电磁场与电磁波基础(第1章)

1、电磁场与电磁波基础电磁场与电磁波基础（第（第2版）版）电子工业出版社电子工业出版社教材：教材：电磁场与电磁波基础电磁场与电磁波基础（第（第2版）版）刘岚刘岚 黄秋元黄秋元 程莉程莉 胡耀祖胡耀祖 编著编著 电子工业出版社电子工业出版社 20102010参考书：参考书：1.1.电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础学习指导与习题解答学习指导与习题解答 刘岚、黄秋元、胡耀祖、程莉编刘岚、黄秋元、胡耀祖、程莉编. . 武汉理工大学出版社，武汉理工大学出版社，200920092.2.电磁场与电磁波电磁场与电磁波( (第第4 4版）版）谢处方，饶克谨编谢处方，饶克谨编. 高等教育出版社，高等教育出

2、版社，20062006第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论重点重点：1. 1. 标量、矢量，标量场、矢量场标量、矢量，标量场、矢量场3. 3. 通量与散度通量与散度 2. 2. 矢量的运算，坐标系矢量的运算，坐标系4. 4. 环量与旋度环量与旋度5. 5. 方向导数与梯度方向导数与梯度 7. 7. 斯托克斯定理斯托克斯定理 6. 6. 高斯散度定理高斯散度定理 8. 8. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 序：场与矢量序：场与矢量 我们周围的物理世界中存在着各种各样的场，例我们周围的物理世界中存在着各种各样的场，例如自由落体现象，说明存在一个重力场；指南针在地如自由落体现象，说明存在一个重力场

3、；指南针在地球磁场中的偏转，说明存在一个磁场；人们对冷暖的球磁场中的偏转，说明存在一个磁场；人们对冷暖的感觉说明空间分布着一个温度场等等。感觉说明空间分布着一个温度场等等。 场是一种特殊的物质，它是具有能量的，场中的场是一种特殊的物质，它是具有能量的，场中的每一点的某一种物理特性，都可以用一个确定的物理每一点的某一种物理特性，都可以用一个确定的物理量来描述。量来描述。 当对这些物理量的描述与空间坐标或方向性有关当对这些物理量的描述与空间坐标或方向性有关时，通常需要使用矢量来描述它们，这些矢量在空间时，通常需要使用矢量来描述它们，这些矢量在空间的分布就构成了所谓的矢量场。分析矢量场在空间的的分布

4、就构成了所谓的矢量场。分析矢量场在空间的分布和变化情况，需要应用矢量的分析方法和场论的分布和变化情况，需要应用矢量的分析方法和场论的基本概念。基本概念。 1.1 1.1 矢量的表示和运算矢量的表示和运算 1.1.标量标量 只有大小，不包含方向的物理量叫做标量只有大小，不包含方向的物理量叫做标量(Scalar) (Scalar) 。如：温度、电位、能量、长度、时间等。如：温度、电位、能量、长度、时间等。 既有大小，同时又包含方向的物理量称为矢量既有大小，同时又包含方向的物理量称为矢量(Vector) (Vector) 。如：力、速度、加速度等。如：力、速度、加速度等。 2. 矢量矢量根据国家有关

5、符号使用标准，印刷时使用黑斜根据国家有关符号使用标准，印刷时使用黑斜体字母来表示矢量。书写时，矢量表示为体字母来表示矢量。书写时，矢量表示为 。 A矢量的大小矢量的大小称为矢量的模称为矢量的模单位矢量单位矢量矢量的表示矢量的表示3.矢量的表示矢量的表示 在三维空间中在三维空间中在一维坐标系中矢量表示为在一维坐标系中矢量表示为aAA e矢量的模矢量的模表示矢量的方向表示矢量的方向zzyyxzyxAAAeeeAAAAx222zyxAAAAzyeeexzzyyxxAeAeAeAcoscoscosAAAAAAzyx)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示coscosc

6、oszyxAeeeezAxAAyAzxyO4.矢量的代数运算矢量的代数运算 l矢量的加法和减法矢量的加法和减法 （平行四边形法则）（平行四边形法则）A BA BABzzzyyyxxBABABAeeeBAx5.标量与矢量相乘标量与矢量相乘 标量标量 乘以矢量乘以矢量 A ，其积仍为矢量，并满足以下关系，其积仍为矢量，并满足以下关系 xyzxyzAA eA eA e ,0() ,0aaAeAAe 设设6.矢量的标积矢量的标积 （Scalar Product）则则zzyyxAAAeeeAxzzyyxBBBBeeexcosBABAzzyyxxBABABABA为矢量为矢量 与矢量与矢量 之间的夹角之间的

