振动力学(两自由度系统和多自由度系统)

1、1振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动主讲：沈火明主讲：沈火明2振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内是线性定常方程。而多自由度系统则是二阶多元联是线性定常方程。而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在相互立微分方程组，各广义坐标间存在相互“耦合耦合”现现象。象。 所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于这种耦所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于这种耦合，使微分方程的求解变得非常困难。因此，分析

2、合，使微分方程的求解变得非常困难。因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将方程方程“解耦解耦”，然后按单自由度的分析方法求解。，然后按单自由度的分析方法求解。 两自由度是多自由度系统最简单的情况。两自由度是多自由度系统最简单的情况。3振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样一样, 但难度更大。但难度更大。3.1.1 运动微分方程运动微分方程3.1 两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵 标

3、准的标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：系统，对每一质量利用牛顿定律得：4振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动坐标原点仍取在静平衡位置坐标原点仍取在静平衡位置写成矩阵形式写成矩阵形式1111111)(xcxktFxm 212212()()kxxc xx2323222)(xcxktFxm 212212()()kxxc xx)()tFxKxCxM 5振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动式中：式中：22211211mmmmM2100mm22211211ccccC322221cccccc22211211kkkkK322221kkkkkk2

4、1xxx)()()(21tFtFtF6振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动M称为系统的质量矩阵，称为系统的质量矩阵，K称为刚度矩阵，称为刚度矩阵，C称称为阻尼矩阵，为阻尼矩阵，x为系统的位移列阵，为系统的位移列阵，F(t)为外激为外激励列阵。励列阵。 对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。 由于矩阵由于矩阵M、 K、 C的非对角线元素不为的非对角线元素不为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。)()tFxKxC

5、xM 7振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.1.2 刚度影响系数与刚度矩阵刚度影响系数与刚度矩阵 刚度矩阵刚度矩阵K中的元素称为刚度影响系数，其中的元素称为刚度影响系数，其kij的力学意义是：仅在的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义位移，坐标处产生单位广义位移，系统平衡时需在系统平衡时需在i坐标处施加的广义力。坐标处施加的广义力。 具体求解时，只假设具体求解时，只假设j坐标处的位移为坐标处的位移为1，其它，其它各坐标的位移均为各坐标的位移均为0。8振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵惯性影响系数与质量矩

6、阵 质量矩阵质量矩阵M中的元素称为惯性（质量）影响中的元素称为惯性（质量）影响系数，其系数，其mij的力学意义是：仅在的力学意义是：仅在j坐标处产生单位坐标处产生单位广义加速度，需在广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。坐标处施加的广义力。 具体求解时，只假设具体求解时，只假设j坐标处的加速度为坐标处的加速度为1，其，其它各坐标的加速度均为它各坐标的加速度均为0。9振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动例：用刚度影响系数和惯性影例：用刚度影响系数和惯性影响系数求标准响系数求标准m-k-c系统的刚系统的刚度矩阵和质量矩阵。度矩阵和质量矩阵。10振动理论及应用第第3章章 多

7、自由度系统的振动多自由度系统的振动 柔度影响系数柔度影响系数Rij的力学意义是：在的力学意义是：在j j坐标处坐标处作用单位广义力，引起作用单位广义力，引起i坐标处的广义位移。由柔坐标处的广义位移。由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵 R。 由材料力学的位移互等定理可知由材料力学的位移互等定理可知RijRji，即即柔度矩阵是对称的。柔度矩阵是对称的。 3.2 两自由度系统的位移方程两自由度系统的位移方程 柔度矩阵柔度矩阵3.2.1 柔度影响系数与柔度矩阵柔度影响系数与柔度矩阵11振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动例：用柔度影响系数

8、求标准例：用柔度影响系数求标准m-k-c系统的柔度矩阵。系统的柔度矩阵。12振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 以柔度矩阵表示的方程为位移方程。以柔度矩阵表示的方程为位移方程。 对标准对标准m-k-c振动系统，质量振动系统，质量m1和和m2上的静上的静位移可以表示为位移可以表示为xst=RF，而系统的动位移为，而系统的动位移为11 11 121222232212() ()Fm xc xc xxxRFm xc xc xx)(xCxMFR 这就是系统振动方程的位移形式。这就是系统振动方程的位移形式。3.2.2 位移方程位移方程13振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的

