第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计1

1、第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 1. 数字滤波器的分类数字滤波器的分类 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无

2、限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为： 0110( )1( )( )MrrrNkkkNnnb zH za zH zh n z(6.1.1) (6.1.2) 图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222 2数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示： 图6.1.2 低通滤波器的技术要求()()()jjjH eH eeQ 幅频特性表示信号通过该滤波器之后各频率成分衰减情况。 相频特性反映各频率成分通

3、过滤波器在时间上的延时情况。 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，p和s分别定义为：00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e(6.1.3) (6.1.4) 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB (6.1.5) (6.1.6) 通带内允许的最大衰减阻带内允许的最小衰减如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成： 3. 数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤设计步骤是：先

4、设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如： 图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其中：p和s分别称为通带截止频率通带截止频率和阻带截止频率阻带截止频率，p是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用d

5、B数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj(6.2.1) (6.2.2) 如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图6.2.2表示。2210lg()10lg()papsasHjHj (6.2.3) (6.2.4) 图6.2.2 低通滤波器的幅度特性()1/2, 20lg()3acacHjHjdB图中c称为3dB截止频率，因 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此2()( ) ()()()a

6、asjaaHjHs GsHjHj (6.2.5) 图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：221()1()aNcHj(6.2.6) N为滤波器的阶数。 =0时， |Ha(j)|=1； =c时， c时，随加大，幅度迅速下降，下降速度与N有关。( ) 1 / 2 ,2 0 lg ( ) 3acacHjHjd B 将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： 21( )()1()aaNcHs Hssj(6.2.7) 此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：1121(

7、)222( 1)()kjNNkccsje (6.2.8) 图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。 Ha(s)的表示式为10( )()NcaNkkHsss设N=3，极点有6个，它们分别为23012321334135jccjcjccjcsessesesse 23012321334135jccjcjccjcsessesesse 取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)： 32233( )()()()aajjcccHssss10( )()NcaNkkHsss 由于各滤波器的幅

8、频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为101( )()aNkkccHsss(6.2.10) 101( )()aNkkHppp(6.2.11) 10( )()NcaNkkHsss 式中，pk为归一化极点，用下式表示： 将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用式6.2.13表示。 121()22,0,1,1kjNkpekN(6.2.12)/10/10101()101p

9、sapNas令1010101/,101psaspspspak 则N由下式表示： lglgspspkN (6.2.16) /10/10221()101()10psapNcaNsc/ 10/ 10221()101()10psapNcaNsc221()1()aNcHj阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度，N值由p, p,s和s 确定。 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到： 10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 由(6.2.15)式得到

10、： (6.2.17)(6.2.18) 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标p,p,s和s，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。 (2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。 (3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 lglgspspkN 121()22,0,1,1kjNkpekNHa(p)表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 例例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs

11、=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) 按照(6.2.12)式，其极点为3455016523754,jjjjjsesesesese按照(6.2.11)式，归一化传输函数为401( )()akkHppp12 1()2 2, 0 ,1 , , 1kjNkp ekN 101( )()aNkkHppp 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=

12、5，直接查表得到： 极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb式中 b0=1.0000, b1=3.2361, b2=5.2361, b3=5.2361, b4=3.2361 (3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。 按照(6.2.17)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 将c代入(6.2.18)式，得到：将p=s/c代入Ha(p)中得到：554233245432( )10cacccccHs

13、sbsbsbsbsb4.模拟滤波器的频率变换模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的设计为了防止符号混淆，先规定一些符号如下： 低通滤波器传输函数为G(s)，归一化频率为 ，归一化拉氏复变量 p=j 高通、带通或带阻滤波器传输函数为H(s)，归一化频率 ，归一化拉氏复变量q=j11114.模拟滤波器的频率变换模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 和之间的关系为 低通到高通的频率变换公式如果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换：1(6.2.41) 1()()H jG j(6.2.40) 图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性 模拟高通滤波器的设计步骤如下： (1)

14、确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p，阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。 (2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(6.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为： 低通滤波器通带截止频率p=1/p； 低通滤波器阻带截止频率s=1/s； 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。 (3)设计归一化低通滤波器G(p)。 (4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(6.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/c代入H(q)中，得 例例6.2.3 设计高通滤波器，fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大

