电路定理(戴维宁和诺顿变换)

1、第四章第四章电路定理电路定理本章作业n4-2n4-4(2)n4-7n4-12（a）T（c）Nn4-17本章目录n4-1 叠加定理n4-2 替代定理n4-3 戴维南定理和诺顿定理n4-4最大功率传递定理n4-5 特勒根定理n4-6 互易定理n4-7 对偶原理本章要求n重点重点1.叠加原理及应用叠加原理及应用2.戴戴诺定理的熟练掌握诺定理的熟练掌握3.最大功率传递最大功率传递n难点难点1.含受控源电路的分析含受控源电路的分析2.特勒根定理及互易定理的应用特勒根定理及互易定理的应用*4-1叠加定理叠加定理superposition theorem齐次定理齐次定理homogeneity theorem

2、一、几个概念1.线性电路(linearity circuit) ：2.线性(linarity)n 齐次性（homogeneity）n 相加性(additivity) 3.激励（excitation）与响应(response) ：二、叠加定理 (superposition theorem) 1. 叠加定理：叠加定理：在任何线性电路中，任何元件的电流或电压都可以看成是各个独立源单独作独立源单独作用用时，所产生的电流或电压的代数和代数和。E1 单独作用单独作用R2(c)R3E2+R1I 1I 2I 3例例1求电压求电压U.8 12V3A+6 3 2 +U8 3A6 3 2 +U(2）8 12V+6

3、3 2 +U(1)画出分画出分电路图电路图12V电源作用：电源作用：VU43912)1( 3A电源作用：电源作用：VU63)3/6()2( VU264 解解例例210V2Au2 3 3 2 求电流源的电压和发出求电流源的电压和发出的功率的功率10VU（1）2 3 3 2 2AU（2）2 3 3 2 Vu21052531 )()(Vu84225322.)( Vu86. WP613286. 画出分画出分电路图电路图为两个简为两个简单电路单电路10V电源作用：电源作用：2A电源作用：电源作用：例例3u12V2A1 3A3 6 6V计算电压计算电压u。画出分画出分电路图电路图1 3A3 6 u（1）V

4、u931361 )/()(Viu8126622 )()(12V2A1 3 6 6Vu (2）i (2)Ai2361262 )/()()(Vuuu178921 )()(说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。3A电流源作用：电流源作用：其余电源作用：其余电源作用：例例4计算电压计算电压u电流电流i。画出分画出分电路图电路图u（1）10V2i (1)1 2 i（1） )/()()()(1221011 iiViiiu63211111

5、)()()()(Ai21 )(Vu826 u10V2i1 i2 5Au(2)2i (2)1 i (2)2 5A )()()()(02512222 iiiAi12 )(Viu212222 )()()(Ai112 )(受控源始受控源始终保留终保留10V电源作用：电源作用：5A电源作用：电源作用：例题5：n分析：所求的电压uO可以看作是所有激励产生的响应，根据叠加原理可知，响应与所有激励之间为一次线性函数关系。3.例题5：2.定理说明适用范围适用范围：线性电路。：线性电路。某个独立源某个独立源单独作用单独作用=其它独立电源其它独立电源不作不作用用(置零置零)：电压源短路；电流源开路电压源短路；电流源

6、开路。代数和代数和：分量的：分量的参考方向参考方向最后叠加时要考最后叠加时要考虑和原量是否一致虑和原量是否一致, 相反相反时，叠加时相应项时，叠加时相应项前要带前要带负号负号。功率不能叠加功率不能叠加。12112112111211 ) (RIRIRIIRIP 2.定理说明无源元件结构不变。无源元件结构不变。受控源同受控源同R一样一样保留保留在电路中，控制量在电路中，控制量在原来的位置标注。在原来的位置标注。应用叠加原理时可把电源分组求解应用叠加原理时可把电源分组求解 ，即每个即每个分电路中的电源个数可以多于一分电路中的电源个数可以多于一个个。课堂作业： 求UX。 6V + I 5A + 2 U