9、振动多自由度系统的振动 因为因为R为正定矩阵，于是位移方程又可写为为正定矩阵，于是位移方程又可写为1xCxMFxR 与力形式的方程比较知与力形式的方程比较知 K=R1，R=K1 即对于正定系统即对于正定系统R和和K互为逆矩阵。互为逆矩阵。14振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动【例【例3-13-1】求系统的振动微求系统的振动微分方程。已知梁的抗弯刚分方程。已知梁的抗弯刚度为度为EIEI。33aFawEI 解：用影响系数法。解：用影响系数法。由材料力学挠度公式由材料力学挠度公式 2(3)6lFawlaEI15振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动

10、3311( /2)324llREIEI则则 231221( /2)5(3)6248lllRRlEIEI3223lREI325 51648lREI而而 则方程为则方程为 1200mMm311122202500516048xxmlmxxEI 16振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动若写为力方程形式若写为力方程形式 1316548 527EIKRl则方程为则方程为 1113222016504805207xxmEImxxl 下面用影响系数法直接求下面用影响系数法直接求K:17振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 设设x1=1,x2=0，则由，则由材料

11、力学公式有：材料力学公式有：33112133112151244850483llkkEIEIllkkEIEI同理有同理有33122233122250244851483llkkEIEIllkkEIEI 求出各个刚度系数求出各个刚度系数即组成刚度矩阵即组成刚度矩阵K。 18振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 对于非标准的对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程为：为：用拉格

12、朗日方程用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程建立振动系统的运动微分方程拉格朗日方程拉格朗日方程iiiidTTVQdtxxx19振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动1kikkkkkiirQFFrxx 其中：其中：T为系统的动能，为系统的动能，V为势能，为势能，Qi为非有势力为非有势力的广义力，的广义力，drk为与非有势广义力为与非有势广义力Fk对应的广义虚对应的广义虚位移。位移。 实际计算广义力实际计算广义力Qi时，通常假设与时，通常假设与xi对应的广义对应的广义虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。（i1，2）20振动理论及应用第

13、第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动【例【例3-2】用拉格郎日方程推导两自由度用拉格郎日方程推导两自由度m-k-c系系统微振动微分方程。统微振动微分方程。 解：取静平衡位置为坐解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置。标原点和零势能位置。 221 1221()2Tm xm x21振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动静平衡位置：静平衡位置：2222111121222223233112211()()221()2Vkxkxxkxm gxm gx2221 121232111()222Vk xkxxk x1 1122,km gk22233km gk则：则：22振动理论及

14、应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动1 11 11()dTdm xm xdtxdt22222()dTdm xm xdtxdt10Tx20Tx1 1212121221()()Vk xkxxkkxk xx21232213222()()Vkxxk xk xkkxx 23振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动计算广义力，设计算广义力，设m1产生虚位移产生虚位移dx1，而，而dx20，则，则 111 11212111112122()()F xc xxcxxxQxFccxc x同样设同样设m2产生虚位移产生虚位移dx2，而，而dx10，则，则 22322221222

15、232221()()Fxc xxcxxxQxFccxc x24振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程 1 1121221121220()()m xkkxk xFcc xc x得得iiiidTTVQdtxxx22213222322210()()m xk xkkxFccxc x整理写成矩阵形式即可。整理写成矩阵形式即可。 25振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动【例【例3-3】用拉格郎日方程建用拉格郎日方程建立系统微振动微分方程。立系统微振动微分方程。 解：取静平衡位置为坐解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置标原点

16、和零势能位置 22121()2Tmxmxx1x2D D1D D2222112111222VkxkkDD而而 12221122()klklxx D D D D则则 121221(24)/5(2)/5xxxxD D 26振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动所以所以 22112292110510Vkxkx xkx1 11 11()dTdm xm xdtxdt10Tx22222()dTdm xm xdtxdt20Tx1219255Vkxkxx1222155Vkxkxx 27振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动计算广义力，设只有计算广义力，设只有x1处

17、处产生虚位移产生虚位移 x1，则则 11111cxxQcxx 同样设同样设x2处处产生虚位移产生虚位移 x2，则，则 2200cQx 代入拉格朗日方程即可。代入拉格朗日方程即可。 28振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 只给出公式，不作严格推导。只给出公式，不作严格推导。1. 质量矩阵的形成质量矩阵的形成 系统的动能可以表示为系统的动能可以表示为12i i iiTmrr12iiikjikjkjrrmxxxx12iiikjkjikjrrmx xxx 用能量法确定振动系统的用能量法确定振动系统的M、K、C29振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动

