理论力学动力学习题答案学习教案

1、会计学1理论力学动力学习题理论力学动力学习题(xt)答案答案第一页，共83页。 （3）质量为m的质点，自A点以初速度v0 向上斜抛。试问质点在落地前，其加速度大小(dxio)、方向是否发生变化？（空气阻力不计） （ ）A、加速度大小(dxio)不变、而方向在变化。B、加速度大小(dxio)在变化、而方向不变。C、加速度大小(dxio)、方向都在变化。D、加速度大小(dxio)、方向都不变化。2判断题判断题 （1）质点的运动(yndng)方程和运动(yndng)微分方程的物理意义相同.（ ）D运动方程是位移与时间关系方程；运动微分方程是位移微分与力关系方程。运动方程是位移与时间关系方程；运动微分

2、方程是位移微分与力关系方程。加速度始终为重力加速度始终为重力加速度加速度g。（2）已知质点的运动方程可唯一确定作用于质点上的力。（ ）已知作用于质点上的力确定质点的运动方程时还需考虑运动的初始条件。已知作用于质点上的力确定质点的运动方程时还需考虑运动的初始条件。（3）已知作用于质点上的力可唯一确定质点的运动方程。（ ）第1页/共83页第二页，共83页。mLmvpC61)6(12122LmmLJLOO291mL22218121mLJTO223mRJLOO2224321mRJTOmRp mvp 221mRJLCC2224121mRmvT 例11-1 基本(jbn)量计算 (动量，动量矩，动能)Cr

3、CCOLvmrL223mRJRmvLCO第2页/共83页第三页，共83页。质量质量(zhling)为为m长为长为l的均质细长杆，的均质细长杆，杆端杆端B端置于水平面，端置于水平面，A端铰接于质量端铰接于质量(zhling)为为m，半径为，半径为r的轮的轮O边缘点边缘点A,已知轮沿水平面以大小为已知轮沿水平面以大小为w的角速度作纯的角速度作纯滚动，系统的动量大小为（滚动，系统的动量大小为（ ），对点），对点P的动量矩大小为的动量矩大小为 （ ），系统动能为），系统动能为（ ）。）。 图示行星齿轮机构，已知系杆图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为长为2r，质量，质量为为m，行星齿轮可视为均质轮，质量

4、为，行星齿轮可视为均质轮，质量为m，半，半径为径为r，系杆绕轴，系杆绕轴O转动的角速度为转动的角速度为w。则该系。则该系统统(xtng)动量主矢的大小为（动量主矢的大小为（ ），对轴），对轴O的动量矩大小为（的动量矩大小为（ ），），系统系统(xtng)动能为（动能为（ ）。）。 mr32313mr22311mr03mr0227mr202411mrAO 第3页/共83页第四页，共83页。【解】因为按图示机构，系统【解】因为按图示机构，系统(xtng)可分成可分成3个刚块：个刚块：OA、AB、和轮、和轮B。首先需找出每个刚块的质心速度：。首先需找出每个刚块的质心速度： （1）OA作定轴转动，其质

5、心速度在图示瞬时只有水平分量 ，方向水平向左。1121lvcxABO 如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA 杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA 的角速度为，则整个系统的动量为多少？例例94（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速度也只有水平分量 ，方向水平向左。12lvvAcx第4页/共83页第五页，共83页。（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的速度方向恒为水平，在图示瞬时 ，方向水平向左。1lvvAB所以(suy)0yp)(251321mlmvmvmvpxxxx所以(suy)125mlppx方

6、向(fngxing)水平向左ABO第5页/共83页第六页，共83页。【解解】01 cvc 例例95在静止的小船中间站着两个人，其中甲在静止的小船中间站着两个人，其中甲m150kg，面向，面向(min xin)船首方向走动船首方向走动1.5m。乙。乙m260kg，面向，面向(min xin)船尾方向走动船尾方向走动0.5m。若船重。若船重M150kg，求船的位移。水的阻力不计。，求船的位移。水的阻力不计。 受力有三个重力和一个受力有三个重力和一个(y )水的浮力，因无水平力，水平方向质心运动守恒，又水的浮力，因无水平力，水平方向质心运动守恒，又因初始静止，即因初始静止，即常数cx把坐标原点放在船

7、的质心把坐标原点放在船的质心(zh xn)的初始位置：的初始位置： 01Cxgm1gm2gMygM尾尾首首甲甲乙乙gm2甲甲乙乙xxxgm1设当经过设当经过t时间后，船向右移动时间后，船向右移动x，则：，则： 0)5 . 0()5 . 1(21212MmmxmxmMxxc21CCxx0)5 . 0()5 . 1(21xmxmMx)(173.026075305 .15 .02112实际应向左位移mMmmmmx第6页/共83页第七页，共83页。把坐标把坐标(zubio)原点放在船的左侧位置原点放在船的左侧位置： gm1gm2gMygM尾尾首首甲甲乙乙gm2甲甲乙乙xxxgm1设当经过设当经过t时间

