武汉理工大学材料力学 附录 截面的几何性质

1、材料力学材料力学3 3-1 -1 静矩和形心静矩和形心3-2 3-2 惯性矩、惯性矩、惯性积惯性积和惯性半径和惯性半径3-3 3-3 惯性矩、惯性积的惯性矩、惯性积的平行移轴公式平行移轴公式3 3-4 -4 惯性矩、惯性积的惯性矩、惯性积的转轴公式转轴公式第三章第三章 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 pGIT 回顾：回顾：轴心受拉（压）构件：轴心受拉（压）构件： EANll 扭转构件：扭转构件： zEIM 弯曲构件：弯曲构件：yzO一、静矩一、静矩对对 y 轴的静矩：轴的静矩： AydAzS AzdAyS 对对 z 轴的静矩：轴的静矩：yzAd大小：正，负，大小：正，负，0。量纲：量纲：

2、 长度长度 33-1 3-1 静矩和形心静矩和形心二、截面图形的形心二、截面图形的形心 几何形心几何形心= =等厚均质薄片重心等厚均质薄片重心ASAAyyzAc d ASAAzzyAc d czyAS cyzAS yzOczcyC 注意：截面图形对通过形心的坐标轴的静矩为注意：截面图形对通过形心的坐标轴的静矩为0 0。yz三、组合截面图形的静矩和形心三、组合截面图形的静矩和形心1nyiiciSAzAz1nziiciSA yAy 例例3-13-1 试确定左图对试确定左图对Y Y轴和轴和Z Z轴的静矩。轴的静矩。C2C1 cczyC , 1 122ySAzA z310 80 5 10 110 65

3、75500 mm 1122zSA yA y310 80 40 10 110 537500 mmyz法法2 2：C2C1 cczyC , 212211AAzAzAzc mm 74.39110108010651101058010 212211AAyAyAyc mm 74.19110108010511010408010 ycSAzzcSAy一、惯性矩和惯性半径：一、惯性矩和惯性半径：yzOyzAd对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩 AyAzId 2对对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩 AzAyId 2大小：正。大小：正。量纲：量纲： 长度长度 4 42yyiAI 2zziAI AIiyy 对对 y 轴的惯性半

4、径轴的惯性半径AIizz 对对 z 轴的惯性半径轴的惯性半径3-2 3-2 惯性矩惯性矩、惯性积、惯性积和惯性半径和惯性半径hbyzC123hbIz zzd12d d 32222bhzbzAzIhhAy 12123hbhbhAIiyy 12123bbhhbAIizz DOyz32d2d42022DAIDAp 实心圆截面：实心圆截面：d二、极惯性矩：二、极惯性矩： ApAId 2 zyAAAApIIAyAzAyzAI d d d d 22222 yzOAd yz644DIIzy 446424DDDiizy 空心圆截面：空心圆截面：)(Dd 组合图形的惯性矩：组合图形的惯性矩： niyiyII1

5、nizizII1 444416464 DdDIIzy 444413232 DdDIpdDOyzAdAdy yzzyzOz 轴为对称轴：轴为对称轴：0d AyzAyzI图形对任一包含图形对任一包含对称轴对称轴在内的一在内的一对正交坐标轴的惯性积为对正交坐标轴的惯性积为0 0。三、惯性积：三、惯性积： AyzAyzId 大小：正，负，大小：正，负，0 0。量纲：量纲： 长度长度 4 4y四、主惯性轴四、主惯性轴 1 1）使截面的）使截面的惯性积为零惯性积为零的一对正交坐标轴的一对正交坐标轴称为称为主主惯性轴惯性轴；截面对主轴的惯性矩；截面对主轴的惯性矩称为称为主惯性矩。主惯性矩。 2 2）如果主惯