18、记记iikjjkiikjrrmmmxx则则11 22TkjkjkjTm x xxMx M即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。2. 刚度矩阵的形成刚度矩阵的形成 势能可写为势能可写为12kjkjkjVk x x1 2TxKx K即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。30振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动3. 阻尼矩阵的形成阻尼矩阵的形成 线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为C即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。12dkjkjkjEc x x 1 2

19、TxCx31振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动【例【例3-4】求求M和和K。 解：取静平衡位置为坐解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置标原点和零势能位置 2 22 2121122Tmlmlll2200mlMml则则 2212121()(1cos)(1cos)2Vkamglmgl能量法能量法32振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动2222212121211(2)()22Vkamgl将余弦函数用级数展开，表示为将余弦函数用级数展开，表示为22cos12sin122iii 则则 所以所以 2222kamglkaKkakamgl33振动理论及应用

20、第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动无阻尼自由振动系统的运动方程为无阻尼自由振动系统的运动方程为3.3.1固有频率与固有振型固有频率与固有振型3.3 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动 0MxKx假设方程解的形式为假设方程解的形式为1122 sin()xXxtxX34振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 这里：这里：X1、X2为振动幅值，为振动幅值， 为固有频率，为固有频率， 为初相位。代入振动方程可得：为初相位。代入振动方程可得： 这是广义的特征值问题，这是广义的特征值问题，K- 2M称为特征称为特征矩阵。要使上式有解，必须使其系数行列式为

21、矩阵。要使上式有解，必须使其系数行列式为零。若零。若M为对角阵，为对角阵，K为对称阵，则有为对称阵，则有0)(2XMK02222211212112mkkkmkMK35振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 上式称为频率方程或特征方程。由此可求上式称为频率方程或特征方程。由此可求出出 2的两个正实根。且规定的两个正实根。且规定 1 = 2 。 将这两个根代入广义特征值问题将这两个根代入广义特征值问题(K 2M) X=0可得到相应的振幅比值可得到相应的振幅比值 式中式中X(i)表示对应于第表示对应于第i个固有频率的振幅个固有频率的振幅(i=1, 2)。由数学概念知道，只能求

22、出振幅的。由数学概念知道，只能求出振幅的比值，而不能确定各振幅大小。比值，而不能确定各振幅大小。2( )111212( )2112222iiiiikmXkuXkkm 36振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 和单自由度一样，由于固有频率和振幅比和单自由度一样，由于固有频率和振幅比ui只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励和初始条件无关，这表明它们都是系统的固有和初始条件无关，这表明它们都是系统的固有属性。因此把属性。因此把 i称为系统的固有频率或主频率，称为系统的固有频率或主频率，ui称为系统的固有振型或主振型。称为系统的固有

23、振型或主振型。 将振幅写成矩阵形式将振幅写成矩阵形式( )1( )( )1( )21iiiiiXXXuX 称为振型向量或模态向量，组成的矩阵称为振型向量或模态向量，组成的矩阵称为振型矩阵。称为振型矩阵。37振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 式中的式中的X1可以取任意值。显然两个主振可以取任意值。显然两个主振动的叠加也是方程的解，即动的叠加也是方程的解，即3.4 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应112( )( )( )( )1sin()iiiiiiixxXtux11211112212211 sin()sin()xxXtXtuux（ ）（ ）5.4 两个自由度

24、系统的自由振动两个自由度系统的自由振动38振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 由解的形式可看出，系统两质量按相同的频率由解的形式可看出，系统两质量按相同的频率和相位角作简谐运动，这种运动称为固有振动或主和相位角作简谐运动，这种运动称为固有振动或主振动。振动。 每一个主振动称为一个模态，每一个主振动称为一个模态， i和对应的和对应的ui组成组成第第i 阶模态参数。阶模态参数。 系统在主振动中，各质点同时达到平衡位置或系统在主振动中，各质点同时达到平衡位置或最大位移，而在整个振动过程中，各质点位移的比最大位移，而在整个振动过程中，各质点位移的比值将始终保持不变，也就是说