8、时间(shjin)后，船向右移动后，船向右移动x，则：则： MmmxlmxlmxlMxc21212)5 . 02()5 . 12()2(21CCxx0)5 . 0()5 . 1(21xmxmMx)(173.026075305 .15 .02112实际应向左位移mMmmmmx222221211lmmMlmlmlMxc第7页/共83页第八页，共83页。例例9-9 如图所示，均质杆AB长为l，铅垂地立在光滑水平面上，求它从铅垂位置无初速度地倒下时，端点A的轨迹。【解解】0 xF因此，沿x轴方向质心位置(wi zhi)应守恒，质心C始终在y轴上，A点的坐标可表示为：cos2coslACxA sinsi

9、nlAByA 消去 ，得：2224lyxAA即A点的轨迹(guj)为椭圆。CCABBA建立oxy：并令y轴通过(tnggu)质心，则 且有AB杆初始静止，第8页/共83页第九页，共83页。系统(xtng)的动量矩守恒。 , 0)()(rPrPFmBAeO0常量 rvmrvmLBBAAo)(2vvA猴A与猴B向上(xingshng)的绝对速度是一样的,均为 。2v已知：猴子A重=猴子B重，猴B抓住绳子由静止开始相对绳以速度v上爬，猴A抓住绳子不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何(rh)运动？运动的速度多大？（轮重不计）例例104【解】vvvvvvABreB)(2vvvvAB第9页/共83页第十页，

10、共83页。OCCrxy(a)【解解】（1）用动能定理(dn nn dn l)求角速度。01T例例11-5 如图所示，质量为如图所示，质量为m，半径为，半径为r的均质圆盘，可绕通过的均质圆盘，可绕通过O 点且垂直于盘平面的水平点且垂直于盘平面的水平(shupng)轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕O轴转动。求当圆盘中心轴转动。求当圆盘中心C和轴和轴O点的连线经过水平点的连线经过水平(shupng)位置时圆盘的角速度、角加速度及位置时圆盘的角速度、角加速度及O处的反力。处的反力。2222220243)21(2121mrmrmrJTmgrW 12，得由121

11、2WTTmgrmr04322rg34（2）当OC在同一(tngy)水平位置时，由动量矩定理有：mgrdtdJO代入JO，有rg32第10页/共83页第十一页，共83页。gmCaOxFnCaOyFC(b)（3）求O处约束(yush)反力作圆盘(yun pn)的受力分析和运动分析，有由质心(zh xn)运动定理，得mgFFmaOxOxnC3434342grgrranCgraC32mgFFmgmaOyOyC31法二：用动能定理求角速度及角加速度。01T2222220243)21(2121mrmrmrJT)cos1 (12mgrW，得由1212WTT(*)cos1 (04322mgrmr)cos1 (

12、34rg两边对（*）式求导sin232mgrmrsin32rg第11页/共83页第十二页，共83页。例例11-3 图示的均质杆图示的均质杆OA的质量为的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数(chngsh)k =3kN/m，为使杆能由铅直位置，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：研究解：研究(ynji)OA杆杆)(212 . 1222112kPW)22 . 14 . 2(03000212 . 18 . 93022) J (4 .388（1）O

13、A杆所受外力杆所受外力(wil)的功：的功：2020218 .284 . 2303121T02T（2） OA杆杆的动能：的动能：1212WTTrad/s67. 30（3）对）对OA杆杆应用动能定理：应用动能定理： 4 .3888 .28020第12页/共83页第十三页，共83页。如图所示，均质杆AB质量为m，长为l，由图示位置（ ）无初速度地倒下，求该瞬时A端所受到地面(dmin)的约束反力。CCAB045第13页/共83页第十四页，共83页。例例10-13 如图所示均质细长杆，质量为M，长为l，放置在光滑水平面上。若在A 端作用一垂直于杆的水平力F，系统(xtng)初始静止,试求B端的加速度

14、。ACBxyF(a)第14页/共83页第十五页，共83页。细长杆作平面(pngmin)运动，欲求aB, 则必先求ac,由基点(jdin)法应用平面运动(yndng)微分方程,FaMc2ClJFxACByFCaBCanBCaBa62CFlFJMl将、代入中，得62( )2BF lFFaMlMM 【解解】2laBCMFaCnBCBCCBCCBaaaaaa022lanBC第15页/共83页第十六页，共83页。例例3 均质圆柱体均质圆柱体A和和B的重量均为的重量均为P，半径均为，半径均为r，一绳缠在绕固定轴，一绳缠在绕固定轴O转动转动(zhun dng)的圆柱的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱上，绳的另一

15、端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。处摩擦。求（求（1） 圆柱圆柱B下落下落(xilu)时质心的加速度。时质心的加速度。（2） 若在圆柱体A上作用一逆时针转向(zhunxing)的转矩M，试问在什么条件下圆柱B的质心将上升。第16页/共83页第十七页，共83页。选圆柱B为研究(ynji)对象rTrgPB212TPagPC（2）运动学关系(gun x)：BAreCrraaa（4）TrrgPA221（1）解：（1）选圆柱(yunzh)A为研究对象由（1）、（2）式得：BA 52rgBAgaC54 代入（3）、（4）并结合（2）式得：（3）第17页/共8