7、夹角 AB AB物理意义物理意义如果作用在某一物体上的力为如果作用在某一物体上的力为 ，当，当 A A 使该物体发生位移时，位移矢量为使该物体发生位移时，位移矢量为 ，则，则 表示表示力力 使物体位移所作的功。使物体位移所作的功。 B A B A 设设两矢量进行矢积后的结果仍为矢量两矢量进行矢积后的结果仍为矢量7.矢量的矢积矢量的矢积 （Vector Product）则则zzyyxAAAeeeAxzzyyxBBBBeeexsinBABAne ABBAne为矢量为矢量 与矢量与矢量 之间的夹角之间的夹角 AB()()()yzzyxzxxzyxyyxzABA BA BeA BA BeA BA Be

8、上式可上式可记为记为xyzxyzxyzeeeABAAABBB注注物理意义物理意义矢积的几何意义矢积的几何意义 以两矢量为邻边所围成的平以两矢量为邻边所围成的平行四边形的面积为矢积的大小，行四边形的面积为矢积的大小，以该平行四边形的法向为矢积的以该平行四边形的法向为矢积的方向。方向。 当当 表示力臂矢量时，则矢积表示作用于物体的力矩。表示力臂矢量时，则矢积表示作用于物体的力矩。 表示作用在一物体上的力，而表示作用在一物体上的力，而 BA 常借助于画出其一系列等值间隔的等值面来直常借助于画出其一系列等值间隔的等值面来直观地表现标量场的空间分布情况。观地表现标量场的空间分布情况。 常借助于画出其场线

9、（力线）的方法来形象和常借助于画出其场线（力线）的方法来形象和直观地描述矢量场在空间的分布情形或沿空间坐标直观地描述矢量场在空间的分布情形或沿空间坐标的变化情况。的变化情况。 8.标量场与矢量场标量场与矢量场 u=2u=2u=3u=3u=4u=4等值面等值面场线（力线）场线（力线）场既然是某种物理量的空间分布，就应服从因果律。场既然是某种物理量的空间分布，就应服从因果律。其因，称之为场源，场都是由场源产生的。其因，称之为场源，场都是由场源产生的。其果，就是空间某种分布形式的场。其果，就是空间某种分布形式的场。 分析讨论一个场的时候，要注意场、场源和场分析讨论一个场的时候，要注意场、场源和场的环

10、境这三者之间的关联性。如果能用一个数学关的环境这三者之间的关联性。如果能用一个数学关系来描述电磁场，那么这样的数学关系中一定包含系来描述电磁场，那么这样的数学关系中一定包含了体现场、场源和场的环境的相关因素。了体现场、场源和场的环境的相关因素。 在直角坐标系中，空间任意一点在直角坐标系中，空间任意一点M M的位置可以用三个相互独立的变量的位置可以用三个相互独立的变量, , ,表示表示, ,记为记为(x,y,z).(x,y,z).它们的变化范围分别是：它们的变化范围分别是： 。 1.2 1.2 正交坐标系正交坐标系 (Quadrature Coordinate system(Quadrature

11、 Coordinate system） 考虑到被研究的物理量的空间分布及其变化规律不同，考虑到被研究的物理量的空间分布及其变化规律不同，或物体的几何形状不同等等，可采用直角坐标系、圆柱坐标或物体的几何形状不同等等，可采用直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系，这是最常用的三种正交坐标系。系和球坐标系，这是最常用的三种正交坐标系。1.1.直角坐标系直角坐标系( (笛卡儿坐标系笛卡儿坐标系) )XZYM(x,y,z)0 任意一点的单位矢量亦即三个坐标轴的单位矢量，因任意一点的单位矢量亦即三个坐标轴的单位矢量，因为它们处于正交坐标系中，因此，它们相互垂直并遵循右为它们处于正交坐标系中，因此，它们相互垂直并

12、遵循右手螺旋法则，即手螺旋法则，即 xyzyzxzxyeeeeeeeee0 xyyzzxeeeeee1xxyyzzeeeeee 在直角坐标系中，空间任一点在直角坐标系中，空间任一点 M M 的位置可用一矢量来的位置可用一矢量来表示，即表示，即 zzyyxxzyxAeAeAezeyexeAOMXZYM(x,y,z)0A在直角坐标系下，任意矢量的线元可表示为在直角坐标系下，任意矢量的线元可表示为 在直角坐标系下，任意曲面上的面元可表示为在直角坐标系下，任意曲面上的面元可表示为 在直角坐标系下，任意体积元可表示为在直角坐标系下，任意体积元可表示为 xyzdldxedyedzexxyyzzdSdydz