25、，在主振动中，系统值将始终保持不变，也就是说，在主振动中，系统振动的形式保持不变，这就是振型的物理意义。振动的形式保持不变，这就是振型的物理意义。 39振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 式中的各个式中的各个X、 和和C均为任意常数，由初始条均为任意常数，由初始条件确定。件确定。或写为下面的形式或写为下面的形式1(1)(1)112111211 cossinxxCtCtuux(2)(2)12222211cossinCtCtuu40振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动将初始条件代入可得将初始条件代入可得设初始条件为设初始条件为t0时时00,(1

26、,2)iiiixxxxi2(1)22010212010222112(2)2021011021012212120102210102122010210102()1()()1()()()arctan,arctanu xxXu xxuuxu xXxu xuuu xxu xxu xxu xx41振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 综上所述，系统对初始激励的响应求综上所述，系统对初始激励的响应求解步骤为：解步骤为：（1）建立运动微分方程，求出质量矩阵）建立运动微分方程，求出质量矩阵M和刚度矩阵和刚度矩阵K;（2）确定固有频率）确定固有频率 i 和振幅比和振幅比ui ;（3）利用

27、初始条件求响应。）利用初始条件求响应。(1)(2)0201201 102111212(1)(2)0201201 10222112212,()()xx ux uxCCuuuuxx ux uxCCuuuu42振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动【3-5】求系统的频率方程。求系统的频率方程。 解：取静平衡位置为坐标原点解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置和零势能位置 22221211222LTmmL221040mLMmL则则 2212121()(1cos)(1cos)242LLVkmgmgL43振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动22222112

28、12211(2)()2 1622kLVmgL将余弦函数表示为将余弦函数表示为22cos12sin122iii 则则 所以所以 22221162161616kLkLmgLKkLkLmgL44振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动【T5-26】求系统的固有频率。】求系统的固有频率。 解：用牛顿定律解：用牛顿定律 112200mxkmxk131232213,xx kLkLkL而而 x1x2 1 2 3解得解得 1211222323xxxx则方程为则方程为 121122203203xxmxkxxmxk45振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动频率方程为频

29、率方程为即即 222222221116241601616kLkLmgLmLkLkLmgLmL2211111222122220kmkKMkkm展开得展开得 242335230168gkggkLmLmL-+46振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动频率方程为频率方程为00mMm21331233kkKkk 222330233kkmkkm解得解得12,3kkmm47振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动【3-5】质量为质量为m2的物块从高的物块从高h处自由处自由落下，然后与弹簧质量系统一起做自由落下，然后与弹簧质量系统一起做自由振动，已知振动，已知m1m

30、2m，k1k2k，h100 mg/k，求系统的振动响应。，求系统的振动响应。 解解:（1）用牛顿定律建立方程用牛顿定律建立方程1 11 121222212()()m xk xkxxm xkxx 1200mMm12222kkkKkk48振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动（2）频率方程为）频率方程为2220kmkkkm解得解得120.618,1.618kkmm（3）求振型。利用）求振型。利用0)(2XMK则则(1)2112(1)1220XkmkkkmX(1)21(1)11.618XuX同理同理(2)22(2)10.618XuX 49振动理论及应用第第3章章 多自由度系统

31、的振动多自由度系统的振动（4）求响应）求响应初始条件初始条件01010,xx代入得代入得1(1)(1)112111211 cossinxxCtCtuux(2)(2)12222211cossinCtCtuu020,x022xgh(1)(2)11(1)(2)112100CCu Cu C(1)(2)1222(1)(2)1 1222202CCu Cu Cgh50振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动解得解得响应为响应为(1)(2)110,CC(1)(2)2210.233,3.908mgmgCCkk 11121 10.233sinxmgxtukx2213.908sinmgtuk5

32、1振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 在二阶振动微分方程中，如果质量矩阵在二阶振动微分方程中，如果质量矩阵M和和刚度矩阵刚度矩阵K的各个元素都不为零，则在两个方程的各个元素都不为零，则在两个方程中都同时包含坐标中都同时包含坐标x1和和x2和它们的导数项，这种情和它们的导数项，这种情形称为坐标耦合。形称为坐标耦合。 把把M为对角阵，为对角阵，K不是对角阵的情形称为静不是对角阵的情形称为静力耦合或弹性耦合（刚性耦合），把力耦合或弹性耦合（刚性耦合），把K为对角阵，为对角阵，M不是对角阵的情形称为动力耦合或惯性耦合。不是对角阵的情形称为动力耦合或惯性耦合。3.5 广义坐标