16、3页第十八页，共83页。选圆柱(yunzh)B为研究对象rTrgPB212PTagPC（2）运动学关系(gun x)：TrMrgPA221（1）（2）选圆柱(yunzh)A为研究对象由（1）（4）式得：2Pr5Pr24ggMB（3）2Pr5Pr26ggMAPr5Pr)2(2Pr5Pr42MgggMaC当M 2Pr 时， ，圆柱B的质心将上升。0CaBAreCrraaa（4）第18页/共83页第十九页，共83页。由动量矩定理(dngl)：rPMMrgPrvgPrgPdtdeOBCA2)222()(22rPMrgPragPrgPBcA222222(5)补充运动学关系式：BACrra代入(5)式，得

17、 ; 222rPMargPargPCC当M 2Pr 时， ，圆柱B的质心将上升。0Ca（2）也可以取整个(zhngg)系统为研究对象BCAOrgPrvgPrgPL22222rPMMeO2)(grPrPMaC5)2(2 第19页/共83页第二十页，共83页。例例11-6 图示系统中，均质圆盘图示系统中，均质圆盘A、B各重各重P，半径均为，半径均为R，两盘中心线为水平线，盘，两盘中心线为水平线，盘B作纯滚动，盘作纯滚动，盘A上作用上作用(zuyng)矩为矩为M(常量常量)的一力偶；重物的一力偶；重物D重重Q。问重物由静止下落距离。问重物由静止下落距离h时重物的速度与加速度以及时重物的速度与加速度以

18、及AD段、段、AB段绳拉力。段绳拉力。(绳重不计，绳不可伸长，盘绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动。作纯滚动。)解：取整个系统为研究解：取整个系统为研究(ynji)对象对象)/( 12RhQhMW01T（1）整个）整个(zhngg)系统所受力的功：系统所受力的功：（2）系统的动能：）系统的动能：)2121(212122222BCCAOJvgPvgQJT 22222232121221BARgPvgQRgP这里这里RvRvBA2,)78(162PQgv第20页/共83页第二十一页，共83页。1212WTT )(0)78(162hQRMPQgv上式求导得： dd)(dd21678thQRMtvvgP

19、QPQgQRMa78)/(8（3）对系统应用）对系统应用(yngyng)动能定理：动能定理：PQhgQRMv78)/(4 )dd( thv TADDFQagQAD段绳拉力段绳拉力(ll)QaFDTADgQAB段绳拉力段绳拉力(ll)MRFFRTABTADA)(2gP2RaRaAAATADTABRRMFF2gP第21页/共83页第二十二页，共83页。解法解法(ji f)二：也可分别取研究对象二：也可分别取研究对象TADFQagQD：这里这里(zhl)RadtdAAMRFFRdtdTBTAA)()(22gPA：RFFRdtdCSTBB)()(22gPB：CSTBCFFagPRadtdBB22aRa

20、BC第22页/共83页第二十三页，共83页。例例11-7 重重G2=150N的均质圆盘与重的均质圆盘与重G1=60 N、长、长l=24 cm的均质杆的均质杆AB在在B处用铰链连接。求（处用铰链连接。求（1）系统由图示位置无初速地释放。求）系统由图示位置无初速地释放。求AB杆经过铅垂位置杆经过铅垂位置B点时的速度、加速度及支座点时的速度、加速度及支座A的约束力。思考：若轮与杆焊接的约束力。思考：若轮与杆焊接(hnji)结果又如何？若结果又如何？若AB杆上还受力偶矩杆上还受力偶矩M=100 Nm作用结果又如何？作用结果又如何？解：（解：（1）取圆盘为研究）取圆盘为研究(ynji)对象对象; 0)F

21、(MB 0BBJ根据相对质心根据相对质心(zh xn)的动量矩定理的动量矩定理0 B所以00B结论：圆盘B做平动，杆AB做定轴转动。第23页/共83页第二十四页，共83页。（2）用动能定理）用动能定理(dn nn dn l)求速度。求速度。22222121BAvgGJT2212222163213121BvlBABvgGGvgGlgGBAB)30sin)(2()30sin()30sin22(212112llGGllGllGW1212WTT)30sin)(2(06321221llGGvgGGB代入数据(shj)，得m/s 58. 1Bv取系统研究。初始(ch sh)时T1=0 ，最低位置时：第24

22、页/共83页第二十五页，共83页。（3）用动量矩定理(dngl)求杆的角加速度 。)31(312221221lgGlgGvlgGlgGLA由于(yuy)0)(dd)e(FMtLAA所以(suy) 0 。杆质心 C的加速度：)0(22CnCCalaa )0(2BBBalaa nrad/s 58. 624. 058. 1lvB盘质心加速度：（4）由质心运动定理求支座反力，）由质心运动定理求支座反力，研究整个系统。AxtBtCFagGagG0212122212GGFlgGlgGAy代入数据，得N 401, 0AyAxFFxCCxFmmxmxmmmxmma )(21221121 2211yCCyFym

