第6章 IIR数字滤波器设计.

1、第六章第六章 IIRIIR数字滤波器设计数字滤波器设计数字滤波：数字滤波： 对输入信号进行数值运算，让输入信号中的有用频率对输入信号进行数值运算，让输入信号中的有用频率成分以较高的保真度通过，滤除（阻止）某些无用的频率成分以较高的保真度通过，滤除（阻止）某些无用的频率成分，实现对输入信号的选频处理。成分，实现对输入信号的选频处理。还可以：信号检测、微分、希尔伯特变换、频谱校正等还可以：信号检测、微分、希尔伯特变换、频谱校正等优点：优点： 处理精度高，稳定性好，体积小，实现方法灵活，不处理精度高，稳定性好，体积小，实现方法灵活，不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊存在阻抗匹配问题

2、，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。滤波功能。 滤波器分类滤波器分类经典滤波器经典滤波器（一般滤波器）（一般滤波器）（本书介绍）（本书介绍） 线性系统构成的滤波器，信号和干扰的频带互不重叠时采用。线性系统构成的滤波器，信号和干扰的频带互不重叠时采用。分类（功能）：低通、高通、带通、带阻；分类（功能）：低通、高通、带通、带阻；分类（结构）：递归系统、非递归系统；分类（结构）：递归系统、非递归系统；分类（实现方法）：分类（实现方法）： 无限长单位脉冲响应数字滤波器无限长单位脉冲响应数字滤波器IIRIIR（本章介绍）（本章介绍） 有限长单位脉冲响应数字滤波器有限长单位脉冲响应数字滤波器FIR

3、FIR现代滤波器现代滤波器 随机信号统计理论为基础构成的滤波器，信号和干扰的频随机信号统计理论为基础构成的滤波器，信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自带相互重叠时采用（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）适应滤波器等）IIRIIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法间接设计法间接设计法 根据设计指标设计相应的过渡模拟滤波器根据设计指标设计相应的过渡模拟滤波器 将过渡模拟滤波器转换成数字滤波器将过渡模拟滤波器转换成数字滤波器直接设计法直接设计法 在时域或频域直接设计数字滤波器。在时域或频域直接设计数字滤波器。本章主要讲述：（本章主要讲述：（间接法间接

4、法） 6.1 6.1 模拟滤波器设计模拟滤波器设计 6.2 IIR6.2 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计6.1 6.1 模拟滤波器设计模拟滤波器设计模拟滤波器（模拟滤波器（AFAF）的一般设计过程：）的一般设计过程：（1 1） 根据信号处理要求确定设计指标（选频）根据信号处理要求确定设计指标（选频）（2 2） 选择滤波器类型选择滤波器类型（3 3） 计算滤波器阶数计算滤波器阶数（4 4） 通过查表或计算确定滤波器系统函数通过查表或计算确定滤波器系统函数（5 5） 综合实现并调试综合实现并调试幅频特性体现了各频率成分幅度的衰减幅频特性体现了各频率成分幅度的衰减, ,而相频特而相频特性体现的是

5、不同频率成分在时间的的延时。性体现的是不同频率成分在时间的的延时。选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。要求。对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题( )aHs本节主要讲述：本节主要讲述： 6.1.3 6.1.3 切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshev）滤波器设计）滤波器设计 6.1.1 6.1.1 模拟滤波器设计指标模拟滤波器设计指标 6.1.2 6.1.2 巴特沃思模拟低通滤波器设计巴特沃思模拟低通滤波器设计 6.1.4 6.1.4 椭圆滤波器椭圆滤波器 6.1.5 6.1.

6、5 贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）滤波器设计）滤波器设计 6.1.7 6.1.7 五种类型模拟滤波器的比较五种类型模拟滤波器的比较6.1.1 6.1.1 模拟滤波器设计指标模拟滤波器设计指标21()1,1apHj 设计指标设计指标: :,s 通带边界频率通带边界频率阻带边界频率阻带边界频率3dB3dB截止频率截止频率 cps系统通带系统通带 的最大逼近误差的最大逼近误差: :0,p1(),asHjA 阻带阻带 幅度以最大误差幅度以最大误差1/A1/A逼近于零，即要求逼近于零，即要求: : ：通带波纹幅度，越小，通带波纹越小：通带波纹幅度，越小，通带波纹越小 A A：阻带波纹幅度，越

7、大，阻带波纹越小：阻带波纹幅度，越大，阻带波纹越小用用 表示表示通带最大衰减通带最大衰减（或称为通带峰值波纹）（或称为通带峰值波纹）用用 表示表示阻带最小衰减阻带最小衰减（以分贝（以分贝(dB)(dB)表示波纹）表示波纹）p22120 lg 10 lg(1) 1120 lg20 lg psdBA dBA /1 0/ 2 01 011 0psA求解求解s损耗函数（或称为衰减函数）损耗函数（或称为衰减函数） ( ( ) )描述滤波器的幅频响应描述滤波器的幅频响应特性。即特性。即: : 当当 时的边界频率称为时的边界频率称为3dB3dB截止频率，通常用截止频率，通常用 c c表示表示2( )20lg