33、与坐标耦合广义坐标与坐标耦合52振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 方程是否耦合与广义坐标的选取有关。前方程是否耦合与广义坐标的选取有关。前面分析的标准面分析的标准m-k-c系统就是静力耦合。系统就是静力耦合。 对于下面的振动系统，设杆的质量为对于下面的振动系统，设杆的质量为m，绕质心的转动惯量为绕质心的转动惯量为JC。53振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 若取质心位移若取质心位移x和转角和转角 为广义坐标，为广义坐标，则自由振动方程是则自由振动方程是静力耦合的静力耦合的12122212120()00()0Cxmkkk ak bxJk

34、ak bk ak b 54振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 若坐标若坐标x不取在质心不取在质心,而是选在满足而是选在满足k1a1k2b2的的O点位置，利用平面点位置，利用平面运动微分方程可得到运动微分方程可得到12221 12 10000OxmmekkxmeJk ak b 其中其中e为为O点距质心的距离，这时运动方点距质心的距离，这时运动方程是动力耦合的。程是动力耦合的。O OCea1b121()kxb)(11axk55振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动2() k xa b 同样，若将坐标同样，若将坐标x取在最左端取在最左端A，利用，利

35、用平面运动微分方程得平面运动微分方程得到运动方程为到运动方程为 这里的这里的a和和b如原图所标的位置。方程既如原图所标的位置。方程既是静力耦合又是动力耦合。是静力耦合又是动力耦合。122222()0()()0Axmmakkk abxmaJk abk ab 1kx56振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 从前面的分析可知，只要广义坐标形式选择从前面的分析可知，只要广义坐标形式选择合适，就可以得到没有坐标耦合的运动微分方程，合适，就可以得到没有坐标耦合的运动微分方程，这时的广义坐标称为主坐标。这时的广义坐标称为主坐标。 主坐标下的质量矩阵和刚度矩阵除主对角线主坐标下的质量

36、矩阵和刚度矩阵除主对角线元素外，其余元素均为零，各个运动方程的坐标元素外，其余元素均为零，各个运动方程的坐标之间不存在耦合。之间不存在耦合。3.6 主坐标主坐标57振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动其中其中u是前面得到的振型矩阵是前面得到的振型矩阵 1211uuu令令 xuP 将将x代入原振动方程，化简后就可得到代入原振动方程，化简后就可得到解耦的运动方程（下章证明）解耦的运动方程（下章证明）2 0iiPP58振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 显然上述解耦的方程的解可以用单显然上述解耦的方程的解可以用单自由度振动的方法独立求得自由度振动

37、的方法独立求得 将其代入将其代入x=uP即可得到用原始即可得到用原始坐标坐标x表示的一般解。表示的一般解。 主坐标的概念在强迫振动中具有重主坐标的概念在强迫振动中具有重要意义。要意义。sin()iiiiPCt59振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 利用主坐标解耦的方法求解系统响应利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：的基本步骤为：（1）求出原振动方程的固有频率和振幅）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵比，得到振型矩阵u；（2）求出主坐标下的响应；）求出主坐标下的响应；sin()iiiiPCt（3）利用式）利用式x=uP得出原广义坐标得出原广义坐标

38、下的响应；下的响应；（4）利用初始条件确定常系数。）利用初始条件确定常系数。60振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动【例例3-7】标准标准m-k-c系统中，系统中，设设m1m, m22m, k1k2k, k32k, c=0, 求系统的固有频率求系统的固有频率和固有振型。利用坐标变换方和固有振型。利用坐标变换方法求系统对初始激励的响应。法求系统对初始激励的响应。设初始条件为设初始条件为010201021,0 xxxx61振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 解解:（1）求固有频率和振幅比）求固有频率和振幅比,得到振型矩阵得到振型矩阵u21,km

39、225,2km1211,2uu 11 112u002mMm23kkKkk62振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动sin()iiiiPCt（3）利用式）利用式x=uP得出得出（2）主坐标下的响应）主坐标下的响应（4）确定常系数。将初始条件代入得）确定常系数。将初始条件代入得1111222sin()sin()xCtCt21112221sin()sin()2xCtCt11221sinsinCC112211sinsin2CC63振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动联立解得联立解得1112220coscosCC11122210coscos2CC1211