15、衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。( )( )cpsH sG p(6.2.42) 解 高通技术要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 归一化频率1,0.5pspsccffff低通技术要求：11,23,15psspsdBdB 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 33223( )( )222cpcccscpsH sG psssf 求模拟高通H(s)： 低通与带通滤波器的幅度特性如图6.2.10所示。 112220/,/,/ssssll

16、uuluBBBB 图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性 表6.2.2 与的对应关系 由与的对应关系，得到：2 202 201upu l由表6.2.2知p对应u，代入上式中，有 (6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 pj2202201upul 将(6.2.43)式代入上式，得到：220220pjqpq将q=j代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：22()()( )( )luulluulspsspsH sG p (6.2.44) (6.2.45)上式就

17、是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。下面总结。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：通带上限频率u，通带下限频率l下阻带上限频率s1 ,上阻带下限频率s2 通带中心频率20=lu，通带宽度B=ul与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：121220,sslssluuluBBBB (2) 确定归一化低通技术要求： s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。 (3) 设计归一化低通G(p)。 (4) 由(6.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。 22222010211,sspssss22()()()(

18、)luulluulspsspsHsGp 例例6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。 解 (1) 模拟带通的技术要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 0=5,s1=4.15,s2=6 (2) 模拟归一化低通技术要求：222220103211,1.833,1.874sspsss 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 (3

19、)设计模拟归一化低通滤波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有0.10.11010.181011.833lg2.83lgpsspssppspspkkN 取N=3，查表6.2.1，得232()1( )221( )( )luulspsG ppppH sG p (4) 求模拟带通H(s)： 23652242330042224610000( )2(32)(4)(32)2SH ss B sBBsBB sBsBs 低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。 图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率，s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率，0为阻带中心频率，20

20、=ul，阻带带宽B=ul，B作为归一化参考频率。 相应的归一化边界频率为: u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B; 20=ul 表6.2.3 与的对应关系 根据与的对应关系，可得到： 且ul=1，p=1，(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46)式代入p=j，并去归一化，可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。 220(6.2.46) 2220()ululsBspss (6.2.47) 220( )( )sBpsH sG p(6.2.48) 下面总结：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率l,上通带截止频率u阻带下限频率

21、s1，阻带上限频率s2阻带中心频率20=ul，阻带宽度B=ul它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。 (2) 确定归一化模拟低通技术要求，即： 取s和s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。 (3) 设计归一化模拟低通G(p)。 (4) 按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。12222210201,sspssss220( )( )sBpsH sG p例例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2=

22、21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB, s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解 (1) 模拟带阻滤波器的技术要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21020; 20=lu=4+21000025,B=ul=2200; l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 (2) 归一化低通的技术要求：222101,4.95,4.953,25spssspsdBdB (3)设计归一化低通滤波器G(p):0.10.121010.05621014.95lg1.8,2lg1( )21psspsspps

23、pspkkNNG ppp (4) 带阻滤波器的H(s)为22042240042222240002( )( )2(2)2sBpssssH sG psBBsBs 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t) ( )( )aaHsLT h t 设模拟滤波器H

24、a(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6.3.1) 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：1( )( )iNs ntaiih tAeu t(6.3.2) 式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT(6.3.3)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 11( )1iNis TiAH zez (6.3.4)设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，( )( ) ()aanh

25、th ttnT 对 进行拉氏变换，得到: ( )aht( )( )()()staastansnTHsht edth tnT edtnT e 式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: ( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： 我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下：sTze(6.3.6) ( )aht(

26、)aHj1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjjkTHsHsjkTHzHsjkT将s=j代入上式，得1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjjkTHsHsjkTHzHsjkT1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjjkTHsHsjkTHzHsjkT由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到: 上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设jsjzre

27、 jTj TreeeTreT 那么 =0,r=1 0,r0,r1另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成2(),jM TsTTj TTTeeeeeM为任意整数图6.3.1 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象 例例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解 首先将Ha(s)写成部分分式：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj极点为12(0.32240.772)