23、ymymma 第25页/共83页第二十六页，共83页。例例11-4 两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦杆质量的两倍，各处摩擦(mc)不计，如机构在图示位置从静止释放，求当不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，杆转到铅垂位置时，AB杆杆B 端的速度。端的速度。mgmgmgW35. 1)15. 06 . 0(29 . 021201T)2121(9 . 0322122222CCCAJmvmTBCAAvvv9 . 0mgmvC35. 10652解：取整个系统解：取整个系统(xtng)为研究对象为研

24、究对象运动学方面运动学方面(fngmin)得代入到所以1222 65W12TTmvCT注意到注意到OA转到铅垂位置转到铅垂位置AB作瞬时平动作瞬时平动m/s98. 3 CBvv第26页/共83页第二十七页，共83页。【思考(sko)与讨论】 1选择题选择题 （1）如图所示，半径为R，质量为m的均质圆轮，在水平(shupng)地面上只滚不滑，轮与地面之间的摩擦系数为f。试求轮心向前移动距离s的过程中摩擦力的功WF。 （ ）A WF=fmgs B WFfmgsC WF=Fs D WF=0MCWvNFFsD第27页/共83页第二十八页，共83页。(2)如图所示，楔块A向右移动(ydng)速度为v1,

25、质量为m的物块B沿斜面下滑，它相对于楔块的速度为v2，求物块B的动能TB。（ ）222122vmvmTBA.sin)cos(2222221vvvmTBD.221)(2vvmTBC.222vmTBB.DAB1v2v第28页/共83页第二十九页，共83页。（3）如图所示，质量可以忽略的弹簧原长为2L，刚度系数为k，两端固定(gdng)并处于水平位置，在弹簧中点挂一重物，则重物下降x路程中弹性力所作的功 。（ ）A.)(022212LxLkWB.)(0221222LxLkWC.)(02221222LxLkWD.)(02221222LxLkWABCxLkLC2)(2021)(212212222221L

26、xLkkW)(0421221222LxLk第29页/共83页第三十页，共83页。（4）如图所示，平板(pngbn)A以匀速v沿水平直线向右运动，质量为m，半径为r的均质圆轮B在平板(pngbn)上以匀角速度朝顺时针方向滚动而不滑动，则轮的动能为（ ）A.222232121mrmvTB.2222121)(21mrrvmTC.222212121mrmvTD.2222121)(21mrrmTBOrv第30页/共83页第三十一页，共83页。3如图所示，重为如图所示，重为G的小球用两绳悬挂。若将绳的小球用两绳悬挂。若将绳AB突然突然(trn)剪断，则小球开始运动。求小球刚开始运动瞬时绳剪断，则小球开始运

27、动。求小球刚开始运动瞬时绳AC的拉力及的拉力及AC在铅垂位置时的拉力。在铅垂位置时的拉力。 GABC)cos23 (;cos21GFGFTT答案：答案：sinGlgGFmacos12GFvgGFmaTnncos0cos21GGvgGFT（1）小球刚开始运动瞬时）小球刚开始运动瞬时(shn sh)绳绳AC的拉的拉力：力：第31页/共83页第三十二页，共83页。GABC)90sin(0 GlgG（2）任意）任意(rny)位位置时：置时：dlgddlgdtddcoscos0090900cosdlgdcos1sin210090902lglg00sin0GlgGFma0120cosGFlgGFmaTnn

28、cos23cos120cos021GGlglgGGmlFT（3）AC在铅垂位置在铅垂位置(wi zhi)时的拉时的拉力：力：GTF090令绳令绳AC与水平与水平(shupng)夹角夹角为为dlgddtdcoscoslgdtd第32页/共83页第三十三页，共83页。例例96 质量为质量为M的大三角形柱体，放于光滑水平面上的大三角形柱体，放于光滑水平面上(min shn)，斜面上，斜面上(min shn)另放一质量为另放一质量为m的小三角形柱体，求小三角形柱体由静止滑到底时，大三角形柱体的位移。的小三角形柱体，求小三角形柱体由静止滑到底时，大三角形柱体的位移。解解：选两物体选两物体(wt)组成的系

29、统为研究对象。组成的系统为研究对象。受力分析受力分析(fnx)， , 0)(exF水平方向质心运动守恒由水平方向初始静止由水平方向初始静止；则,21CCxx常量CxmMbaxbmxaMxC)(32)3(2mMbmaMxC3231)(bamMmx第33页/共83页第三十四页，共83页。1.选择题选择题D（1）设刚体的动量为 ，其质心的速度为 ，质量为M，则式 。（ ）PcvcvMP A、只有在刚体(gngt)作平动时才成立；B、只有在刚体(gngt)作直线运动时才成立；C、只有(zhyu)在刚体作圆周运动时才成立；D、刚体作任意运动时均成立；C（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ ）A、无变化；