40、,0,/2CC所以所以121sin()cos2kxxttm64振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动两自由度振动微分方程为两自由度振动微分方程为复数解法复数解法3.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动 ( )MxCxKxF t设干扰力为谐和函数，并表示为复数形式设干扰力为谐和函数，并表示为复数形式 1122( )( )( )i ti tF tFF teF eFtF令方程的解为令方程的解为1122( ) ( )( )ititx tXx teX extX65振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动其中其中X1和和X2为复振幅。将上式代入方程

41、得为复振幅。将上式代入方程得 ( ) ZXF其中其中11122122( )( ) ( )( )( )zzZzz2( )ijijijijzmi ck (i, j=1, 2) 2 ( )ZKM2( )ijijijzkm若为无阻尼系统，则若为无阻尼系统，则66振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动振幅为振幅为22112212112212( )( )( )( )( )zFzFXzzz12111222112212( )( )( )( )( )zFzFXzzz 若干扰力为正弦函数或余弦函数，则前面若干扰力为正弦函数或余弦函数，则前面分析中相关的分析中相关的ei t 变为变为sin

42、t 或或cos t 即可。即可。1 ( ) XZF即即67振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 由此可看出由此可看出:（1）当激励频率与系统的固有频率接近时，系）当激励频率与系统的固有频率接近时，系统出现共振现象，即无阻尼振幅将达到无穷大，统出现共振现象，即无阻尼振幅将达到无穷大，所不同的是，两自由度系统有两个共振峰；所不同的是，两自由度系统有两个共振峰；（2）阻尼的存在使共振振幅减小，在相同的阻）阻尼的存在使共振振幅减小，在相同的阻尼下，频率高的共振峰降低的程度比频率低的大。尼下，频率高的共振峰降低的程度比频率低的大。因此实际结构的动力响应只需要考虑最低几阶模因此实

43、际结构的动力响应只需要考虑最低几阶模态的影响。态的影响。68振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 和单自由度的概念类似，可以绘出频率比与振幅和单自由度的概念类似，可以绘出频率比与振幅之间随阻尼比的变化曲线之间随阻尼比的变化曲线幅频响应曲线幅频响应曲线频率响应曲线频率响应曲线 共振现象共振现象69振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动【例【例3-8】在两自由度标准在两自由度标准m-k系统中，设系统中，设m1m2m，k1k2k3k，在第一个质量上作用，在第一个质量上作用有干扰力有干扰力F1(t)=F0cos t，求系统的响应。，求系统的响应。 解：

44、解：00mMm22kkKkk设解为设解为 cosxXt代入振动方程得代入振动方程得2 (cos) cos MXtKXtF70振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动即即110222102101120XXFmkXX解得解得2001224222422(2),4343kmFkFXXmmkkmmkk因此系统的响应为因此系统的响应为201124220222422(2)cos( )( )cos43cos( )( )cos43kmFtx tXtmmkkkFtx tXtmmkk71振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 【3-9】图示系统，图示系统，xsa sin

45、 t，当，当 为基频的为基频的0.707倍时，车体倍时，车体W2的振幅为的振幅为a的多少倍。已知的多少倍。已知W144100 N，W2441000 N，k11.683107 N/m，k23.136108 N/m。1111122222220sin00 xxk amkkktmkkxx解解: 振动方程为振动方程为1 11121222212()()()sm xk xxkxxm xkxx 即即72振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 代入数据，求得固有频率为代入数据，求得固有频率为 118.04， 2282.97 机车振动频率为机车振动频率为 0.707 1 0.707 18.