8、()10lg()aaHjHj ( )3 dB 幅频特性曲线幅频特性曲线损耗函数曲线损耗函数曲线损耗函数的优点是：对幅频响应损耗函数的优点是：对幅频响应 的取值非线性压缩，的取值非线性压缩，放大了小的幅度，可以同时观察通带和阻带幅频特性的变放大了小的幅度，可以同时观察通带和阻带幅频特性的变化情况。化情况。()aHj两个附加参数：两个附加参数： a.a.过渡比或选择性参数过渡比或选择性参数, ,通常用通常用k k表示：表示： 反应了过渡带的性能，过渡带越窄，反应了过渡带的性能，过渡带越窄，k k值趋近于值趋近于1 1 低通滤波器低通滤波器 b.b.偏离参数，用偏离参数，用k1k1表示：表示： 越小

9、，通带、阻带的纹波越小越小，通带、阻带的纹波越小/psk 121kA1k 1k模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供选择。型的模拟滤波器供选择。 这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。员使用。 典型滤波器典型滤波器 巴特沃思（巴特沃思（ButterworthButterworth）滤波器：具有单调下降的幅频特性）滤波器：具有单调下降的幅频特性 切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshev

10、）滤波器：幅频特性在通带或阻带有波）滤波器：幅频特性在通带或阻带有波 动，可提高选择性；动，可提高选择性； 贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）滤波器：通带内较好的线性相位；）滤波器：通带内较好的线性相位； 椭圆（椭圆（EllipseEllipse）滤波器：较好的线性相位。）滤波器：较好的线性相位。6.1.2 6.1.2 巴特沃思模拟低通滤波器设计巴特沃思模拟低通滤波器设计N N阶巴特沃思模拟低通滤波器的幅度平方函数为阶巴特沃思模拟低通滤波器的幅度平方函数为: : N N为滤波器的阶次，为滤波器的阶次， 为为3dB3dB截止频率。截止频率。221()1(/)aNcHj c特点：特点： 在

11、在 点，点， 的的n(n2N)n(n2N)阶导数等于零，因此滤波阶导数等于零，因此滤波器在器在 点具有最大平坦幅度点具有最大平坦幅度 滤波器幅频响应随滤波器幅频响应随 的增大而单调下降，因为幅度平方函的增大而单调下降，因为幅度平方函数的导数小于零数的导数小于零 损耗函数：损耗函数：0 0 2()aHj22( )20lg()110lg()10lg 1aaNcHjHj WN=8N=80 0N=4N=4N=2N=21 112c|()|aHjN N越大，越逼近越大，越逼近理想低通特性。理想低通特性。特点：特点： 在在 点，点， 的的n(n2N)n(n2N)阶导数等于零，因此滤波阶导数等于零，因此滤波器

12、在器在 点具有最大平坦幅度点具有最大平坦幅度 滤波器幅频响应随滤波器幅频响应随 的增大而单调下降，因为幅度平方函的增大而单调下降，因为幅度平方函数的导数小于零数的导数小于零 损耗函数：损耗函数：0 0 2()aHj2( )10lg 1 ()Nc 2()10lg 1 ()10lg23cccNdBps2111/ Ac 滤波器的特性由滤波器的特性由3dB3dB截止频率截止频率 和阶数和阶数N N确定确定 滤波器的给定指标为滤波器的给定指标为: :通带边界频率通带边界频率阻带边界频率阻带边界频率通带最小幅度通带最小幅度阻带最大波纹阻带最大波纹截止频率与阶数如何确定？截止频率与阶数如何确定？ 滤波器的幅

13、频响应随频率的增大而单调下降滤波器的幅频响应随频率的增大而单调下降22211()1 (/)1ppaNcHj22211()1 (/)csNsaHjA2()1NspA21lg1lglglg()psAkNk1lglgkNk1pcN 满足通带指标，阻带指标有富裕满足通带指标，阻带指标有富裕 满足阻带指标，通带指标有富裕满足阻带指标，通带指标有富裕122(1)scNA 阶数阶数截止截止频率频率 滤波器的给定指标为：滤波器的给定指标为： 通带最大衰减：通带最大衰减： 阻带最小衰减：阻带最小衰减： 先求先求 确定截止频率与阶数确定截止频率与阶数21lg1lglglg()psAkNk2120lg1p/2010

14、sA120lg()20lgsAdBA /10101p1pcN 122(1)scNA 巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数：巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数： （由（由3dB3dB截止频率截止频率 和阶数和阶数N N 确定）确定）式中，分母式中，分母 称为称为N N阶巴特沃思多项式。阶巴特沃思多项式。c( )( )NcaNHsDs( )NDs三种形式三种形式: :10( )( )NNkNNkkDsBssb s21122()1( )(),kNNjNckkkDssppe/22101( )( ),( )NNkkkkkDsB s B ssb sb( )NDs因式分解因式分解共轭对相乘共轭对相乘归一化讨论：归