30、B、动量大小有变化，但方向不变C、动量大小无变化，但方向有变化D、动量大小、方向都有变化【思考题思考题】 第34页/共83页第三十五页，共83页。C（3）一均质杆长为 ，重为P，以角速度 绕O轴转动。试确定在图示位置时杆的动量。（ ）lA、杆的动量(dngling)大小 ，方向朝左gPlK2B、杆的动量(dngling)大小 ，方向朝右gPlK3C、杆的动量大小(dxio) ，方向朝左gPlK6D、杆的动量等于零ABO3l第35页/共83页第三十六页，共83页。CA、质点(zhdin)动量没有改变B、质点动量的改变量大小(dxio)为 ，方向铅垂向上 mv2C、质点动量(dngling)的改变

31、量大小为 ，方向铅垂向下 mv2D、质点动量的改变量大小为 ，方向铅垂向下 mv（4）将质量为m的质点，以速度 v 铅直上抛，试计算质点从开始上抛至再回到原处的过程中质点动量的改变量。 （ ）2.如图所示，均质轮质量为 ，半径为R，偏心距 ，轮的角速度和角加速度在图示位置时为 和 ，轮在垂直面内运动，求铰支座O 的约束反力。mlOC OCsin,cos2mgmlFmgmlFono答案：答案：第36页/共83页第三十七页，共83页。(1)取整个(zhngg)系统为研究对象，rPPrPrPMBABAeO)()(OBAOJrvgPrvgPL)2( 得 ,代入 21将22PPPgrLrgPJBAOO由

32、动量矩定理(dngl)：rPPPPPgrdtdBABA)()2(22/PPPPPrgdtdBABA。： 求 ,21; ; ; 已知2rgPJrPPPOBA例例103【解】受力分析(fnx)如图示。运动分析： v =第37页/共83页第三十八页，共83页。BAOyCyBAPPPFagPPP)(BABBAACCyPPPyPyPya )(ABBAOyPPgrPPPF （2）由质心运动）由质心运动(yndng)定理求约束反力：定理求约束反力： BABAPPPPPr)(PPPPPPPgrgPFPFamBABBABTBBTBBB224PPPPPPPrggPFFPamBAABAATATAAAA224BABB

33、AABABBAAiiiCPPPyPyPgPgPgPgPygPygPmymy0BABBAAPPPaPaP第38页/共83页第三十九页，共83页。两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有(jyu)角速度 =4 rad/s。求该瞬时轴承O的反力。5 . 025. 0 mgmgJO2222121712131mlmlmlmlJO由定轴转动微分方程(wi fn fn chn)例例109选T 字型杆为研究对象，受力分析如图示。【解】)5 . 025. 0(8 . 98 5 . 0812172 rad/s 20.75 2根据(gnj)质心运动

34、定理，得nOnCFam2mgmgFmaOC2系统质心：432lmmlmlmxC第39页/共83页第四十页，共83页。N 3 .32 ) 5 . 04375.20 ( 828 . 98222COmamgF NmaFnCnO96)5 . 0434(8222第40页/共83页第四十一页，共83页。 3、如图所示，摆由均质细杆、如图所示，摆由均质细杆OA和均质圆盘和均质圆盘(yun pn)组成，杆组成，杆 质量为质量为m1，长为，长为L，圆盘，圆盘(yun pn)质量为质量为m2，半经为，半经为r。O AB（1）求摆对于(duy)轴O的转动惯量；（2）若图示瞬时(shn sh)角速度为，求系统的动量、

35、动量矩。 )(221221121rLmLmvmvmPPPCC)(21(31222221rLmrmLmJLOO2)(21(31222221LvrLmrmLmC)(2131222221rLmrmLmJO2121212211)(2mmrLmLmmmrmrmrCCCCCrmmvmmP)()(2121第41页/共83页第四十二页，共83页。例例10-10 质量为质量为m半径为半径为R的均质圆轮置放于倾角为的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数(xsh)为为f、f，不计滚动摩阻，试

36、分析轮的运动。，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。解：取轮为研究解：取轮为研究(ynji)对象。对象。sCFmgmasinNFmgcos 0RFJsC由 (2)式得cosmgFN(1)（1）、（3）、（4）中含有(hn yu)四个未知数aC 、Fs、 、FN，需补充附加条件。受力分析如图示。运动分析：取直角坐标系 OxyaC y =0，aC x =aC，一般情况下轮作平面运动。根据平面运动微分方程，有(2)(3)(4)第42页/共83页第四十三页，共83页。1、设接触面绝对、设接触面绝对(judu)光滑。光滑。常量。 , 0 ,sin , 0gaFCssin31 ,sin32; sin32mgFg