46、04 12.76利用前面的方法求得振幅为利用前面的方法求得振幅为222112221212222 12222121222()1.957()()2.004()()kmk aXakkmkmkk k aXakkmkmk73振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 当机器转速在共振区域附近时会引起剧烈的振动，当机器转速在共振区域附近时会引起剧烈的振动，由单自由度系统振动理论知道，可以通过调整质量由单自由度系统振动理论知道，可以通过调整质量或弹簧刚度或增加阻尼来使振动情况得到缓解。或弹簧刚度或增加阻尼来使振动情况得到缓解。 动力吸振器的原理是在原系统上附加一个新的动力吸振器的原理是在

47、原系统上附加一个新的m-k或或m-c系统，使其变成两自由度的振动系统，利用系统，使其变成两自由度的振动系统，利用前面研究的理论，使原振动系统的振幅趋于零。前面研究的理论，使原振动系统的振幅趋于零。动力吸振器动力吸振器74振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 m1-k1为原来的基本振动为原来的基本振动系统，系统，m2-k2为附加的吸振为附加的吸振系统，这两个系统组成了两系统，这两个系统组成了两自由度振动系统。运动微分自由度振动系统。运动微分方程为方程为无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器111122122222sin0 xxmkkkFtmkkxx75振动理论及应用第第3章章

48、 多自由度系统的振动多自由度系统的振动利用前面的方法求得振幅为利用前面的方法求得振幅为22211222121222212222121222()()()()()kmFXkkmkmkk FXkkmkmk引入记号引入记号11nkm基本系统的固有频率基本系统的固有频率;76振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动22akm吸振系统的固有频率吸振系统的固有频率;11/stxF k基本系统的静位移基本系统的静位移;21/mm吸振质量与基本质量之比吸振质量与基本质量之比. 一般动力吸振器设计成一般动力吸振器设计成 n a，引入频率比，引入频率比r，则振幅可写为则振幅可写为21421,(

49、2)1stXrxrr2421(2)1stXxrr77振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 由此可看出：由此可看出： （1）r1即激振频率即激振频率 等于吸振系统固有频率等于吸振系统固有频率 a时，时，X10，即达到最佳吸振效果；，即达到最佳吸振效果； （2）吸振器设计时一般只要求）吸振器设计时一般只要求 a n，因此吸，因此吸振系统的参数有广泛的选择余地。振系统的参数有广泛的选择余地。 通常，实际的设计选择是要求适当限制吸振系通常，实际的设计选择是要求适当限制吸振系统运动的振幅统运动的振幅X2。由。由X2/xst的式子可知，质量比的式子可知，质量比 越越大，在大，在r

50、1时时X2越小，因此我们取越小，因此我们取 值不能太小。值不能太小。78振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动【3-9】机器质量机器质量m190 kg，减振器质量，减振器质量m22.25 kg，机器上偏心块质量为，机器上偏心块质量为m0.5 kg，偏心距，偏心距e1 cm，机器转速，机器转速n1800 r/min。求。求（1）减振器刚度）减振器刚度k2多多大才能使机器振幅为大才能使机器振幅为0；（2）此时减振器的振）此时减振器的振幅为多大；（幅为多大；（3）若使）若使减振器的振幅不超过减振器的振幅不超过2 mm，应如何改变减振，应如何改变减振器的参数。器的参数。79振动

51、理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动2( )sin177.65sin 603030nnF tmett解解: 振动方程为振动方程为其中其中11112222222( )0 xxmmkkkF tmkkxx（1）利用前面求得的振幅公式）利用前面求得的振幅公式22211222121222()()()kmFXkkmkmk80振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 代入数据代入数据,令令X10求得求得: k279943.8 N/m代入公式求得减震器振幅为代入公式求得减震器振幅为2122221212220.00222 m()()k FXkkmkmk（3）设减震器振

52、幅）设减震器振幅X2=0.002，同时设，同时设 1 2 求得求得k22211mkmmk（2）设）设 求得求得: k13215517.1 N/m81振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 多自由度系统指的是可以用有限个自由度描多自由度系统指的是可以用有限个自由度描述的振动系统。一般来说，一个述的振动系统。一般来说，一个n自由度的振动系自由度的振动系统，其广义位移可以用统，其广义位移可以用n个独立坐标来描述，其运个独立坐标来描述，其运动规律通常可用动规律通常可用n个二阶常微分方程来确定。个二阶常微分方程来确定。 多自由度振动系统的很多概念和研究方法在两多

53、自由度振动系统的很多概念和研究方法在两自由度系统中已经讨论。自由度系统中已经讨论。3.8 多自由度系统的振动多自由度系统的振动82振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 建立振动系统运动微分方程的方法和两自由建立振动系统运动微分方程的方法和两自由度系统一样，包括一般的动力学方法、影响系数度系统一样，包括一般的动力学方法、影响系数法（刚度影响系数和柔度影响系数）、拉格朗日法（刚度影响系数和柔度影响系数）、拉格朗日方程和能量方法等。方程和能量方法等。3.8.1 运动微分方程式运动微分方程式83振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多