15、一化讨论：对于对于由于由于N N较大时，计算量太大，为了方便，归一化较大时，计算量太大，为了方便，归一化 的的N N阶巴特阶巴特沃思多项式系数沃思多项式系数 已制成表格供查阅已制成表格供查阅1( )()NNckkDssp 11( )( )()NcaNNkkcHssDsp111( )()( )()acNNkkG pHpDpppc( )NDp归一化低通原归一化低通原型系统函数型系统函数归一化归一化N N阶巴阶巴特沃思多项式特沃思多项式pj归一化复变量归一化复变量/c 归一化频率归一化频率极点位置极点位置阶数阶数N N 1 1-1.0000 -1.0000 2 2-0.7071-0.7071j0.7

16、071 j0.7071 3 3-0.5000-0.5000j0.8660j0.8660-1.0000-1.00004 4-0.3827-0.3827j0.9239 j0.9239 -0.9239-0.9239j0.3827j0.38275 5-0.3090-0.3090j0.9511 j0.9511 -0.8090-0.8090j0.5878j0.5878-1.0000 -1.0000 6 60.25880.2588j0.9659 j0.9659 -0.7071-0.7071j0.7071j0.7071-0.9659-0.9659j0.2588j0.25887 7-0.2225-0.2225j

17、0.9749 j0.9749 -0.6235-0.6235j0.7818 j0.7818 -0.9010-0.9010j0.4339j0.4339-1.0000 -1.0000 8 80.19510.1951j0.9808 j0.9808 0.55560.5556j0.8315j0.8315-0.9010-0.9010j0.4339j0.4339-0.9808-0.9808j0.1951j0.19519 9-0.1736-0.1736j0.9848 j0.9848 -0.5000-0.5000j0.8660 j0.8660 -0.8315-0.8315j0.5556j0.5556-0.9397

18、-0.9397j0.3420 j0.3420 -1.0000-1.00000,1NP1,2NP2,3NP3,4NP4PN N：滤波器阶数：滤波器阶数- - ：极点位置表示：极点位置表示( )NDp 分母分母多项式多项式阶数阶数N N b b0 0 b b1 1 b2b2b3b3b4b4b5b5b6b6b7b7b b8 8 1 1-1.0000 -1.0000 2 2-1.0000-1.00001.4142 1.4142 3 3-1.0000-1.00002.0000 2.0000 2.0000 2.0000 4 4-1.0000-1.00002.6131 2.6131 3.4142 3.414

19、2 5 5-1.0000-1.00003.23613.23615.2361 5.2361 5.2361 5.2361 3.2361 3.2361 6 6-1.0000-1.00003.8637 3.8637 7.4641 7.4641 9.1416 9.1416 7.4641 7.4641 3.8637 3.8637 7 7-1.0000-1.00004.4940 4.4940 10.0978 10.0978 14.5918 14.5918 14.5918 14.5918 10.0978 10.0978 4.49404.49408 8-1.0000-1.0000-5.1258 -5.1258

20、13.1371 13.1371 21.8462 21.8462 25.6884 25.6884 21.8642 21.8642 13.1371 13.1371 5.1258 5.1258 9 9-1.0000-1.00005.7588 5.7588 16.5817 16.5817 31.1634 31.1634 41.986441.986441.986441.986431.1634 31.1634 16.5817 16.5817 5.7588 5.7588 N N：滤波器阶数：滤波器阶数- - ：多项式表示：多项式表示( )NDp121210( )NNNNND ppbpbpb pb 分母分母

21、因式因式阶数阶数N N 1 1( (p p+1) +1) 2 2( (p p2+1.41422+1.4142p p+1) +1) 3 3( (p p2+2+p p+1)(+1)(p p+1) +1) 4 4( (p p2+0.76542+0.7654p p+1)(+1)(p p2+1.84782+1.8478p p+1) +1) 5 5( (p p2+0.61802+0.6180p p+1)(+1)(p p2+1.61802+1.6180p p+1)(+1)(p p+1) +1) 6 6( (p p2+0.51762+0.5176p p+1)(+1)(p p2+1.41422+1.4142p

22、p+1)(+1)(p p2+1.93192+1.9319p p+1) +1) 7 7( (p p2+0.44502+0.4450p p+1)(+1)(p p2+1.24702+1.2470p p+1)(+1)(p p2+1.80192+1.8019p p+1)(+1)(p p+1) +1) 8 8( (p p2+0.39022+0.3902p p+1)(+1)(p p2+1.11112+1.1111p p+1)(+1)(p p2+1.66292+1.6629p p+1)(+1)(p p2+1.96162+1.9616p p+1)+1)9 9( (p p2+0.34732+0.3473p p+1