7、X 4 - 2XU 3.例题1 ： 求UX。n电流源单独作用：电压源短路。 5A + 2 UX 4 - 2XU (a)412125xxUU3.例题1 ： 求UX。 6V + + 2 UX 4 - 2 XU (b)n电压源单独作用：电流源开路。 1 12641)4121(xnxnUUUU1. 齐次定理：在任何线性电阻、线性受控源及独立源组成的电路中，当所有的激励都同时增大或缩小K倍，响应也将同样增大或缩小K倍。三、齐次定理 (homogeneity theorem)R2+ E1I2I3R1I1R2若若 E1 增加增加 n 倍，各倍，各电流也会增加电流也会增加 n 倍。倍。采用倒推法：设采用倒推法

8、：设i=1A。则则求电流求电流 i 。RL=2 R1=1 R2=1 us=51V+2V2A+3V+8V+21V+us=34V3A8A21A5A13AiR1R1R1R2RL+usR2R2i =1AAiuuiuuii5 . 113451 ssss即解解齐性原理齐性原理（homogeneity property)4-2 替替 代代 定定 理理 （置换定理）（置换定理） Substitution theorem4. 2 4. 2 替代定理替代定理 ( (Substitution TheoremSubstitution Theorem) )对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为对于给定的任意一个电路，

9、若某一支路电压为u uk k、电流为电流为i ik k，那么这条支路就可以用一个电压等于，那么这条支路就可以用一个电压等于u uk k的的独立电压源，或者用一个电流等于独立电压源，或者用一个电流等于i ik k的的 独立电流源，独立电流源，或用一个或用一个R=R=u uk k/ /i ik k的电阻来替代，替代后电路中全部电的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值压和电流均保持原有值( (解答唯一解答唯一) )。ik支支路路 k ik+uk+ukik+ukR=uk/ik 替代前后替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的关系相同，其余支路的u、i关关系不变。用系不变。用uk替代后，

10、其余支路电压不变替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支其余支路电流也不变，故第路电流也不变，故第k k条支路条支路ik也不变也不变(KCL) )。用。用i ik k替代后，替代后，其余支路电流不变其余支路电流不变(KCL) )，其余支路电压不变，故第，其余支路电压不变，故第k k条支条支路路uk也不变也不变(KVL)。原因原因注：注：1.1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。3.3.替代后其余支路及参数不能改变。替代后其余支路及参数不能改变。2. 2. 替代后电路必须有唯一解替代后电路必须有唯一解无电压源回路；无电压源回路；无电流源

11、节点无电流源节点( (含广义节点含广义节点) )。1.5A1.5A10V5V2 5 2.5A1A 5V+？aE+-baE+-bROaE+-bIsn 与理想电压源并联的元件的处理：aE+-bIsIsababRIsn 与理想电流源串联的元件的处理：例例1 1试求试求i1。解解用替代：用替代：6 5 +7V3 6 I1+1 2 +6V3V4A4 2 4 4A7VI1AI526154242671. I1IRR8 3V4 b2 +a20V3 I例例2 2已知已知: uab=0, 求电阻求电阻R。C1A解解用替代：用替代：AIIuab1033 用结点法：用结点法：VuC20 142014121 aua)(

12、 点点对对Vuuba8 AI11 AIIR211 VuuubCR12820 6212R4-3 戴维南定理戴维南定理Thevenin theorem 诺顿定理诺顿定理 Norton theorem1、定理定理内容内容 1 1 Req + uoc 1 1 - (a) (b) 1 1 + uoc Req - 1 1 (c) (d) NS 外外电电路路 NS 外外电电路路 N0 I例例Uocab+Req5 15V- -+(1) 求开路电压求开路电压Uoc(2) 求等效电阻求等效电阻Req10 10 +20V+U0Cab+10V1A5 2A+U0CabAI5 . 0201020 510/10 eq RV

13、Uoc1510105 . 0 2、定理的证明定理的证明 1 i(t ) + u(t ) _ _ 2 N 外外 电电 路路 替代定理替代定理叠加叠加定理定理ioc=0+ _ uOCNSs 1 i(t) iS(t) u(t) _ 2 N s)()(titiS)()()(0t iRutuutueqocNoci(t)iS(t)+ _ UN0NOReq2、定理的证明定理的证明 1 i(t ) + u(t ) _ _ 2 N 外外 电电 路路 s)()()(0t iRutuutueqocNoc 网络网络 N 1 Req + i(t) + u(t) uoc _ _ 外外 电电 路路 + R1 c R3US

