2.5.1直线与圆的位置关系课件-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1、2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程直线和圆的方程，通过定量计，通过定量计算研究算研究直线与圆直线与圆、圆与圆圆与圆的位置关系的位置关系.2.5.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系我们知道，直线与圆有三种位置

2、关系我们知道，直线与圆有三种位置关系: (1) 直线与圆直线与圆相交相交，有两个公共点，有两个公共点; (2) 直线与圆直线与圆相切相切，只有一个公共点，只有一个公共点; (3) 直线与圆直线与圆相离相离，没有公共点，没有公共点. 思考思考 在初中在初中, 我们怎样判断直线与圆的位置关系我们怎样判断直线与圆的位置关系? 根据上述定义根据上述定义, 如何利如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?下面，我们通过具体例子进行研究下面，我们通过具体例子进行研究. 例例1 已知直线已知直线l: 3xy60和圆心为和圆心为C的圆的圆x2y22y40, 判断直线判

3、断直线l与圆与圆C的位置关系的位置关系; 如果相交如果相交, 求直线求直线l被圆被圆C所截得的弦长所截得的弦长.解解1:(代数法代数法)22360240 xyyxyy 联联立立方方程程, ,消消去去 , ,得得2320 xx ，121,2.xx 解解得得lC直直线线 与与圆圆相相交交. .12121,23,0.xxlyy 把把代代入入直直线线 的的方方程程, ,可可得得(1,3),(2,0)lCAB直直线线 与与圆圆 的的两两个个交交点点是是. .22|(12)(30)10lCAB 直直线线 被被圆圆 所所截截得得的的弦弦长长为为| |. .判断直线与圆位置关系的方法：判断直线与圆位置关系的方

4、法：(1) 代数法：代数法： 0消去消去y(或或x), 得到关于得到关于x(或或y)的一元二次方程的一元二次方程.利用一元二次方程的判别式确定解的情况利用一元二次方程的判别式确定解的情况, 判断直线与圆位置关系：判断直线与圆位置关系：直线直线l与圆与圆C相交相交；方程有两不等实根方程有两不等实根 0直线直线l与圆与圆C相切相切；方程有两个相等实根方程有两个相等实根 0直线直线l与圆与圆C相离相离.方程无实数根方程无实数根 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, 要判断直线要判断直线l: Ax+By+C=0与圆与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系的位置关系, 可以联立它们的方程可以

5、联立它们的方程, 通过方程组通过方程组220(1)0AxByCxyDxEyF 若相交若相交, 可以由方程组可以由方程组(1)解得解得两交点坐标两交点坐标利用利用两点间的距离公式两点间的距离公式求得求得弦长弦长. 例例1 已知直线已知直线l: 3xy60和圆心为和圆心为C的圆的圆x2y22y40, 判断直线判断直线l与圆与圆C的位置关系的位置关系; 如果相交如果相交, 求直线求直线l被圆被圆C所截得的弦长所截得的弦长.解解2:(几何法几何法)xOy621BAdlC22(1)5.Cxy 将将圆圆 的的方方程程配配方方, ,可可得得(0,1)5.CCr 圆圆 的的圆圆心心坐坐标标为为, ,半半径径为

6、为22|3016|10(0,1)5.231Cld 圆圆心心到到直直线线 的的距距离离为为lCA B设设直直线线 与与圆圆 的的交交点点为为 , , , ,则则由由垂垂径径定定理理, ,可可得得lC直直线线 与与圆圆相相交交. .22210|22 5()10.2ABrd 10lC直直线线 被被圆圆 所所截截得得的的弦弦长长为为. . dr 已知直线已知直线l: Ax+By+C=0, 圆圆C: (xa)2 + (yb)2=r2. 设圆心设圆心C到直线到直线l的距离为的距离为d，则有则有 dr直线直线l与圆与圆C相交相交； dr直线直线l与圆与圆C相切相切；直线直线l与圆与圆C相离相离.判断直线与圆

7、位置关系的方法：判断直线与圆位置关系的方法：(2) 几何法：几何法： 根据圆的方程求得圆心坐标与半径根据圆的方程求得圆心坐标与半径r, 从而求得从而求得圆心到直线的距离圆心到直线的距离d, 通过比较通过比较d与与r的大小的大小, 判断判断直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系. 若相交若相交, 则可利用则可利用勾股定理求得弦长勾股定理求得弦长. xyOABd.C若直线若直线l与圆与圆C相交相交, 则则弦长公式为弦长公式为22|2ABrd r1. 判断下列各组直线判断下列各组直线l与圆与圆C的位置关系的位置关系, 如果相交如果相交, 求直线求直线l被圆被圆C所截得的弦长所截得的弦长. 222222