23、)(+1)(p p2+2+p p+1)(+1)(p p2+1.53212+1.5321p p+1)(+1)(p p2+1.87942+1.8794p p+1)(+1)(p p+1) +1) 12345( )( )( )( )( )( )DpBp Bp Bp Bp BpN N：滤波器阶数：滤波器阶数- - ：共轭极点：共轭极点因式因式( )NDp归一化归一化( )1/( )NG pDp/( )( )cap sHsG pc去归一化去归一化c( )NDp查表得查表得得到得到 低通巴特沃斯滤波器设计步骤：低通巴特沃斯滤波器设计步骤：由由 ，求滤波器阶次，求滤波器阶次N N由由N N查表，求出归一化极点

24、查表，求出归一化极点 和归一化系统函数和归一化系统函数令令 代入代入 ，得实际滤波器传输函数（去归一，得实际滤波器传输函数（去归一化）化）ppss、csp/kp( )1/( )NG pDp( )G p/( )( )|1/( /)cap sNcHsG pDs例例6.1.1:6.1.1:设计模拟低通滤波器。要求幅频特性单调下降，设计模拟低通滤波器。要求幅频特性单调下降， 通带边界频率通带边界频率fp=1kHzfp=1kHz，通带最大衰减，通带最大衰减 p p=1dB;=1dB; 阻带边界频率阻带边界频率fs=5kHzfs=5kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s s=40dB=40dB。解解: :

25、（1 1）根据幅频特性单调下降要求，应选择巴特沃思滤波器。）根据幅频特性单调下降要求，应选择巴特沃思滤波器。（2 2）计算阶数）计算阶数N N和和3dB3dB截止频率截止频率 c c。首先求出波纹幅度参数为首先求出波纹幅度参数为: :再求出过渡比和偏离参数再求出过渡比和偏离参数: :从而得到从而得到: : 取整数取整数N=4,N=4, /101/101011010.508847p/2010100sA120.508850.2, 0.0050887599991pskkA1lg3.2811lgkNk21 21 82 9934.7125/(1)9999sscNfradsA （3 3）求系统函数。查表）

26、求系统函数。查表6.1.16.1.1得到归一化得到归一化4 4阶巴特沃思多阶巴特沃思多项式为项式为: :将将 和和 c c代入，得到系统函数代入，得到系统函数: :224( )(0.76541)(1.84781)Dppppp4( )Dp/42222152372471( )( )|( )1( )/(0.7654)(1.8478)9.7414 10 (7.6040 109.8699 10 )(1.8357 109.8699 10 )ccap sp sNcaNcccccHsG pDpHsDsssssssss 6.1.3 6.1.3 切比雪夫滤波器设计切比雪夫滤波器设计两种类型：两种类型： 切比雪夫切

27、比雪夫型型滤波器的幅频特性在通带为等波纹，滤波器的幅频特性在通带为等波纹，在阻带为单调下降。在阻带为单调下降。 切比雪夫切比雪夫型型的幅频特性在阻带为等波纹，在通的幅频特性在阻带为等波纹，在通带为单调下降。带为单调下降。 1.1.切比雪夫切比雪夫型滤波器型滤波器 N N阶切比雪夫阶切比雪夫I I型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器Ha(s)Ha(s)的幅度平方函数为的幅度平方函数为: : 为小于为小于1 1的正数，表示通带波纹幅度参数。的正数，表示通带波纹幅度参数。 C CN N( ( ) )是是N N阶切比雪夫多项式阶切比雪夫多项式 2221()1(/)aNpHjC cos(arccos ),|

28、 1( )cosh(cosh ),| 1NNCNar12( )2( )( ),2NNNCCCN/p 幅频响应曲线在幅频响应曲线在0,10,1内为等波纹；内为等波纹；当当 时，单调下降。阶数时，单调下降。阶数N N越大，过渡带越窄。越大，过渡带越窄。1关于通带边界关于通带边界频率频率 归一化归一化p/p 222222211111|()|1(/)1coshcosh(/)cosh(1 / )cosh(1/)cosh(/)cosh(1/ )( ),( )()(21)(21sin,cos2asNspspspNpakkkNNkkkpkpHjCNarAarAarkNararkCHssjDssskkN 222

29、1/)21111,()22NN2coshln(1)arxx2.2.切比雪夫切比雪夫型逼近型逼近切比雪夫切比雪夫型模拟低通滤波器的幅频响应在通带呈现单调下型模拟低通滤波器的幅频响应在通带呈现单调下降特性，而且在降特性，而且在 =0=0点具有最大平坦响应，在阻带呈现等点具有最大平坦响应，在阻带呈现等波纹特性。其幅度平方函数为波纹特性。其幅度平方函数为: : 2221()()1()aNspNsHjCC221cosh(1 / )cosh(1/),coshln(1)cosh(/)cosh(1/ )sparAarkNarxxarark/s 11()( )()NkkaNkkszHsCsp,1,2,.(21)

30、cos2skzjkNkN零点位于虚轴上：零点位于虚轴上：22222221/,1,2,.,(21)(21)sin,sin2211,(1)22kkkskskkkkkkkkpkpNpjkNkkNNAA 巴特沃思滤波器与切比雪夫滤波器特点比较：巴特沃思滤波器与切比雪夫滤波器特点比较： 巴特沃思滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，在靠近截巴特沃思滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，在靠近截止频率处，幅度下降很多。所以为了使通带内的衰减足够小，止频率处，幅度下降很多。所以为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次（需要的阶次（N N）很高。）很高。 切比雪夫切比雪夫型滤波器的纹波在通带范围内是等幅起伏的，在型滤