37、agRsC2、设接触面足够粗糙、设接触面足够粗糙(cco)。轮作纯滚动，。轮作纯滚动，,RaC3、设轮与斜面、设轮与斜面(ximin)间有滑动，轮又滚又滑。间有滑动，轮又滚又滑。FS=f FN，可解得，可解得cos2,)cos(sin,cosRgfgfamgfFCS 因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。注意此时无相对滑动， FsfFN，所以可解得:mRFRasC21, sCFmgmasinRFJsCcosmgFN(1)(3)(4)轮作纯滚动的条件：cossin31maxfmgfFFmgFNStg31f,RvC第43页/共83页第四十四页，共83页。例例10-11 均质圆柱，半径为均质

38、圆柱，半径为r，重量为，重量为Q，置圆柱于墙角。初始，置圆柱于墙角。初始(ch sh)角速度角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。解：选取解：选取(xunq)圆柱为研究对象，受力分析如图示。圆柱为研究对象，受力分析如图示。根据刚体平面(pngmin)运动微分方程)0 , 0(CyCxaaBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212（1）补充方程：BBAANfFNfF , （4）运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。（2）（3）第44页/

39、共83页第四十五页，共83页。将（4）式代入（1）、（2）两式，有0) 1(2QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222fQfFfQfNfQfFfQNAABB将上述(shngsh)结果代入（3）式，有dtffrgfdrgfffdtdt0202112 , 2110解得：) 1 ( 2)1 (02fgfrftBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212（1）（2）（3）补充方程：BBAANfFNfF , （4）第45页/共83页第四十六页，共83页。例例96 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1，转子质量为，转子质量为m2 ，转子

40、的轴通过定子的质心，转子的轴通过定子的质心O1，但由于制造误差，转子的质心，但由于制造误差，转子的质心O2到到O1的距离为的距离为e 。求（。求（1）转子以角速度）转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力；（作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力；（2）若电动机的外壳没有）若电动机的外壳没有(mi yu)固定在水平基础上，求电动机外壳由静止开始运动的水平运动规律。固定在水平基础上，求电动机外壳由静止开始运动的水平运动规律。tv第46页/共83页第四十七页，共83页。2211vmvmP根据根据(gnj)动量定理，有动量定理，有NxxFtemFdttdemsin,)co

41、s(222temgmmFtemFNyNxcos)( ,sin222122可见可见(kjin)，由于偏心引起的动反力是随时间，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。而变化的周期函数。系统系统(xtng)动量动量解解: （1）取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图示。）取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图示。emP2FdtPdyyxxFdtdPFdtdP,gmmFtemFdttdemNyy)(cos,)(sin21222解法一，利用动量定理求解。运动分析：定子质心速度解法一，利用动量定理求解。运动分析：定子质心速度v1=0，转子质心，转子质心O2的速度的速度v2=e

42、，方向垂直于，方向垂直于O1O2。)sin(),cos(22temPtemPyxvt第47页/共83页第四十八页，共83页。根据质心根据质心(zh xn)运动定理，有运动定理，有NxxCCxFtemFxmmmasin)(2221 temgmgmFtemFNyNxcos ,sin222122解法解法(ji f)二，利用质心运动定理求二，利用质心运动定理求解。解。2122121sin)sin(0(0mmtemmmtemmxC2122121cos)cos(00mmtemmmtemmyC系统系统(xtng)质心质心坐标坐标gmmFtemFymmmaNyyCCy)(cos,)(212221 vt第48页

43、/共83页第四十九页，共83页。（2）取整个电动机作为(zuwi)质点系研究，分析受力，受力图如图示。 , 0)(exF解法一：系统水平解法一：系统水平(shupng)方向不受力的作用，水平方向不受力的作用，水平(shupng)方向质心运动守恒。方向质心运动守恒。由水平方向初始由水平方向初始(ch sh)静止（静止（vC=0）；则）；则21CCxx常量Cx2121100mmmmxC21212)sin(0)0(mmtexmxmxC建立O1xy：并令y轴通过初始位置质心，则 temmmxsin212第49页/共83页第五十页，共83页。coscos212212mmemmmemvx（2） 将（2）式

44、积分(jfn)有： 000sincos212212mmemdmmemdxxx（3） 代入（3）式得： txt，00000解法二：本题解法二：本题(bnt)也可用质点系动量在水平方向守恒求解：也可用质点系动量在水平方向守恒求解： 0)cos(21evmvmPx（1） 转子(zhun z)从铅垂向下位置开始逆时针转动，故 temmmxsin212dmmemdxcos212第50页/共83页第五十一页，共83页。例例9-8 如图所示，均质杆OA，长 ,重为 ，绕O 轴在铅垂面内转动。杆与水平线成 角时，其角速度和角加速度分别为 和 ，求该瞬时轴O 的约束反力。l 2P【解】取杆【解】取杆OA为研究为

45、研究(ynji)对象，受力如（对象，受力如（b）图所示。）图所示。2lanclac方向(fngxing)如图所示。则：CllAOCllAOyFOxFPncacaxyo建立(jinl)坐标系oxy，杆OA质心加速度为：sincossincos2llaaacnccxcossincossin2llaaacnccy由质心运动定理计算约束反力PxcxFMaycyFMaoxFllgP)sincos(2PFllgPoy)cossin(2)sincos(2gPlFox)cossin(2gPlPFoy第51页/共83页第五十二页，共83页。例例12-1 均质杆长均质杆长l ,质量质量m, 与水平面铰接与水平面铰