54、自由度系统的振动【3-10】求系统的微振动微分方程。求系统的微振动微分方程。84振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动122300100200mMm rm12222233330()0kkk rKk rkk rk rk rk85振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动无阻尼自由振动的运动方程为无阻尼自由振动的运动方程为3.8.2.1 主主振型振型方程式方程式 特征值和特征向量特征值和特征向量3.8.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题 0MxKx 利用两自由度系统的分析结果，假设方程解利用两自由度

55、系统的分析结果，假设方程解的形式为的形式为 sin()xXt86振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动式中式中X为振幅向量，为振幅向量， 为固有频率，为固有频率， 为初相位。为初相位。代入振动方程可得：代入振动方程可得：K- 2M称为特征矩阵。要使上式有解，必须使称为特征矩阵。要使上式有解，必须使其系数行列式为零：其系数行列式为零：2() 0KMX20KM上式称为频率方程或特征方程。由此可求出上式称为频率方程或特征方程。由此可求出n个特个特征根征根 2。 sin()xXt87振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振

56、动 将每个特征根将每个特征根 i（固有频率）代入广义特征值问（固有频率）代入广义特征值问题题(K 2M)X=0, 可得到相应的非零向量可得到相应的非零向量X(i), 称为特征矢量称为特征矢量,或称特征向量、固有振型、固有向量、或称特征向量、固有振型、固有向量、模态向量等。显然模态向量等。显然: 和两自由度一样，由上式只能求出振幅的比值，和两自由度一样，由上式只能求出振幅的比值，而不能确定各振幅大小。而不能确定各振幅大小。 固有频率和特征向量只决定于系统本身的物理固有频率和特征向量只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励和初始条件无关，它们都是系特性，而与外部激励和初始条件无关，它们都是系统的固

57、有属性。统的固有属性。2( )()0, (1,2)iiKMXin88振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 例例3-10中：设中：设m1m31，m22，r1， k1k2k31。求固有频率和振型。求固有频率和振型。89振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动解：代入数值得解：代入数值得代入代入|K- 2M|=0得：得：100010001M210121011K 6425610 理论求解很困难，一般通过试算或利用工具理论求解很困难，一般通过试算或利用工具软件，如软件，如Excel、MATLAB、Mathematica等

58、。等。90振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 利用利用Excel计算固有频率步骤：计算固有频率步骤：(1)定义变量。如在定义变量。如在A1格格“插入插入”-“名称名称”-“定定义义”w(2)输入公式。如在输入公式。如在A2格输入格输入 =w3-5*w2+6*w-1(3)“工具工具”-“单变量求解单变量求解”(只能求第一固有频只能求第一固有频率率)(4)高阶特征值的求解要用高阶特征值的求解要用 “工具工具”-“规划求规划求解解” 固有频率为：固有频率为：2221230.198,1.555,3.24791振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自

59、由度系统的振动多自由度系统的振动3.8.2.2 振型的基准化和标准化振型的基准化和标准化1.振型的基准化振型的基准化 由于固有振型由于固有振型X(i) 只是振幅的比例关系，各阶振型均只是振幅的比例关系，各阶振型均有一个未确定的常数比例因子。通常假设振型的某个元素有一个未确定的常数比例因子。通常假设振型的某个元素为为1，则其它元素就可以表示为此元素的倍数，这种方法或，则其它元素就可以表示为此元素的倍数，这种方法或过程就是振型的基准化。过程就是振型的基准化。 一般假设振型的第一个元素为一般假设振型的第一个元素为1。92振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动

60、分别代入分别代入(K- 2M)X=0得：得：(1)11.8022.247X(2)10.4450.802X(3)11.2470.555X 93振动理论及应用振动理论及应用第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动2. 振型的标准化振型的标准化 另外一种确定振型各元素数值的方法是以某另外一种确定振型各元素数值的方法是以某个限制条件来确定振型中的常数因子。通常规定个限制条件来确定振型中的常数因子。通常规定 XN(i)满足条件满足条件( )( ) 1iTiNNXMX 满足这个限制条件的振型满足这个限制条件的振型XN(i)称为标准化称为标准化（或正规化、归一化）的振型。（或正规化、归一化）的振