31、波器的纹波在通带范围内是等幅起伏的，在靠近截止频率处，幅度下降很少。同样的通带衰减，其所需靠近截止频率处，幅度下降很少。同样的通带衰减，其所需阶数阶数N N较巴特沃思滤波器要小。较巴特沃思滤波器要小。6.1.4 6.1.4 椭圆滤波器椭圆滤波器椭圆滤波器振幅平方函数为：椭圆滤波器振幅平方函数为： 椭圆滤波器特点：椭圆滤波器特点：u幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的。幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的。u对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言

32、，椭圆滤波器是最优的。u通带和阻带内波纹固定时，阶数越高，过渡带越窄；通带和阻带内波纹固定时，阶数越高，过渡带越窄；u阶数固定，通带和阻带纹波越小，过渡带越宽；阶数固定，通带和阻带纹波越小，过渡带越宽；22221()()1( , )aNAHjRL ( , )NRL：雅可比椭圆函数：雅可比椭圆函数L L：表示波纹性质的参量：表示波纹性质的参量6.1.5 6.1.5 贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）滤波器设计）滤波器设计 (a) (a) 幅频响应特性幅频响应特性 (b) (b) 相频响应特性相频响应特性图图6.1.7 6.1.7 典型贝塞尔低通滤波器的频响特性曲线典型贝塞尔低通滤波器的频

33、响特性曲线00210121( )( ).aNNNNddHsBsbbsb sbss贝塞尔低通滤波器特点贝塞尔低通滤波器特点u贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。是巴特沃思贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。是巴特沃思滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器所没有的。滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器所没有的。u贝塞尔滤波器的过渡带较宽，在阶数贝塞尔滤波器的过渡带较宽，在阶数N N相同时选择性比巴相同时选择性比巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器差。特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器差。1 1 巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器-buttap,buttord,butter-buttap,but

34、tord,butter6.1.6 6.1.6 用用MATLABMATLAB设计设计IIRIIR滤波器滤波器(1) , ,()z p Gbuttap N(2),(,)Ncbuttordps Rp As( )(1)(2).()( )( )(1)(2).()aaaP sszszsz NHsGD sspspsp N , 2 ( , ,)b azp tf z p G N,wc N,wc数字滤波器的阶数数字滤波器的阶数N N和和3dB3dB角频率角频率 归一化的数字频率归一化的数字频率 Rp,As Rp,As：dBdB wswp wswp时，为高通；时，为高通；wp,wswp,ws为二元矢量时，为带通或带

35、阻滤波器为二元矢量时，为带通或带阻滤波器,(, )Ncbuttordps Rp As s01,01wpws2/swfF N,wc模拟滤波器的阶数模拟滤波器的阶数N和和3dB角频率角频率(3) ,(,)B Abutter Ncftype ,(, )B Abutter Ncftypes1(1)1(1)( )(1)(2).()(1)( )( )(1)(2).()(1)NNNNB zBBzB N zB NzH zA zAAzA N zA Nz11( )(1)(2).()(1)( )( )(1)(2).()(1)NNaNNB sBsBsB N sB NHsA sAsAsA N sA N例例6.1.26.

36、1.2wcwc：标量时，默认为低通；：标量时，默认为低通；ftype:high,ftype:high,高通高通wcwc：二元矢量，默认为带通；：二元矢量，默认为带通；ftype:ftype:带阻带阻(1) , ,1(,)(2),1(,)(3),1(, )(4) , 1(,)(5) , 1(, )z p Gcheb ap N RpNpocheb ordps Rp AsNpocheb ordps Rp As sB Acheby N RppoftypeB Acheby N Rppoftypespo是切比雪夫是切比雪夫I I型的通带截止频率型的通带截止频率2 2 切比雪夫切比雪夫I I型滤波器型滤波器

37、-cheb1ap,cheb1ord,cheby1-cheb1ap,cheb1ord,cheby1so(1) , ,2(,)(2),2(,)(3),2(, )(4) , 2(,)(5) , 2(, )z p Gcheb ap N RsNsocheb ordps Rp AsNsocheb ordps Rp As sB AchebyN RssoftypeB AchebyN Rpsoftypes例例6.1.36.1.3是切比雪夫是切比雪夫IIII型的阻带截止频率型的阻带截止频率3 3 切比雪夫切比雪夫IIII型滤波器型滤波器-cheb2ap,cheb2ord,cheby2-cheb2ap,cheb2o

38、rd,cheby24 4 椭圆滤波器椭圆滤波器-ellipap,ellipord,ellip-ellipap,ellipord,ellip(1) , ,(,)(2),(,)(3),(, )(4) ,(,)(5) ,(, )z p Gellipap N Rs AsNpoellipordps Rp AsNpoellipordps Rp As sB Aellip N Rp AspoftypeB Aellip N Rp Aspoftypes例例6.1.46.1.45 5 贝塞尔滤波器贝塞尔滤波器-besselap,bessel-besselap,bessel(1) , ,()(2) , (,)(3)