46、接, 杆从与平面成杆从与平面成0角位置静止落下。求开始角位置静止落下。求开始(kish)落下时杆落下时杆AB的角加速度及的角加速度及A点支座反力。点支座反力。2mlFIR , 0nnI maFR （法1）选杆AB为研究(ynji)对象，虚加惯性力系： 解：根据根据(gnj)动静法，有动静法，有) 1 ( 0cos , 0I0 FmgFFAA)2(0sin00 FmgFFAA , nInn)3(02cos0)(0 Ml/ , mgFMIAA3 2ImlJMAA注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。; :由(2)得 mgFnA0sin ; cos23 : 0l

47、g由(3)得。 : 0cos4mgFA代入(1)得第52页/共83页第五十三页，共83页。020cos2331cos2lgmllmg , cos23g , , 000lt 时法法2：用动量矩定理：用动量矩定理(dngl)+质心运动定理质心运动定理(dngl)再求解此题：再求解此题：解：选解：选AB为研究为研究(ynji)对象，对象，2cos0lmgJA由动量矩定理(dngl)，得：由质心运动定理： 0cosmgFmaAC00cos4 , sin mgFmgFAnA所以0 此时nAnCFmgma0sin00cos432glaC这里第53页/共83页第五十四页，共83页。ARCBOvrOr 机车的

48、连杆机车的连杆AB的质量为的质量为m，两端用铰链连接于主动轮上，铰链到轮心的距离均为，两端用铰链连接于主动轮上，铰链到轮心的距离均为r，主动轮的半径均为，主动轮的半径均为R。求当机车以匀速。求当机车以匀速v直线前进时，铰链对连杆的水平作用力的合力，及直线前进时，铰链对连杆的水平作用力的合力，及A、B处的竖向约束力（用动静处的竖向约束力（用动静(dng jing)法求解）。法求解）。第54页/共83页第五十五页，共83页。 例12-2 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用(zuyng)于质心的两个力S、T及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮

49、盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。mRmaFRCI 取轮为研究(ynji)对象，虚加惯性力系： 解：解：由动静(dng jing)法，得：2ImJMCC) 1 (00 FT , FFIRSx)2(00 SP , FFNy)3(00 MRFM , )F(MICSCOP第55页/共83页第五十六页，共83页。)3(00)2(00) 1 (00 MRFM , )F(M SP , FF FT , FFICSCNyIRSx由(1)得TFmRFSRI mRTFS所以得代入(3)mRTFmRFMRFMSSICS2RTRRFTFRRFMSS

50、S222)()(4)RTRRSPfM22)(把(5)代入(4)得：由(2)得 FN= P +S，要保证车轮(ch ln)不滑动，必须FSf FN =f (P+S) (5)可见，可见，f 越大越不易越大越不易(b y)滑动。滑动。OP第56页/共83页第五十七页，共83页。 例12-4 质量为m1和m2的两均质重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统(xtng)在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度（轴O 处摩擦不计，绳与轮无相对滑动）。第57页/共83页第五十八页，共83页。 , 111IamF 由动静(dng ji

51、ng)法： , 0)(FMO列补充(bchng)方程：2211 , raragJrmrmrmrm2222112211取系统(xtng)为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶：解：解：方法1 用达朗贝尔原理求解 , 222IamF JJMOOI 0I22I11I2211OMrFrFgrmgrm02221112211Jramramgrmgrm代入上式第58页/共83页第五十九页，共83页。方法2 用动量矩定理(dngl)求解 )( 222211222111JrmrmJrvmrvmLOgJrmrmrmrm2222112211 所以根据(gnj)动量矩定理：2211222211)(dd grmgrmJrmr

52、mt 取系统(xtng)为研究对象2211)e()(grmgrmFMO第59页/共83页第六十页，共83页。 1212，得由WTT)(2 212121222211222222112JrmrmJvmvmT取系统为研究对象(duxing)，任一瞬时系统的 gr-mrm rgmrgmsgmsgmW)( 22112211221112gJrmrmrmrmdtd2222112211 两边(lingbin)对时间t求导数，得方法3 用动能定理(dn nn dn l)求解)(1某确定值CT grmrmCJrmrm)()(222112222112 dtd)grmr(mJ)rmr(mdtd2211222211 任

53、意假定一个初始值第60页/共83页第六十一页，共83页。 例例12-5 12-5 在图示机构中，沿斜面在图示机构中，沿斜面(ximin)(ximin)向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O O均为均质物体，各重为均为均质物体，各重为G G和和Q Q，半径均为，半径均为R R，绳子不可伸长，其质量不计，绳与轮之间无相对滑动，斜面，绳子不可伸长，其质量不计，绳与轮之间无相对滑动，斜面(ximin)(ximin)倾角倾角j j，如在鼓轮上作用一常力偶矩，如在鼓轮上作用一常力偶矩M M，试求：，试求：(1)(1)鼓轮的角加速度？鼓轮的角加速度？ (2) (2)绳子的拉力？绳子的拉力？