14、a b _ R2 d R4 I RL （a）当当RL变化时，变化时，要要求求I的值每次都须的值每次都须列方程求解一次；列方程求解一次；如果用前面的如果用前面的“支支路法路法”、“回路法回路法”或或“节点法节点法”计算计算负载电阻上电流较负载电阻上电流较麻烦。麻烦。这类问题这类问题只关系某只关系某一条支路的响应一条支路的响应，我们将不变的部分我们将不变的部分化简成最简形式化简成最简形式戴维南模型戴维南模型或或诺诺顿模型顿模型。首先将响。首先将响应所求支路去掉形应所求支路去掉形成成NS一端口。一端口。4、例题、例题例例1 已知：已知：R1=20 、 R2=30 、R3=30 、 R4=20 、E=

15、10V 求：求：1）当）当 RL=10 时，时，I=? 2）当）当 RL=50 时，时，I=?步骤一：求步骤一：求UOC。 + R1 c R3 US a b _ R2 d R4 + Uoc - VRRRRRRRRURRRURRRUUUUUssscbacaboc2)(43213241343121开路电压开路电压24)()()(/4321214343214321RRRRRRRRRRRRRRRRReq步骤二：求步骤二：求Req + R1 c R3 US a b _ R2 d R4 R1 R3 R2 R4 Req 无源等效电阻无源等效电阻1）将）将NS化成化成NO：将所：将所有有US、IS置零。置零。

16、LocRRUI0步骤三：画出戴维南等效电路步骤三：画出戴维南等效电路。RLUOC + I Req 10LR时：时：A059. 010242I 50LR时：时：A027. 050242I1 1）法一：法一：NsN0 纯纯R-串、并联、串、并联、Y-含受控源含受控源-加源法加源法法二：法二：Ns中中求求U UOC OC 、I IscscR Reqeq= U= UOC OC /I/Iscsc3、定理的说明定理的说明2)2)也可应用：将其也可应用：将其中的线性部分作中的线性部分作T T等效变换。等效变换。3)3)的处理：同的处理：同R，保留且，保留且原位标出控制量。原位标出控制量。3、定理的说明定理的

17、说明例例2 用戴维南定理求：用戴维南定理求：U=?4 4 50 5 33 AB1ARL+_8V+10VCDEU第一步：求开端电压第一步：求开端电压U0C；_+4 4 50 AB+_8V10VCDEU0C1A5 +-V954010UUUUUEBDECDAC0第二步：求输入电阻第二步：求输入电阻 Req。4 4 50 5 AB1A+_8V_+10VCDEU04 4 50 5 先将先将NS变成变成N0：5754/450R0第三步：画出等效电路第三步：画出等效电路+_ER057 9V33 第四步：求解未知电压第四步：求解未知电压V3 . 33333579U例例3 求下图的戴维南模型。求下图的戴维南模型

18、。+-40V5200.75icic求求U0 。3 3 6 I+9V+U0ab+6I例例4Uocab+Req3 U0- -+解解(1) 求开路电压求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V+Uoc(2) 求等效电阻求等效电阻Req方法方法1：加源法：加源法-求端口求端口电压电流比电压电流比U0=6I+3I=9II=I0 6/(6+3)=(2/3)I0U0 =9 (2/3)I0=6I0Req = U0 /I0=6 3 6 I+Uab+6II0方法方法2：开路电压、短路电流：开路电压、短路电流(Uoc=9V)6 I1 +3I=9I=- -6I/3=- -2II=0Isc=I1=9

19、/6=1.5AReq = Uoc / Isc =9/1.5=6 3 6 I+9VIscab+6II1独立源置零独立源置零独立源保留独立源保留(3) 等效电路等效电路abUoc+Req3 U0- -+6 9VV393630 U 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。求求负载负载RL消耗的功率。消耗的功率。例例5.100 50 +40VRLab+50VI14I150 5 解解(1) 求开路电压求开路电压Uoc100 50 +40VabI14I150