13、edSdxdzedSdxdyedVdxdydz点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的线元、面元、体元直角坐标系的线元、面元、体元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd 在圆柱坐标系中，空在圆柱坐标系中，空间任一点可用间任一点可用r, r, ,z,z三个坐标变量来表示，三个坐标变量来表示，点的位置在圆柱坐标系下点的位置在圆柱坐标系下可写为（可写为（r, r, ,z,z）。）。三个变量三个变量r, r, ,z ,z的变的变化范围分别是：化

14、范围分别是： 0 0 r r 0 0 2 2 2.2.圆柱坐标系圆柱坐标系r圆柱坐标系的三个变量的单位矢量分别是圆柱坐标系的三个变量的单位矢量分别是 rzeee，它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即 rzzrzreeeeeeeee空间任一点的位置可用单位矢量表示为空间任一点的位置可用单位矢量表示为rzeeOMArz在圆柱坐标系下，任意矢量的线元可表示为在圆柱坐标系下，任意矢量的线元可表示为 在圆柱坐标系下，任意曲面上的面元可表示为在圆柱坐标系下，任意曲面上的面元可表示为 在圆柱坐标系下，任意体积元可表示为在圆柱坐标系下，任意体积元可表示为 d

15、zerdedreldzrrzdSdSdSdSrzdVdl dl dlrdrd dz圆柱坐标系圆柱坐标系0（半平面半平面）0（圆柱面圆柱面）0zz （平面平面）),(000zP圆柱坐标系中的线元、面元和体元圆柱坐标系中的线元、面元和体元3.3.球坐标系球坐标系 l球坐标系中，三个坐标球坐标系中，三个坐标变量分别为：变量分别为：R,R,， 这三个变量的变化范围这三个变量的变化范围是：是： 0R0R 00 0 0 2 2 xO z PR ( R, , )球坐标系的三个变量的单位矢量分别是球坐标系的三个变量的单位矢量分别是 Reee，它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即它们始终保持相互正交，且

16、符合右手螺旋法则，即 RRReeeeeeeee空间任一点的位置可用单位矢量表示为空间任一点的位置可用单位矢量表示为ReAR在球坐标系下，任意矢量的线元可表示为在球坐标系下，任意矢量的线元可表示为 dReRdedReldRsin球坐标系中的线元、面元和体元球坐标系中的线元、面元和体元球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000rP在球坐标系下，六个坐标点组成的六面体的面积元可表示为在球坐标系下，六个坐标点组成的六面体的面积元可表示为 在球坐标系下，任意体积元可表示为在球坐标系下，任意体积元可表示为 2sinRdvdl dl dlRdRd d 2sinsin

17、RRRRRdSdl dl eRd d edSdl dl eRdRd edSdl dl eRdRd e 球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000rP在球坐标系中，单位矢量均不是常量在球坐标系中，单位矢量均不是常量 在圆柱坐标系中，单位矢量在圆柱坐标系中，单位矢量 、 不是常量不是常量 ree1.3 1.3 矢量函数的通量与散度矢量函数的通量与散度(Flux and Divergence of Vector function(Flux and Divergence of Vector funct

18、ion）1.1.矢量的通量矢量的通量 为了研究矢量场的空间变化情况，我们需要引入矢量场为了研究矢量场的空间变化情况，我们需要引入矢量场的散度的概念。矢量函数的散度是一个标量函数，它表示矢的散度的概念。矢量函数的散度是一个标量函数，它表示矢量场中任意一点处，通量对体积的变化率，即描述了通量源量场中任意一点处，通量对体积的变化率，即描述了通量源的强度。的强度。 在研究电场、磁场时，可用一组曲线来形象地表示矢量在研究电场、磁场时，可用一组曲线来形象地表示矢量场的空间分布，如电场的电力线、磁场中的磁力线等，它们场的空间分布，如电场的电力线、磁场中的磁力线等，它们都是带有方向的线，线上每一点的切线方向代

19、表了这一点处都是带有方向的线，线上每一点的切线方向代表了这一点处矢量场的方向，这样的一些有方向的曲线叫矢量线。矢量场矢量场的方向，这样的一些有方向的曲线叫矢量线。矢量场中每一点都有唯一的一条矢量线通过，线的疏密表示该点矢中每一点都有唯一的一条矢量线通过，线的疏密表示该点矢量场的大小。量场的大小。 矢量线矢量线 借用矢量线的概念，通量可借用矢量线的概念，通量可以认为是矢量穿过曲面的矢量以认为是矢量穿过曲面的矢量线总数，矢量线也叫通量线，穿线总数，矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负。矢量场出的为正，穿入的为负。矢量场也可称为通量面密度矢量。也可称为通量面密度矢量。 通量的物理意义通量的物理意