39、, (,)z p Gbesselap NB Abessel NpB Abessel Npftype例例6.1.56.1.56.1.7 6.1.7 模拟滤波器的比较模拟滤波器的比较l 巴特沃思滤波器幅频特性单调下降。巴特沃思滤波器幅频特性单调下降。l 切比雪夫切比雪夫滤波器通带内等波纹幅频特性，过渡带、阻带单滤波器通带内等波纹幅频特性，过渡带、阻带单调下降。调下降。l 切比雪夫切比雪夫滤波器阻带内等波纹幅频特性，通带、过渡带单滤波器阻带内等波纹幅频特性，通带、过渡带单调下降。调下降。l 椭圆滤波器通带、阻带内均等波纹幅频特性，过渡带单调下椭圆滤波器通带、阻带内均等波纹幅频特性，过渡带单调下降。降

40、。l 贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。 在相同阶数在相同阶数N N，相同通带最大衰减、阻带最小衰减要求下，相同通带最大衰减、阻带最小衰减要求下，巴特沃思滤波器的过渡带最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；两巴特沃思滤波器的过渡带最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，介于巴特沃思种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，介于巴特沃思滤波器和椭圆滤波器。滤波器和椭圆滤波器。 在相同指标要求下，椭圆滤波器所需的阶次在相同指标要求下，椭圆滤波器所需的阶次N N最低，切比雪最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，参数的灵敏度则恰恰相反。夫次之，巴

41、特沃思最高，参数的灵敏度则恰恰相反。 巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约四分之三的通带上非巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约四分之三的通带上非 常接近线性相位特性；常接近线性相位特性； 椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性；椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性； 贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性。贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性。巴特沃思、切比雪夫巴特沃思、切比雪夫型、切比雪夫型、切比雪夫型和椭圆滤波器主要型和椭圆滤波器主要是考虑逼近幅度响应指标的滤波器，其中椭圆滤波器的性能是考虑逼近幅度响应指标的滤波器，其中椭圆滤波器的性能价格比最高，应用广泛。价格比最高，应用广

42、泛。贝塞尔滤波器主要是考虑逼近线性相位特性的滤波器使用。贝塞尔滤波器主要是考虑逼近线性相位特性的滤波器使用。6.2 IIR6.2 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 目标目标：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数 间接法设计过程间接法设计过程确定数字滤波器的指标确定数字滤波器的指标转换成过渡模拟滤波器的指标转换成过渡模拟滤波器的指标设计过渡模拟滤波器设计过渡模拟滤波器将过渡模拟滤波器将过渡模拟滤波器 转换为数字滤波器转换为数字滤波器 指标转换指标转换( )H z( )aHs( )H z22pppsssssssfFFfFF0,0, 2 sF( )aH

43、s模拟滤波器模拟滤波器 转换为数字滤波器转换为数字滤波器 的要求的要求 实质：用一种从实质：用一种从s s平面到平面到z z平面的平面的映射函数映射函数将将 转换成转换成 映射函数的要求：映射函数的要求：（1 1）保证因果稳定性。）保证因果稳定性。Ha(s)Ha(s)的因果稳定性映射成的因果稳定性映射成H H（z z）后）后保持不变，即保持不变，即S S平面的左半平面平面的左半平面 ReSReS0 0 应映射到应映射到z z平面平面的单位圆以内的单位圆以内|z|1|z|1。 （2 2）H H（z z）的频响要能模仿）的频响要能模仿Ha(s)Ha(s)的频响。即的频响。即S S平面的虚轴平面的虚

44、轴应映射到应映射到z z平面的单位圆平面的单位圆 上。上。je( )aHs( )H z( )aHs( )H z脉冲响应不变法、双线性变换法脉冲响应不变法、双线性变换法本节主要讲述：本节主要讲述： 6.2.1 6.2.1 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器 6.2.2 6.2.2 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器 6.2.3 6.2.3 高通、带通和带阻高通、带通和带阻IIRIIR数字滤波器设计数字滤波器设计 6.2.4 IIR 6.2.4 IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换6.2.1 6.2.1 脉冲响应不变

45、法设计脉冲响应不变法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器 基本思想基本思想: : 对对 等间隔采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应等间隔采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应 模拟滤波器的系统函数转换成数字滤波器的系统函数，即模拟滤波器的系统函数转换成数字滤波器的系统函数，即( )(),( ) ( )ah nhnTH zZT h n( )ah t( )h n( )( )aHsH z( )( )()( )aaaHsh th nTH z模拟滤波器的系统函数：模拟滤波器的系统函数：（1 1）取拉普拉斯逆变换，模拟滤波器的单位冲激响应为：）取拉普拉斯逆变换，模拟滤波器的单位冲激响应为：（2 2）对）对 采样