20、+Uoc100 50 +40VabI1200I150 +Uoc+40100200100111 IIIAI1 . 01 VIUoc101001 (2) 求等效电阻求等效电阻Req用开路电压、短路电流法用开路电压、短路电流法Isc50 +40VabIsc50 AIsc4 . 0100/40 254 . 0/10scoceqIURabUoc+Req5 25 10V50VILAUIocL2306052550 WIPLL204552 诺顿定诺顿定理理 1 1 isc Req 1 1 (a) (b) 1 1 isc Req 1 1 (c) (d)NS外外电电路路NS外外电电路路N01、定理定理内容内容外电

21、路短外电路短路电流路电流N0等效等效电阻电阻2 2、例题、例题1 1：求：求N N等效电路。等效电路。+40V5200.75icic步骤一：求步骤一：求I ISCSC；+40V5200.75icicIscAiiiIcccsc1454075. 175. 175. 05200.75icic步骤二：求步骤二：求R Reqeq；+u-i78. 175. 02011575. 02055575. 020ccccccceqiiiiiuiuiuiuR步骤三：画出步骤三：画出N N等效电路。等效电路。ReqISCAIsc1478. 1eqR例例2 用用 N N等效电路求等效电路求I I 2.25k + I12

22、_ 1k 2k 3k 2mA(a) 2.25k Ro 1k 3k(b)将独将独立源立源置零置零kRo33/125. 2求求Is这一部分可这一部分可能会遇到复能会遇到复杂电路，就杂电路，就可以用网孔可以用网孔法或节点法法或节点法来解决来解决 用叠加定理求用叠加定理求Is:Is: + 2.25k_ 12 1k Isc 3k 2mA(c) + 2.25k_ 12 1k Isc 3k (d) 2.25k Isc 1k 3k 2mA(e)mAIsc125. 2111/25. 2312mAIsc2 mAIIIscscsc112 I 3k 2k -1mA(f)电路等效为：电路等效为： mAI6 . 0233

23、1 4-4 最大功率传输最大功率传输1、内容、内容 + Ro i Uoc RL _LLoocLLRRRURiRP22)()(由线性单口网络传由线性单口网络传递给可变负载递给可变负载RL的的功率为最大的条件：功率为最大的条件： RL=R0。 oocRUP42max2)( LeqocLRRuRP RL P0P max0)()(2)( 422 LeqLeqLLeqocRRRRRRRuPeqLRR eqocRuP4 2max 最大功率匹配条件对对P求导：求导：2、说明、说明1)适用于电源（或信号）的适用于电源（或信号）的内阻内阻R0一定一定，而而负载负载RL变化的情况；变化的情况；2)如果如果负载负载

24、RL一定一定，而，而内阻内阻R0可变可变的话，的话，内阻越小，负载获得的功率越大，当内阻内阻越小，负载获得的功率越大，当内阻为零时，负载获得的功率最大。为零时，负载获得的功率最大。1十分重要，常常简化复杂电路，即将不十分重要，常常简化复杂电路，即将不需要进行研究的有源二端网络用戴维南或诺需要进行研究的有源二端网络用戴维南或诺顿等效来代替，以利于分析计算。顿等效来代替，以利于分析计算。2. 2. 如果外电路为如果外电路为非线性电路非线性电路，定理仍然适，定理仍然适用。用。四、四、 关于这两个定理的说明关于这两个定理的说明 3. 并非任何线性含源一端口网络都并非任何线性含源一端口网络都有戴维南或诺

25、顿等效电路。如只能有戴维南或诺顿等效电路。如只能等效为一个理想电压源或理想电流等效为一个理想电压源或理想电流源，那么它就源，那么它就只具有其中一种等效只具有其中一种等效电路电路。四、四、 关于这两个定理的说明关于这两个定理的说明 4. 受控源电路受控源电路：外电路不能含有控制：外电路不能含有控制量在一端口网络量在一端口网络NS之中的受控源，但之中的受控源，但是控制量可以为端口电压或电流。是控制量可以为端口电压或电流。四、四、 关于这两个定理的说明关于这两个定理的说明 例例RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。 20 +20Vab3A+URRL10 1

26、0RU(1) 求开路电压求开路电压Uoc(2) 求等效电阻求等效电阻Req503eqURIUocI1I21210,20RRIUIU123IIA101020 / 3RUIUII23 10 202070ocUIV 20 +Iab+UR10 10RUUI2I1122 ,1IA IA1210,20RRIUIU12III(3) 由最大功率传输定理得由最大功率传输定理得:503LeqRR时其上可获得最大功率时其上可获得最大功率22max7073.54450 / 3oceqUPWR4-5 4-5 特勒根定理特勒根定理Tellegens Theorem一、特勒根定理一、特勒根定理1（功率平衡定理）（功率平衡定