6、性轴的原点与截面形心重合，则称该）如果主惯性轴的原点与截面形心重合，则称该主惯性轴为主惯性轴为形心主惯性轴形心主惯性轴；截面对形心主轴的惯性矩截面对形心主轴的惯性矩称称为为形心主惯性矩形心主惯性矩。3）主惯性轴不唯一，形心主轴唯一）主惯性轴不唯一，形心主轴唯一 惯性矩是对惯性矩是对一根轴一根轴而言的，惯性积是对而言的，惯性积是对一对轴一对轴而言的，极惯性矩是对而言的，极惯性矩是对一点一点而言的。而言的。主要公式、概念小结主要公式、概念小结 P43 表表 3-1 常用简单图形的几何性质常用简单图形的几何性质 P293 附录附录 型钢表内的各项参数型钢表内的各项参数一、平行移轴公式一、平行移轴公式

7、AbbSIAbbyyAybAyIzczcAAAz221212122 d)2( d)(d 0 czccAySz 为形心轴，为形心轴，yzOC cyczab1zAdz1yy21 dcyAIzA21 dczAIyA1 1 dc cy zAIy zAAbIzc2 3-3 3-3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式惯性矩、惯性积的平行移轴公式yzOC cycz1zAdazb1yyAbIIzcz2 2 cc cyyyzy zIIa AIIabA同理：在所有在所有互相平行互相平行的轴中，截面图形对的轴中，截面图形对形心轴的惯性矩形心轴的惯性矩最小最小。zy解：解：22242425 644264czzdIIAddd

8、d2dD 例例3-23-2 求图示带圆孔的圆形截面对求图示带圆孔的圆形截面对y轴和轴和z轴的惯性矩。轴的惯性矩。1244 6464yyyDdIII1244 5 6464zzzDdIIIcz 例例3-33-3例题例题3.7-3.8 ;P48 3-2(h);P48 3-2(h);一、转轴公式一、转轴公式yzOyzAd AyAzId 2 AzAyId 2 AyzAyzId 121 dyAIzA121 dzAIyA1 11 1 dy zAIy zA1y1z 1y1z逆时针转为正。逆时针转为正。 cossinsincos11zyzzyy sincos sinsincoscoscos1zyy 3-4 3-

9、4 惯性矩、惯性积的转轴公式惯性矩、惯性积的转轴公式122122 dcossin d cossinsin2yAAyzyzIzAzyAIII cossinsincos11zyzzyyyzOyzAd1y1z 1y1z 1cos2sin222yzyzzyzIIIIII1cos2sin222yzyzyyzIIIIII1 1sin2cos22yzy zyzIIII转轴公式转轴公式11yzyzIIII二、形心主轴和形心主惯性矩二、形心主轴和形心主惯性矩1 1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到 = = 0 0 时，时，0 000sin 2cos202yzy zyzIIII则与则

10、与 0 0对应的旋转轴对应的旋转轴y0 0，z0 0 称为称为主惯性轴。主惯性轴。zyyzIII 22tan0 0022 22yyzyzyzzIIIIIII：主惯性矩截面对通过截面对通过同一点同一点的所有轴中，最大或最小惯的所有轴中，最大或最小惯性矩即为对通过该点的主性矩即为对通过该点的主惯性惯性轴的主惯性矩。轴的主惯性矩。 2sincos2221yzzyzyyIIIIII 0dddd 00110 时，时，当当zyII 2sincos2221yzzyzyzIIIIII 02cos2sin20000 yzzyzyIIIIzyyzIII 22tan0 2cos22sindd1 yzzyyIIII

11、2cos22sindd1 yzzyzIIII2 2、形心主轴和形心主惯性矩、形心主轴和形心主惯性矩02tan2c cccy zyzIII 002222cccccc ccyyzyzy zzIIIIIII形心主惯性矩形心主惯性矩形心主轴形心主轴形心主惯性矩小者为截面对形心主惯性矩小者为截面对所有轴所有轴的惯性矩中的惯性矩中的的最小值最小值。3 3、求截面形心主惯性矩的方法、求截面形心主惯性矩的方法、建立坐标系。、建立坐标系。、计算面积和静矩、计算面积和静矩、求形心位置、求形心位置 AAzASzAAyASyiiyiiz、求形心主惯性矩求形心主惯性矩zcycyczcIII 22tan0 、求形心主轴方