46、得到数字滤波器的单位脉冲响应：采样得到数字滤波器的单位脉冲响应：（3 3）Z Z变换变换( )( )aHsH z1()NkakkAHsss1( )()()kNjs nTakkh nhnTA eu nT11()1kNks TkAHzez1( )( )kNjs takkh tA eu t为简化推导，单极点；为简化推导，单极点；分母阶次高于分子阶次分母阶次高于分子阶次( )ah t脉冲响应不变法的转换性能：脉冲响应不变法的转换性能： s s平面到平面到z z平面的极点映射关系平面的极点映射关系: : 可以证明，整个可以证明，整个s s平面到平面到z z平面的映射关系为：平面的映射关系为： ks Tk

47、ze, jsjzre () jjTTj Treeee TreT 设设则：则：所以：所以：sTze数字频率与模拟频率之间是数字频率与模拟频率之间是线性关系线性关系，这是脉，这是脉 冲响应不变法的优点之一。冲响应不变法的优点之一。由式由式 可知：可知： =0=0时，时，r=1r=1，s s平面的虚轴映射为平面的虚轴映射为z z平面的单位圆；平面的单位圆； 00时，时，r1r00时，时，r1r1，s s平面的右半平面映射为平面的右半平面映射为z z平面的单位圆外。平面的单位圆外。Tre由式由式 可知：可知： =0=0时，时，r=1r=1，s s平面的虚轴映射为平面的虚轴映射为z z平面的单位圆；平面

48、的单位圆； 00时，时，r1r00时，时，r1r1，s s平面的右半平面映射为平面的右半平面映射为z z平面的单位圆外。平面的单位圆外。Tre模拟系统因果稳定，其系统函数模拟系统因果稳定，其系统函数Ha(s)Ha(s)的所有极点位于的所有极点位于s s平面的左半平面，按照上述结论，这些极点全部映射到平面的左半平面，按照上述结论，这些极点全部映射到z z平面单位圆内，因此，数字滤波器平面单位圆内，因此，数字滤波器H(z)H(z)也因果稳定。也因果稳定。因为因为 ，根据时域采样理论得到：，根据时域采样理论得到： 代入代入= T T 得到：得到： 上面两式说明，上面两式说明，数字滤波器的频率响应是模

49、拟滤波器频数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓函数。率响应的周期延拓函数。 12()j TakkH eHjTT 12()jakkH eHjTT( )()ah nh nTP97 4.2.10P97 4.2.11 所以，如果模拟滤波器具有带限特性，而且所以，如果模拟滤波器具有带限特性，而且T T满足采样定理，满足采样定理，则数字滤波器频率响应完全模仿了模拟滤波器频率响应。则数字滤波器频率响应完全模仿了模拟滤波器频率响应。这是脉冲响应不变法的最大优点。但是，一般模拟滤波器这是脉冲响应不变法的最大优点。但是，一般模拟滤波器不是带限的，所以实际上总是存在频谱混叠失真不是带限的，所以实际上总

50、是存在频谱混叠失真 脉冲响应不变法不适合设计高通和带阻滤波器脉冲响应不变法不适合设计高通和带阻滤波器 为了减小频谱混叠失真，通常采取以下为了减小频谱混叠失真，通常采取以下措施措施: : 选用具有锐截止特性的模拟滤波器；选用具有锐截止特性的模拟滤波器； 提高采样频率提高采样频率FsFs（Fs=1/TFs=1/T）阶数升高阶数升高处理速度要求高处理速度要求高 所以，工程实际中采用以下实用公式：所以，工程实际中采用以下实用公式： 这时这时 使数字滤波器的频率响应增益与模拟滤波器频响增益相同，使数字滤波器的频率响应增益与模拟滤波器频响增益相同，符合实际应用要求。符合实际应用要求。11 ( )(),(

51、)1kNkas TkT Ah nTh nTH zez 2()jakkH eHjT实用公式实用公式 12()jakkH eHjTT容易溢出容易溢出 实用公式中，实用公式中， 和和 一般为复数，得到差分方程为：一般为复数，得到差分方程为： 应将应将 为复共轭对的项两两通分合并，得到为复共轭对的项两两通分合并，得到: : kAks11( )(1)( )kNNs Tkkky ney nTA x nkA*101112112/2101121121( )1kkkkkks Ts TkkNkkkkkTATAbb zseza za zsezbb zH za za z滤波器系数为复数滤波器系数为复数例例6.2.1

52、6.2.1 二阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数为：二阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数为： 试用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器试用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器H(z)H(z)，并对不同的，并对不同的采样周期采样周期T T，观察频谱混叠失真现象。，观察频谱混叠失真现象。解解: : 采用待定系数法将采用待定系数法将Ha(s)Ha(s)部分分式展开。部分分式展开。Ha(s)Ha(s)的极点为：的极点为： 因此因此 解得解得 21( )21aHsss12122 (1), (1) 22sjsjs 122121( )21aAAHsssssss1222, 22AjAj 按实用公式，即式（按实用公