27、理）bkkkiu101 1、内容、内容 对于一个具有对于一个具有n n个结点个结点b b条支路的条支路的电路，假设各支路上的电路，假设各支路上的uk、ik都取都取关联关联方向，则：方向，则： )(01吸收功率bkkP一、特勒根定理一、特勒根定理1（功率平衡定理）（功率平衡定理）2 2、定理的证明、定理的证明基尔霍夫定律基尔霍夫定律 3 3、意义、意义在任意网络在任意网络N N中，在任意瞬中，在任意瞬时时t t，各个支路吸收的功率的代数和恒，各个支路吸收的功率的代数和恒等于零。也就是说，该定理实质上是等于零。也就是说，该定理实质上是功率守恒的具体体现。功率守恒的具体体现。 一、特勒根定理一、特勒

28、根定理2（拟功率平衡定拟功率平衡定理）理）1 1、内容、内容 对于对于两个两个具有具有n n个结点个结点b b条支路的条支路的电路，它们电路，它们具有相同的图具有相同的图，但由，但由内容内容不同不同的支路组成。假设图的支路组成。假设图1 1的的uk、ik和和图图2 2的的 都取都取关联关联方向，则：方向，则： kki、ubkkkiu10bkkkiu102 2、定理的证明、定理的证明 同前同前3 3、意义、意义 -实质上是拟功率守恒的具体实质上是拟功率守恒的具体体现体现 二、特勒根定理二、特勒根定理2（拟功率平衡定理）（拟功率平衡定理）例1：R1US+-NRR2U2-+i1i2已知：R1=R2=

29、2时，US=8V，I1=2A，U2=2V；当R1=1.4，R2=0.8时，求：?,3,921UAIVUS求bkkkiu10bkkkiu10bkkkbkkkiuiu11RRRRRRRRuiRiiiRiiu)()(而其中的而其中的NR：22112211iuiuiuiu12+U1-例1：R1US+-NRR2u2-+i1i2已知：已知：R1=R2=2时，时，US=8V，i1=2A，u2=2V；当当R1=1.4，R2=0.8时，时，求：求：?,3,921uAiVUS求RRRRRRRRuiRiiiRiiu)()(而其中的而其中的NR：22112211iuiuiuiuVRiUuS422811112Vu22A

30、RuiAi1,22221AuRuiAi2222218 . 0,3Vu8 . 44 . 1391?2u1.6V+u1 例例2.解解P+U1+U2I2I1P+2 1 U2 U1 I2 I已知：已知： U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1AV102U.1 U求求 )()(22112211IUIUIUIU 112 IUV.11 U )(2221111IUIUUU 110)5(21011 UU应用特勒根定理需注意：应用特勒根定理需注意：（1 1）电路中的支路电压必须满足）电路中的支路电压必须满足KVL; ;（2 2）电路中的支路电流必须满足）电路中的支路电流必须满足KCL; ;（3 3）电

31、路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向； （否则公式中加负号）（否则公式中加负号）（4 4）定理的正确性与元件的特征全然无关。）定理的正确性与元件的特征全然无关。4. 6 互易定理互易定理 (Reciprocity Theorem)4. 6 互易定理互易定理 (Reciprocity Theorem)互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易

32、性的网络叫互易同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。1. 1. 互易定理互易定理 对一个仅含电阻的二端口电路对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。一、一、定理的形式一定理的形式一 1 i 1 i2 2 1 1i 2i 2 + + us us _ _ N N 1 2 1 2 21ii 激励激励电压源电压源电流电流响应响应当当 uS = uS 时，时，证明证明:由特勒根定理：由特勒根定理： 0 011 bkkkbkkkiuiu和和 0 32211322111 bkkkkbkkkbkkkiiRiuiuiuiuiuiu即：即： 0 32211322111 bkkkkbkkkbkkkiiRiuiuiuiuiuiu两式相减，得两式相减，得 22112211iuiuiuiu 将图将图(a)(a)与图与图(b)(b)中支路中支路1 1，2