南理工高等数学下第11章 无穷级数11-1

1、一、问题的提出一、问题的提出1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正 形的面积形的面积n23 naaa 21naaaA 21即即 n10310003100310331. 2级数的概念级数的概念1. 1. 级数的定义级数的定义: : nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: : 当当n无限增大时无限增大时, ,

2、如果级数如果级数 1nnu的部分和的部分和数列数列ns有极限有极限s, , 即即 ssnn lim 则称无穷级数则称无穷级数 1nnu收敛收敛, ,这时极限这时极限s叫做级数叫做级数 1nnu的和的和. .并并写成写成 321uuus如如果果ns没没有有极极限限, ,则则称称无无穷穷级级数数 1nnu发发散散. .即即 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) )余项余项nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误误差差为为nr)0lim( nnr无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. .做法：先给定一个正三

3、角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面积积为为周周长长为为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形播放播放, 2 , 1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn 112

4、1211)91(43)91(43913AAAAnn , 3 , 2 n周长为周长为面积为面积为)94(31)94(31)94(31311221 nA第第 次分叉：次分叉：n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）例例 1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收敛性的收敛性. .解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时

5、当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如如果果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311nn 的的收收敛敛性性. .解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn

6、),1211(21 n,21 .21, 和和为为级级数数收收敛敛基本性质基本性质性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnku亦亦收收敛敛. .性性质质 2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus, , 1nnv, ,则则级级数数 1)(nnnvu收收敛敛, ,其其和和为为 s. .结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1knnu也也收收敛敛)1( k

7、. .且且其其逆逆亦亦真真. .证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.性性质质 4 4 收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数仍仍然然收收敛敛于于原原来来的的和和. .证明证明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11(例例如如 1111推论

8、推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散, ,则原来级则原来级数也发散数也发散. . 收敛收敛 发散发散二、正项级数及其判敛法二、正项级数及其判敛法级级数数收收敛敛. 0lim nnu证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当,nun级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例例如如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .?,

9、0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例例如如调调和和级级数数讨论讨论nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛)lim(2nnnss 于于是是ss , 0 .级数发散级数发散)(210 n便便有有.这这是是不不可可能能的的 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项 项m221每每项项均均大大于于21)1(1 mm项大于项大于即前即前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法1.

10、1.定义定义: :，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. . nsss212.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .ns且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收敛收敛, ,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散. .证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu , 即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 n

11、nu均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu3.比较审敛法比较审敛法nvvv 21nns 则则)()2( nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv推论推论: : 若若 1nnu收敛收敛( (发散发散) )且且)(nnnnvkuNnkuv , ,则则 1nnv收收敛敛( (发发散散) ). .定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 须有参考级数须有参考级数. 例例 3 3 讨讨论论 P P- -级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性. .)0( p 解解, 1 p设设,11nnp .级数发散级数发散则则 P, 1 p设设oy

12、x)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有有界界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .例例 4 4 证证明明级级数数 1)1(1nnn是是发发散散的的. 证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(11 nnn发发散散级级数数4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设

13、1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, , 则则 1nnu发散发散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu证明证明lvunnn lim)1(由由, 02 l 对对于于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.设设 1nnu为正项级数为正项级数, ,如如果果0

14、lim lnunn ( (或或 nnnulim) ), ,则则级级数数 1nnu发发散散; ;如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, ,则则级级数数 1nnu收收敛敛. .5 5. .极极限限审审敛敛法法：例例 5 5 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性: : (1) 11sinnn ; (2) 131nnn ; 解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.6 6. .比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝尔尔 D D

15、A Al le em mb be er rt t 判判别别法法) )：设设 1nnu是正项级数是正项级数, ,如果如果)(lim1 数或数或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .证明证明,为为有有限限数数时时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收收敛敛而而级级数数,11收收敛敛 NnummNuu收敛收敛, 1 取取, 1 r使使,时时当当Nn ,1nn

16、nuruu . 0lim nnu发散发散比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:1 1. .当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效; ;,11发散发散级数级数例例 nn,112收收敛敛级级数数 nn)1( ,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 2 2. .条条件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. .例例 6 6 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:

17、 (1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn. 解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收收敛敛故故级级数数 nnn7 7. .根根值值审审敛敛法法 ( (柯柯西西判判别别法法) )：设设 1nnu是

18、是正正项项级级数数, ,如如果果 nnnulim)( 为为数数或或 , ,则则1 时时级级数数收收敛敛; ;,1 ,1 nnn设级数设级数例如例如nnnnnu1 n1 )(0 n级数收敛级数收敛.1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .三、任意项级数三、任意项级数定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或莱莱布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交错错级级数数满满足足条条件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,则则级级数数收收敛敛, ,且且其其和

19、和1us , ,其其余余项项nr的的绝绝对对值值1 nnur. .)0( nu其中其中证明证明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是是单单调调增增加加的的数数列列ns,2是有界的是有界的数列数列ns)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且级级数数收收敛敛于于和和),(21 nnnuur余项余项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.例例 7 7 判判别别级级数数 21)1(

20、nnnn的的收收敛敛性性. . 解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原级数收敛原级数收敛.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .定理定理 若若 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnu收敛收敛. .证明证明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv显显然然,nnuv 且且,1收收敛敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收收敛敛.上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任

21、意项级数正项级数正项级数定定义义: :若若 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为绝绝对对收收敛敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .例例 8 8 判判别别级级数数 12sinnnn的的收收敛敛性性. . 解解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.四、小结四、小结1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ;2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ;3 3. .按按基基本本性性质质

22、. .常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则则级级数数收收敛敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun思考题思考题 设正项级数设正项级数 1nnu收敛收敛, , 能否推得能否推得 12nnu收敛收敛? ?反之是否成立反之是否成立? ?思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnn

23、uu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收敛收敛, 11nn发散发散.一一、 填填空空题题: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,则则 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 若若nnnna! , ,则则 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 若若级级数数为为 642422xxxx则则 na_ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 若若级级数数为为 97535432aaaa则

24、则 na_ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、 若若级级数数为为 615413211 则则当当 n_ _ _ _ _ _时时 na_ _ _ _ _ _；当当 n_ _ _ _ _ _ _时时 na_ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 等等比比级级数数 0nnaq, ,当当_ _ _ _ _ _时时收收敛敛；当当_ _ _ _ _时时发发散散 . .练习题练习题 1三、由定义判别级数三、由定义判别级数 )12)(12(1751531311nn的收敛性的收敛性. .四、判别下列级数的收敛性四、判别下列级数的收敛性: :1 1、 n31916131；2 2、 )3121()3121(

25、)3121()3121(3322nn；3 3、 nn101212014110121 . .五、利用柯西收敛原理判别级数五、利用柯西收敛原理判别级数 61514131211的敛散性的敛散性 . .练习题练习题 1 答案答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1 qq. .三、收敛三、收敛. . 四、四、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3

26、3、发散、发散、 nkknks12)10121( . .五、发散五、发散. . 取取np2 一、一、 填空题填空题: :1 1、 p级数当级数当_时收敛时收敛, ,当当_时发散；时发散；2 2、若正项级数、若正项级数 1nnu的后项与前项之比值的根的后项与前项之比值的根 等于等于, , 则当则当_时级数收敛；时级数收敛；_时级数发散；时级数发散； _时级数可能收敛也可能发散时级数可能收敛也可能发散 . .二二、 用用比比较较审审敛敛法法或或极极限限审审敛敛法法判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .练练

27、 习习 题题 2三、三、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性用比值审敛法判别下列级数的收敛性: : 1 1、 nnn 232332232133322；2 2、 1!2nnnnn. .四、四、 用根值审敛法判别下列级数的收敛性用根值审敛法判别下列级数的收敛性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五、五、 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .六、六、 判别下列级数是否收敛判别下列级数是否收敛? ?如果是收敛的如果是收敛的, ,是绝对收是绝对收敛还是条件收敛敛还是条件收敛? ?1 1、 1113)1(nnnn；2 2、 5ln14ln13ln12ln1；3 3、 2ln)1(nnnn. .七