12、向、求形心主轴方向 0 0 、建立形心坐标系，求、建立形心坐标系，求yczczcycIII、220022yczczcyczcyczcycIIIIIII 第6次作业：2011-4-183-2 d e3-3 d一、选择题一、选择题1 1、在下列关于平面图形的结论中，、在下列关于平面图形的结论中， 是错误的。是错误的。（A）图形的对称轴必定通过形心。）图形的对称轴必定通过形心。 （B）图形两个对称轴的交点必为形心。）图形两个对称轴的交点必为形心。（C）图形对对称轴的静矩为零。）图形对对称轴的静矩为零。 （D）使）使静矩为零的轴必为对称轴。静矩为零的轴必为对称轴。2、在平面图形的几何性质中，、在平面图

13、形的几何性质中， 的值可正，可负，的值可正，可负，也可为零。也可为零。（A）静矩和惯性矩。）静矩和惯性矩。 （B）极惯性矩和惯性矩。）极惯性矩和惯性矩。（C）惯性矩和惯性积。）惯性矩和惯性积。 （D）静矩和惯性积。）静矩和惯性积。DD本本 章章 习习 题题3、设矩形对其一对称轴、设矩形对其一对称轴z的惯性矩为的惯性矩为I, 则当其高宽比则当其高宽比保持不变，而面积增加保持不变，而面积增加1倍时，该矩形对倍时，该矩形对z轴的惯性矩轴的惯性矩将变为将变为 。（A）2I （B）4I （C）8I （D）16I4、若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的、若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的 说法正

14、确的是说法正确的是 。（A）静矩为零，惯性矩不为零。）静矩为零，惯性矩不为零。（B）静矩不为零，惯性矩为零。）静矩不为零，惯性矩为零。（C）静矩和惯性矩均为零。）静矩和惯性矩均为零。 （D）静矩和惯性矩均不为零。）静矩和惯性矩均不为零。 BA5、直径为、直径为D的圆对其形心轴的惯性半径的圆对其形心轴的惯性半径i= 。（A）D/2 （B）D/4 （C）D/6 （D）D/8 6、若截面有一个对称轴，则下列说法中，、若截面有一个对称轴，则下列说法中， 是错是错误的。误的。（A）截面对对称轴的静矩为零。）截面对对称轴的静矩为零。（B）对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩）对称轴两侧的两部分截面，对

15、对称轴的惯性矩相等。相等。（C）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。为零。（D）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。 BD7、任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零、任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的，则这一对坐标轴一定是该图形的 。（A）形心轴）形心轴 （B）主惯性轴）主惯性轴 （C）形心主惯性轴）形心主惯性轴 （D）对称轴）对称轴 8、在图形对通过某点的所有轴的惯性矩中，图形对、在图形对通过某点的所有轴的惯性矩中，图形对主惯性轴的惯性矩一定主惯性轴的惯性矩一定 。（A）最大）最大 （B）最小）最小 （C）最大或最小）最大或最小 （D）为零）为零 BC9、有下述两个结论；、有下述两个结论；对称轴一定是形心主惯性轴对称轴一定是形心主惯性轴；形心主惯性轴一定是对称轴。其中形心主惯性轴一定是对称轴。其中 。（A）正确，正确， 错误。错误。 （B） 错误，错误， 正确。正确。 （C） 正确。正确。 （D） 错误。错误。 A10、正交坐标轴、正交坐标轴 y，z 轴为截面形心主惯性轴的条件轴为截面形心主惯性轴的条件是是 。 （A