8、(1) :10,:3;(2) :3420:20;(3) :30,:20.lxyCxylxyCxyxlxyCxyy圆圆，圆圆圆圆解解:(1)|001|2.22Cldr 圆圆心心 到到直直线线 的的距距离离为为10.lC直直线线 与与圆圆相相交交, ,且且弦弦长长为为(2)(1,0)1.|3 1402|1.5CrCldr 由由已已知知得得, ,圆圆心心 的的坐坐标标为为, ,半半径径为为圆圆心心 到到直直线线 的的距距离离为为, ,直直线线与与圆圆相相切切(3)(0, 1)1.|013|21.2CrCld 由由已已知知得得, ,圆圆心心 的的坐坐标标为为, ,半半径径为为圆圆心心 到到直直线线 的

9、的距距离离为为, ,直直线线与与圆圆相相离离例例2 过点过点P(2, 1)作圆作圆O: x2y21的切线的切线l, 求切线求切线l的方程的方程.解解1:(几何法几何法)2| 21|410.31kkkk , ,解解得得或或481010,33lyxy 切切线线 的的方方程程为为或或,llk由由题题意意知知 切切线线 的的斜斜率率存存在在, ,设设切切线线 的的斜斜率率为为 , ,则则1(2)210.lyk xkxyk 切切线线 的的方方程程为为, ,即即14350.yxy 即即或或-1xOy112P(2,1)r例例2 过点过点P(2, 1)作圆作圆O: x2y21的切线的切线l, 求切线求切线l的

10、方程的方程.解解2:(代数法代数法)222101kxykyxy 联联立立方方程程, ,消消去去 , ,得得2222(1)(24)440kxkkxkk ，0 由由, ,可可得得222(24)4(1)(44 )0,kkkkk 40.3kk 解解得得或或481010,33lyxy 直直线线 的的方方程程为为或或,llk由由题题意意知知 切切线线 的的斜斜率率存存在在, ,设设切切线线 的的斜斜率率为为 , ,则则1(2)210.lyk xkxyk 切切线线 的的方方程程为为, ,即即14350.yxy 即即或或-1xOy112P(2,1)r2. 已知直线已知直线4x3y350与圆心在原点的圆与圆心在

11、原点的圆C相切相切, 求圆求圆C的方程的方程.222:Cxyr 解解 设设圆圆 的的方方程程为为, ,由由题题意意, ,可可得得22|403035|357.543r 2249Cxy 圆圆 的的方方程程为为. .注意： 1. 求圆的切线方程时一定要对切线斜率存在与否进行讨论, 否则有可能会漏解； 2. 求切线方程判定切线所过的点是在圆上还是在圆外，再设方程求解.巩固训练：巩固训练：1. 过点过点P(3,1)与圆与圆C: (x4)2+(y2)2=1相切的切线方程为相切的切线方程为_.x=3或或4x-3y-15=02. 过点过点P(1, 3)与圆与圆C: (x4)2(y2)210相切的切线方程为相切

12、的切线方程为_.3xy0 xOyP(3,-1)C(4,2)xOyC(4,2)P(3,-1)(1)求过已知点的圆的切线的方法求过已知点的圆的切线的方法如果已知如果已知点在圆上点在圆上，那么那么圆心和已知点的连线和切线垂直圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得从而求得切线的斜率切线的斜率，用直线的用直线的点斜式方程点斜式方程可求得切线方程可求得切线方程如果已知如果已知点在圆外点在圆外，过这点的过这点的切线将有两条切线将有两条，但在但在设斜率解题时要先设斜率解题时要先判定斜率是否存在，否则可能会漏解判定斜率是否存在，否则可能会漏解. (2)求切线长最小值的两种方法求切线长最小值的两种方法(代数法代数

13、法)直接利用勾股定理求出切线长直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一把切线长中的变量统一成一个个，转化成函数求最值；转化成函数求最值；(几何法几何法)把切线长最值问题转化成把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离圆心到直线的距离问题问题总结：总结：直线与圆相交时弦长的两种求法：直线与圆相交时弦长的两种求法：(2)代数法：代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 (1)几何法：几何法：如图如图示示，直线，直线l与圆与圆C交于交于A，B两点，设弦心两点，设弦心距为距为d，圆的半

