakalaman2d基础知识自主学习知识梳理(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列.(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*) 是公差为 的等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn 或.md基础知识自主学习知识梳理6.等差数列的前n项和公式与函数的关系数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数).7.等差数列的前n项和的

3、最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值；若a10，则Sn存在最 值.大小基础知识自主学习知识梳理u 思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.( )(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( )基础知识自主学习知识梳理(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( )(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列. ( )(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，

4、则数列an一定是等差数列.( )基础知识自主学习考点自测题号答案解析1234 CBB49解析故当n7时，f(n)取最小值，f(n)min49.nSn的最小值为49.题型分类深度剖析例1(1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为()题型一等差数列基本量的运算题型一等差数列基本量的运算解析答案思维升华题型分类深度剖析例1(1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为()题型一等差数列基本量的运算题型一等差数列基本量的运算解析答案思维升华题型分类深度剖析例1(1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2a

5、n112an，则数列an前10项的和为()题型一等差数列基本量的运算题型一等差数列基本量的运算C解析答案思维升华题型分类深度剖析例1(1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为()题型一等差数列基本量的运算题型一等差数列基本量的运算C等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.解析答案思维升华题型分类深度剖析解析答案思维升华例1 (2)(2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A.3 B.4 C.5 D.6题型分类

6、深度剖析例1 (2)(2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A.3 B.4 C.5 D.6解析答案思维升华由题意得amSmSm12，am1Sm1Sm3，故d1，题型分类深度剖析例1 (2)(2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A.3 B.4 C.5 D.6解析答案思维升华因为amam1Sm1Sm15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.题型分类深度剖析解析答案思维升华例1 (2)(2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()

7、A.3 B.4 C.5 D.6因为amam1Sm1Sm15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.C题型分类深度剖析解析答案思维升华例1 (2)(2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A.3 B.4 C.5 D.6C数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.题型分类深度剖析跟踪训练1(1)若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于()A.12 B.13 C.14 D.15解析故a35，公差da3a22，a7a25d35213.B题型分类

8、深度剖析解析 S426d20，d3，故S6315d48.(2)记等差数列an的前n项和为Sn，若a1 ，S420，则S6等于()A.16 B.24 C.36 D.48D题型分类深度剖析解析D数列an的公差为2.题型分类深度剖析例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27题型二等差数列的性质及应用题型二等差数列的性质及应用解析答案思维升华题型分类深度剖析解析答案思维升华题型二等差数列的性质及应用题型二等差数列的性质及应用由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列.即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S

9、62S63S345，故选B.例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27题型分类深度剖析解析答案思维升华题型二等差数列的性质及应用题型二等差数列的性质及应用由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列.即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故选B.B例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27题型分类深度剖析解析答案思维升华题型二等差数列的性质及应用题型二等差数列的性质及应用在等差数列an中，数列Sm，S

10、2mSm，S3mS2m也成等差数列；B例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27等差数列的性质是解题的重要工具.题型分类深度剖析解析答案思维升华例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13 B.12 C.11 D.10题型分类深度剖析因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为a1ana2an1a3an2，解析答案思维升华例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有

11、项的和为390，则这个数列的项数为()A.13 B.12 C.11 D.10题型分类深度剖析所以3(a1an)180，从而a1an60，解析答案思维升华例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13 B.12 C.11 D.10题型分类深度剖析A解析答案思维升华例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13 B.12 C.11 D.10所以3(a1an)180，从而a1an60，题型分类深度剖析解析答案思维升华例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后

12、3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13 B.12 C.11 D.10A在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；等差数列的性质是解题的重要工具.题型分类深度剖析例2(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014， 6，则S2 016_.解析答案思维升华题型分类深度剖析例2(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014， 6，则S2 016_.解析答案思维升华由等差数列的性质可得 也为等差数列，设其公差为d.S2 01612 0162 016.题型分类深度剖析例2(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，

13、 6，则S2 016_.解析答案思维升华2 016由等差数列的性质可得 也为等差数列，设其公差为d.S2 01612 0162 016.题型分类深度剖析例2(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014， 6，则S2 016_.解析答案思维升华2 016在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；等差数列的性质是解题的重要工具.题型分类深度剖析跟踪训练2 (1)设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a1a2a7等于()A.14 B.21 C.28 D.35解析a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.C题型分类深度剖析跟踪训练2 (2)已知等