28、,(0.32240.7772)sjsj 那么H(z)的极点为1212,s Ts Tzeze按照(6.3.4)式，并经过整理，得到0.3224110.32240.6449220.3224sin(0.7772 )( )1 2cos(0.7772 )TTTeT zH zz eTez6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字数字低通滤波器低通滤波器 正切变换实现频率压缩： 121tan()2TT (6.4.1) 式中T仍是采样间隔，当1从/T经过0变化到/T时，则由经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。这样便有111212 1()21s Ts Te

29、sth jTTTe(6.4.2) 再通过 转换到z平面上，得到：1s Tze112 1122zsTzsTzsT(6.4.3) (6.4.4) 下面分析模拟频率和数字频率之间的关系。 图6.4.1 双线性变换法的映射关系 令s=j,z=e j，并代入(6.4.3)式中，有2 1121tan2jjejTeT (6.4.5) 图6.4.2 双线性变换法的频率变换关系图6.4.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 设 112012201211120121212( )2( )( ),( )1kkakkazszkkkkAAsA sA sHsBB sB sB sH zHsCTaa za za zH z

30、b zb zb z 表6.4.1 系数关系表 例例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。 解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为1( ),aHssRC 利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为 11( )1TH zez 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为 111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTTH1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。图6.4.5 例6.4.1图H1(z)和H2(z)的网络结构 (a)H1

31、(z); (b)H2(z) 总结总结利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤数字低通滤波器的步骤： (1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。 (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。边界频率的转换关系：采用脉冲相应不变法： 21t a n ()2TT采用双线性变换法，21t a n ()2TT(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 (4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。 小 结例例6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于

32、0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。解： (1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。 0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 取

33、N=6。为求3dB截止频率c,将p和p代入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。 根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化传输函数为234561( )13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp 为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s), 62652433425665432( )3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHssss

34、sssssssss 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：1112121120.28710.44662.14281.1454( )10.12970.69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH zzzzzzzz图6.4.7 例6.4.2图用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性 (2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器。 数字低通技术指标仍为 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模拟

35、低通的技术指标为21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB 21121t a n2jjejTeT 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568spspssppspkNkN 取N=6。为求c,将s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。 根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的H

36、a(s)， 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss111 61212121120.0007378(1)( )( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz图6.4.8 例6.4.2图用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计高通数字滤波器。具体设计步骤如下： (1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。 (2)将所

37、需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为21tan2T (3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节)。 (4)设计模拟低通滤波器。 (5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。 (6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。例例6.5.1 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad，阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。 解 (1)数字高通的技术指标为 p=0.8rad,p=3dB; s=0.

38、44rad,s=15dB (2) 模拟高通的技术指标计算如下： 令T=1，则有12tan6.155/ ,3212tan1.655/ ,32pppsssrad sdBrad sdB (3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：10.163/ ,36.15510.604/ ,151.655ppssrad sdBrad sdB 将p和s对3dB截止频率c归一化，这里c=p, (4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：1,3.71spsp0.10.1lglg1010.18031013.711.31,2psspspspssppkNkNN 查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函

39、数G(p)为22221( )21( )2cccG pppG sss 为去归一化，将p=s/c代入上式得到： (5) 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)： 22221( )( )21caccsHsGsss (6)用双线性变换法将模拟高通H (s)转换成数字高通H(z)：11121( )( )azszH zHs实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即1111211 21 21212( )( )0.106(1)0.0653(1)( )1.6241.9470.5661 1.1990.349zszH zG szzH zzzzz例例6.5.2 设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3rad到0.4rad，通带内最大衰减为3dB，0.2rad以下和0.5rad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。 解 (1)数字带通滤波器技术指标为 通带上截止频率 u=0.4rad 通带下截止频率 l=0.3rad 阻带上截止频率 s2=0.5rad 阻带下截止频率 s1=0.2rad 通带内最大衰减p=3dB，阻带内最小衰减s=18dB。 (2) 模拟带通滤波器技术指标如下： 设T=1，则有2211012tan1.453/212tan1.019/212tan2/212tan0.650/21.217/0.