14、径为，圆的半径为r，弦长为，弦长为|AB|，则有，则有22222|()|2.2ABdrABrd , ,即即其中其中k为直线为直线l的斜率的斜率, a是方程组消元后的二次方程的二次项系数是方程组消元后的二次方程的二次项系数, 是判别式是判别式.xOylCdABr221212|()()ABxxyy 21212211|1|kxxyyk 22111.|kaka 22212121212211()41()4.kxxx xyyy yk 3. 判断直线判断直线2xy20与圆与圆(x1)2(y2)24的位置关系；如果相交，求直的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长线被圆截得的弦长.22|2 122|2:(1

15、,2)2.52( 1)d 解解 圆圆心心到到直直线线的的距距离离为为直直线线与与圆圆相相交交，且且直直线线被被圆圆截截得得的的弦弦长长为为2248 522 4.55rd 【巩固训练巩固训练1】若直线若直线4x3ya0与圆与圆x2y2100有有: 相交相交; 相切相切; 相离相离.试分别求实数试分别求实数a的取值范围的取值范围(2) 若直线若直线xy10与圆与圆(xa)2y22有公共点有公共点, 则实数则实数a的取值范围是的取值范围是 ( )A3,1 B1,3 C3,1 D(,31,)【巩固训练巩固训练2】 (1) 直线直线xky10与圆与圆x2y21的位置关系是的位置关系是() A相交相交 B

16、相离相离 C相交或相切相交或相切 D相切相切CC-1xOyP(0,-1)例例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度圆拱跨度AB=20m, 拱高拱高OP=4m, 建造建造时每间隔时每间隔4m需要用一根支柱支撑需要用一根支柱支撑, 求支柱求支柱A2P2的高度的高度(精确到精确到0.01m). ABPA1A2A3A4P2Oxy 解解: 建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱所在圆的圆心设圆拱所在圆的圆心坐标为坐标为(0, b)，圆的半径为，圆的半径为r，则圆的方程为，则圆的方程为222().xybr 由题意，点由题意，点P, B在圆上，且

17、它们的坐标分别为在圆上，且它们的坐标分别为(0, 4), (10, 0)，则有，则有 2222220(4),10(0)brbr 10.514.5.br , , 所以，圆的方程是所以，圆的方程是222(10.5)14.5 .xy解得解得把把 代入上式，得代入上式，得2x 3.86.y 所以支柱所以支柱A2P2的高度约为的高度约为3.86m.1. 赵州桥的跨度是赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为，圆拱高约为7.2m. 求这座圆拱桥的拱圆的方程求这座圆拱桥的拱圆的方程.ABPOxy 解解: 建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱所在圆的设圆拱所在圆的圆心坐标为圆心坐标为(0,

18、b)，圆的半径为，圆的半径为r，则圆的方程为，则圆的方程为222().xybr 由题意，点由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别在圆上，且它们的坐标分别为为(0, 7.2), (18.7, 0)，则有，则有 2222220(7.2),18.7(0)brbr 220.7778.18.br , ,故所求圆拱的方程为故所求圆拱的方程为22(20.7)778.18(07.2).xyy解得解得 2. 某圆拱桥的水面跨度某圆拱桥的水面跨度20m, 拱高拱高4m. 现有一船现有一船, 宽宽10m, 水面以上高水面以上高3m. 这条船这条船能否从桥下通过能否从桥下通过?ABPOxyCFED 解解: 建立如

19、图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱的圆心坐标为设圆拱的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为，圆的半径为r，则圆的方程为，则圆的方程为222().xybr 由题意，点由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为在圆上，且它们的坐标分别为(0, 4), (10, 0)，则有，则有 2222220(4),10(0)brbr 210.5210.25.br , ,故所求圆拱的方程为故所求圆拱的方程为22(10.5)210.25(04).xyy解得解得把把 代入上式，得代入上式，得10 x 3.1.y 因为船在水面以上的高度为因为船在水面以上的高度为3m，33.1， 所以该船可以从船下穿过

20、所以该船可以从船下穿过. 例例4 一个小岛的周围有环岛暗礁一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为半径为20km的圆形区域内的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西已知小岛中心位于轮船正西40km处处, 港口位于小岛中心正北港口位于小岛中心正北30km处处. 如果轮船沿直线返港如果轮船沿直线返港, 那么它是否会有触礁危险那么它是否会有触礁危险?港口港口xOy轮船轮船 解：解：以小岛的中心为原点以小岛的中心为原点O，东西方向为，东西方向为x轴，建立如轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10