53、式，即式（6.2.126.2.12）得到数字滤波器的系统）得到数字滤波器的系统函数为：函数为：式中：式中：12112121112( )111s Ts TTATAbzH za za zezez2 /222sin2TbTeT2 /221222cos, 2TTaeTae 当当T T分别取分别取0.2s, 0.1s0.2s, 0.1s和和0.05s0.05s时，模拟滤波器和数字滤波器时，模拟滤波器和数字滤波器的幅频特性曲线如下图所示的幅频特性曲线如下图所示 模拟频率（模拟频率（HzHz） 数字频率（数字频率（radrad） (a) (a) 模拟滤波器频响曲线模拟滤波器频响曲线 (b) (b) 数字滤波

54、器频响曲线数字滤波器频响曲线 显然，采样周期显然，采样周期T T越大，频谱混叠失真越严重，越大，频谱混叠失真越严重， 与与 差别越大。所以，差别越大。所以，脉冲响应不变法不能用于将模拟高脉冲响应不变法不能用于将模拟高通和带阻滤波器转换成数字高通和带阻滤波器。通和带阻滤波器转换成数字高通和带阻滤波器。()jH e()aHj例例6.2.26.2.2 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器，要求通用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器，要求通带和阻带具有单调下降特性，指标参数如下带和阻带具有单调下降特性，指标参数如下: :解解: : 根据间接设计法的基本步骤求解。根据间接设计法的基本步骤求解。 （1 1）将

55、数字滤波器设计指标转换为相应模拟滤波器指标。）将数字滤波器设计指标转换为相应模拟滤波器指标。设采样周期为设采样周期为T T，得到，得到 （2 2）设计相应的模拟滤波器，得到模拟系统函数）设计相应的模拟滤波器，得到模拟系统函数Ha(s)Ha(s)。根据单调下降要求，选择巴特沃思滤波器。求出波纹幅根据单调下降要求，选择巴特沃思滤波器。求出波纹幅度参数为：度参数为：0.2,1 ,0.35,10 ppssraddBraddB0.2/,1 0.35/,10 pppsssTT radsdBTT radsdB /101/10/201011010.508847103.1623psA从而得到从而得到: :再将再

56、将k k和和k1k1代入，计算得到代入，计算得到 取整数取整数N=4N=4取取T=1sT=1s时时 查表查表6.1.16.1.1得到归一化得到归一化4 4阶巴特沃思多项式为：阶巴特沃思多项式为：得到归一化系统函数为：得到归一化系统函数为：214 / 7, 10.1696pskkA 1lg/ lg3.1704Nkk21 221 80.350.2659 /(1)(3.16251)scNradsA 41234( )()()()()Dppppppppp4123411( )()()()()kkkAG ppppppppppp将将 c c带入去归一化，得到希望设计的低通滤波器的系统带入去归一化，得到希望设计

57、的低通滤波器的系统函数为函数为: : 其中：其中：（3 3）将）将T=1sT=1s代入，将模拟滤波器系统函数代入，将模拟滤波器系统函数Ha(s)Ha(s)转换成数转换成数字滤波器系统函数字滤波器系统函数H(z)H(z)，即，即 44/11( )( )cckkap sckkkkABH sG pspss , kckkckspBA 4411111231234( )110.04560.10270.0154 1 1.91841.65460.68530.1127kkkks TskkBBH zeze zzzzzzzz 如果取如果取T=0.1sT=0.1s，可得到近似相同的，可得到近似相同的H(z)H(z)。

58、这说明当这说明当给定数字滤波器指标时，采样周期的取值对频谱混给定数字滤波器指标时，采样周期的取值对频谱混叠程度影响很小。所以，一般取叠程度影响很小。所以，一般取T=1sT=1s使设计运算最使设计运算最简单。简单。 T=1sT=1s时，时，T=0.1sT=0.1s时，如下图时，如下图6.2.36.2.3 图中数字滤波器满足指标要求，但是，由于频谱混图中数字滤波器满足指标要求，但是，由于频谱混叠失真，使数字滤波器在叠失真，使数字滤波器在= （对应模拟频率（对应模拟频率Fs/2 Fs/2 HzHz）附近的衰减明显小于模拟滤波器在）附近的衰减明显小于模拟滤波器在f = Fs/2f = Fs/2附附近的

59、衰减。近的衰减。例例6.2.2 6.2.2 设计的模拟和数字滤波器的损耗函数设计的模拟和数字滤波器的损耗函数 T=1T=1模拟模拟T=1T=1数字数字 T=0.1T=0.1模拟模拟T=0.1T=0.1数字数字 小结小结: : 1) 1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，性的，与与是线性关系。是线性关系。 因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反应原响应与频率的过变换后数字滤波器的频响可不失真地反应原响应与频率的关系。关系。 例如线性

60、相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 2)2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。响应不变法。()(),/jaH eHjT 3)3)如果如果Ha(s)Ha(s)是稳定的，即其极点在是稳定的，即其极点在S S左半平面，映射后得到的左半平面，映射后得到的H(z)H(z)也是稳定也是稳定 的。的。4)