54、(3) (3)轴承轴承O O处的约束力？处的约束力？ (4) (4)圆柱体与斜面圆柱体与斜面(ximin)(ximin)间的摩擦力（不计滚动摩擦）？间的摩擦力（不计滚动摩擦）？第61页/共83页第六十二页，共83页。 解：方法一解：方法一 用动静用动静(dng jing)(dng jing)法求解法求解OOOORgQJM2I21列出动静(dng jing)法方程：) 1 (00)( MMR , FFMIOTO , IAAagGF （2）取轮A为研究(ynji)对象，虚加惯性力FIR和惯性力偶MIC如图示。（1）取轮O为研究对象，虚加惯性力偶)2(0cos0 F , FFTOxx)3(0sin0

55、 FQ , FFTOyyAARgGM2I21 第62页/共83页第六十三页，共83页。列出动静(dng jing)法方程：)4(0sin0)( MRFRFR , GFMIATIAC运动学关系(gun x)：OAOAARRa 将MIA，FIA，MIA及运动学关系(gun x)代入到(1)和(4)式并联立求解得：gRGQRPMO2)3()sin(2)5(0sin0 GFFF , FSIATxRGQQRMG FT)3()sin3(代入(2)、(3)、(5)式，得： , cos)3()sin3(RGQQRMGFOx, sin)3()sin3(QRGQQRMGFOy。 RGQGRMG FS)3()sin

56、()6(0cos0 G , FFNy第63页/共83页第六十四页，共83页。方法二方法二 用动力学普遍定理用动力学普遍定理(dngl)求解求解(1) 用动能定理(dn nn dn l)求鼓轮角加速度。)sin(sin12PRMPRMW)( 1常量CT )( AORRv22222222)3(4 22121221RPQgRgPvgPRgQTOAOgRPQPRMO2)3()sin(2两边(lingbin)对t求导数： OOOPRMRPQg)sin(2)3(412 1212，得由WTT)sin()3(422PRMCRPQgO第64页/共83页第六十五页，共83页。(2) 用动量矩定理求绳子拉力(ll)

57、（定轴转动微分方程）TRMRgQO22RPQQRMPFT)3()sin3( 取轮O为研究对象(duxing)，由动量矩定理得(3) 用质心运动定理求解(qi ji)轴承O处约束力cos0 , TOxxCxFFFMacos)3()sin3(RPQQRMPFOx 取轮O为研究对象，根据质心运动定理：sin0 , yTOyCyFQFFMaQRPQQRMPFOy sin)3()sin3(第65页/共83页第六十六页，共83页。(4) 用刚体平面运动(yndng)微分方程求摩擦力)(OASAAR FJRPQPRMPgRPQPRMRgPRRJFAAS)3()sin()3()sin(22122方法(fngf

58、)三：用动能定理求鼓轮的角加速度取圆柱体A为研究对象，根据刚体(gngt)平面运动微分方程TFOxFOyFSF用达朗贝尔原理求约束力（绳子拉力 、轴承O处反力 和 及摩擦力 ）。第66页/共83页第六十七页，共83页。 12-3. 匀质轮重为G，半径为 r ，在水平(shupng)面上作纯滚动。某瞬时角速度 ，角加速度为，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、动能，对质心C和水平(shupng)面上O点的动量矩，向质心C和水平(shupng)面上O点简化的惯性力系主矢与主矩。解：解：思考题思考题)(rgGvgGpC222121CCJvgGTgGrJLCC22,rgGagGFCICgGrJMCIC

59、2222rgGJC222)2(21)(21rgGrgG2243gGrOgGrgGrrgGrJmvrLCCO23222,rgGagGFCIOgGrrgGrgGrFMJMICOCIO232)(22第67页/共83页第六十八页，共83页。例例12-7均质棒AB得质量为m=4kg，其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平位置，如图（a）所示。其中一绳BD突然(trn)断了，求此瞬时AC绳得张力F。ABCD(a)ICM)(CAamgAaFAaCIRxFIRyF(b)【解解】当BD绳断了以后，棒开始作平面运动，则惯性力系的简化中心在质心C上。因瞬时系统的速度特征量均为零，则点加速度为 。以A为基点，有AaCA

60、AnCAnCAACaaaaaa第68页/共83页第六十九页，共83页。CAAnCAnCAACaaaaaa其中 ,l为棒长。2laCA虚加惯性力系，如图（b）所示，有III2CCRxARymlMJFmaF，02220)(CAJlmllmgFm，则因 ，得 2121mlJClg23020mgmlFFy，又NmgF8 . 941得第69页/共83页第七十页，共83页。【思考题思考题】 1、是非题、是非题（1）不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化(jinhu)得到的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，而取相反方向。 （ ）对 （2）质点(zhdin)有运动就有惯性力。（ ）错（3）质点的惯性