21、km为为单位长度，则港口所在位置的坐标为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0, 3)，轮船所在位，轮船所在位置的坐标为置的坐标为(4, 0). 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为程为轮船航线所在直线轮船航线所在直线l的方程为的方程为联立直线联立直线l与圆与圆O的方程，消去的方程，消去y，得，得由由0，可知直线，可知直线l与圆与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险.224.xy 134120.43xyxy ，即即22572800.xx 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素

22、用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素: 点、直点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论. 这就是用坐标法解决这就是用坐标法解决平面几何问题的平面几何问题的“三步曲三步曲”:第一步：建立适当的平面直角坐标系第一步：建立适当的平面直角坐标系, 用坐标和方程表示问题中的几何要素用坐标和方程表示问题中的几何要素, 如点、直线、圆如点、直线、圆, 把平面几何问题转化为代数问题把平面几何问题转化

23、为代数问题;第二步：通过代数运算第二步：通过代数运算, 解决代数问题解决代数问题;第三步：把代数运算的结果第三步：把代数运算的结果“ 翻译翻译”成几何结论成几何结论.3. 在一个平面上在一个平面上, 机器人从与点机器人从与点C(5, 3)的距离为的距离为9的地方绕点的地方绕点C顺时针而行顺时针而行, 在在行进过程中保持与点行进过程中保持与点C的距离不变的距离不变, 它在行进过程中到过点它在行进过程中到过点A(10, 0)与与B(0, 12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少的直线的最近距离和最远距离分别是多少?22lA(0,12)C(5,-3)xOyB(-10,0)解：依题意得解：依题意得,

24、 机器人在以机器人在以C(5,3)为圆心为圆心, 9为半径为半径的圆上运动的圆上运动, 其圆的方程为其圆的方程为22(5)(3)81.xy经过点经过点A(10, 0)与与B(0, 12)的直线方程为的直线方程为165600.1012xyxy , ,即即 点点C到直线到直线AB的距离为的距离为22|6 55 ( 3)60|13.449,6( 5)d 圆圆C上的点到直线上的点到直线AB的最近距离为的最近距离为dr4.44,最远距离为最远距离为dr22.44.22( 3, 3)42104 5,.Mlxyyl已已知知过过点点的的直直线线 被被圆圆所所截截得得的的弦弦长长为为求求直直线线 方方程程【巩固

25、训练巩固训练5】d-2C(0,-2)AxOyM(-3,-3)lB22(2)25xy解解: :圆圆的的标标准准方方程程为为，:3(3)lyk x故故可可设设直直线线 的的方方程程为为，2|233|1kdk 圆圆心心到到直直线线距距离离为为，222|233|()(2 5)251kk ，330kxyk即即，122kk 解解得得或或，290230.xyxy直直线线方方程程为为或或( 3, 3),lM 由由条条件件知知, ,直直线线 的的斜斜率率存存在在, ,且且过过点点22:(1)(2)25,:(21)(1)740():CxylmxmymmR 已已知知圆圆直直线线2xy50【巩固训练巩固训练6】(1)

26、lC证证明明直直线线 与与圆圆 相相交交；(2).lCl求求直直线线 被被圆圆 截截得得的的弦弦长长最最小小时时, ,直直线线 的的方方程程最长弦、最短弦问题最长弦、最短弦问题(1) 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为(2) 当直线与过圆心的弦垂直时，被圆截得的弦长最短，即为当直线与过圆心的弦垂直时，被圆截得的弦长最短，即为22|2.PQrd C M ABPQdr|2 .ABr 过一点与圆相切的切线方程问题：过一点与圆相切的切线方程问题：(1) 过过圆上一点圆上一点与圆相切的切线方程求法：与圆相切的切线方程求法：【例例1】过圆过圆C: x2y210上一点上一点P(1, 3), 且与圆且与圆C相切的切线方程为相切的切线方程为_.x+3y-10=0 一般地一般地, 过圆过圆C: x2y2r2上一点上一点P(x0, y0), 且与圆且与圆C相切的切线方程为相切的切线方程为200 x xy yr 【例例2】过圆过圆C: (x4)2(y2)210上一点上一点P(1, 3