14、差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.解析S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.60题型分类深度剖析解析题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明例3思维升华题型分类深度剖析题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明例3解析思维升华题型分类深度剖析题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明例3解析思维升华题型分类深度剖析等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数.题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明例3

15、解析思维升华题型分类深度剖析(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列.题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明例3解析思维升华题型分类深度剖析(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列.(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列.题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明例3解析思维升华题型分类深度剖析例3(2)求数列an中的最大项

16、和最小项，并说明理由.解析思维升华题型分类深度剖析例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.解析思维升华题型分类深度剖析例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.解析思维升华所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.题型分类深度剖析例3(2)数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项公式为an_.解析思维升华等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数.题型分类深度剖析例3(2)数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项公式为an_.解析思维升华(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan

17、2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列.题型分类深度剖析例3(2)数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项公式为an_.解析思维升华(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列.(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列.题型分类深度剖析跟踪训练3(1)若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是()A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列 D.公差为9的等差数列解析

18、 (1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226，a2n12a2n是公差为6的等差数列.C题型分类深度剖析解析题型分类深度剖析A题型分类深度剖析高频小考点高频小考点7 等差数列等差数列的前的前n项和及其最项和及其最值值典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10等于()A.45 B.60 C.75 D.90解 析思 维 点 拨 温 馨 提 醒题型分类深度剖析高频小考点高频小考点7 等差数列等差数列的前的前n项和及其最项和及其最值值典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则

19、此数列前10项的和S10等于()A.45 B.60 C.75 D.90(1)求等差数列前n项和，可以通过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a1ana2an1；解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析高频小考点高频小考点7 等差数列等差数列的前的前n项和及其最项和及其最值值典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10等于()A.45 B.60 C.75 D.90由题意得a3a89，解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析高频小考点高频小考点7 等差数列等差数列的前的前n项和及其最项和及其最

20、值值典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10等于()A.45 B.60 C.75 D.90由题意得a3a89，A解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析高频小考点高频小考点7 等差数列等差数列的前的前n项和及其最项和及其最值值典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10等于()A.45 B.60 C.75 D.90A利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减少了运算量.解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S1

21、10_.解 析思 维 点 拨 温 馨 提 醒题型分类深度剖析(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110_.求等差数列前n项和，可以通过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a1ana2an1；解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110_.方法一设数列an的公差为d，首项为a1，解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110_.所以a11a1002，解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析(2)在

22、等差数列an中，S10100，S10010，则S110_.110.解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110_.110解 析温 馨 提 醒110.思 维 点 拨 题型分类深度剖析(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110_.利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减少了运 算量.110解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_.解 析思 维 点 拨 温 馨 提 醒题型分类深度剖析(3)已知等差数列an的首项a120，公

23、差d2，则前n项和Sn的最大值为_.解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 求等差数列前n项和的最值，可以将Sn化为关于n的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项.题型分类深度剖析(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_.因为等差数列an的首项a120，公差d2，代入求和公式得，又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110.解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_.110因为等差数列an的首项a120，公差d2，

24、代入求和公式得，又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110.解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_.利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时，要注意到nN*；110解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨 题型分类深度剖析(4)(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，a7a100，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80，a7a100，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80，a7a100 B.a2a1000，a4a70，a10a110

25、，a10a110可知d0，a110，a710；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6.345678910126练出高分A组专项基础训练34567891012练出高分A组专项基础训练9.在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；解设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.34567891012练出高分A组专项基础训练(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值.解由(1)可知an32n，由Sk35，可得2kk235，即k22k3

26、50，解得k7或k5.又kN*，故k7.34567891012练出高分A组专项基础训练10.设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此时n的值；解设公差为d，则由S2 01502 015a1 d0a11 007d0，34567891012练出高分A组专项基础训练34567891012a10，nN*，当n1 007或1 008时，Sn取最小值504a1.练出高分A组专项基础训练34567891012(2)求n的取值集合，使其满足anSn.a10，n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016，nN*.练出高分B组专项能力提升1213141511练出高分B组专项能力提升121314151111.已知数列an为等差数列，若 0的n的最大值为()A.11 B.1