20、义矢量矢量 E E 沿有向曲面沿有向曲面S S 的面积分的面积分SEdS 0 0 ( (有正源有正源) ) 0 0 ( (有负源有负源) ) = = 0 0 ( (无源无源) )若若S 为闭合曲面为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质面中源的性质: :sdsE 如果包围点如果包围点P P的闭合面的闭合面 S S所围区域所围区域 V V以任意方式缩小为点以任意方式缩小为点P P时时, , 通量与体积之比的极限存在，即通量与体积之比的极限存在，即zAyAxAzyxAAdiv2 2、散度、散度计算公式计算公式 如果此极限存在，则称此极限为矢量场在空间点处

21、的如果此极限存在，则称此极限为矢量场在空间点处的散度（散度（divergencedivergence），记作：），记作：div div 称为称为哈密顿算子，它是一个矢性微分算子，即哈密顿算子，它是一个矢性微分算子，即式中式中zeyexezyxsvvdSAA10limdiv 在矢量场中，若在矢量场中，若 A= A= 0 0，称之为有源场，称之为有源场， 称为称为( (通量通量) )源密度；若矢量场中处处源密度；若矢量场中处处 A=0 A=0，称之为无源场。，称之为无源场。 散度代表矢量场的通量源的分布特性散度代表矢量场的通量源的分布特性 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数矢量的散度是一个标

22、量，是空间坐标点的函数散度的物理意义散度的物理意义（无源）0A（正源）0 A（负源）0 AVnnVSdVVdnAASA10lim 该公式表明了区域该公式表明了区域V V 中场中场A A与边界与边界S S上的场上的场A A之间的关系。之间的关系。VSdVdASA 矢量函数的面积分与体积分的互换。矢量函数的面积分与体积分的互换。 由于由于 是通量源密度，是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对的通量，对 体积分后，体积分后，穿出闭合面穿出闭合面S S的通量的通量AA3 3、高斯公式、高斯公式( (散度定理散度定理) )高斯公式高斯公式svvdSAA10limdi

23、v1.4 1.4 矢量函数的环量与旋度矢量函数的环量与旋度 ( (Circulation and and rotation of Vector function of Vector function）1.1.矢量的环量矢量的环量 通量和散度是针对具有通量源的矢量场，并用来描述场通量和散度是针对具有通量源的矢量场，并用来描述场中的通量源与场点的关系的。而能够产生矢量场的源除了通中的通量源与场点的关系的。而能够产生矢量场的源除了通量源外，还有一类源，叫旋涡源。要讨论旋涡源所形成的场量源外，还有一类源，叫旋涡源。要讨论旋涡源所形成的场，就需要讨论矢量场的旋度，就需要讨论矢量场的旋度(rotation

24、)(rotation)，而要讨论矢量函数，而要讨论矢量函数的旋度，必须先引入环量的概念。的旋度，必须先引入环量的概念。 矢量矢量 A A 沿空间有向闭合曲线沿空间有向闭合曲线 C C 的线积分的线积分cldAC称为矢量称为矢量A A的环量的环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。该环量表示绕线旋转趋势的大小。环量的计算环量的计算水流沿平行于水管轴线方向流动水流沿平行于水管轴线方向流动C=0C=0，无涡旋运动，无涡旋运动流体做涡旋运动流体做涡旋运动C C 0 0，有产生涡旋的源，有产生涡旋的源例：流速场例：流速场流速场流速场 环量是一个代数量（标量），其大小和正负与矢量场的分环量是一个代数量（标量），

25、其大小和正负与矢量场的分布有关，而且与所取积分环绕方向有关。布有关，而且与所取积分环绕方向有关。过点过点P P作一微小曲面作一微小曲面 S S, ,它的边界曲线记为它的边界曲线记为 L L, ,面的法线方向面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋法则。当与曲线绕向成右手螺旋法则。当 S S点点P P时时, ,存在极限环量存在极限环量密度密度LldSdSdCS1lim0取不同的路径，其环量密度不同。取不同的路径，其环量密度不同。旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。方向为最大环量密度的方向。AArot ndSdCeA rot 2.2

26、.矢量的旋度矢量的旋度 (1) (1) 环量密度环量密度 (2) (2) 旋度旋度 它与环量密度的关系为它与环量密度的关系为在直角坐标系下在直角坐标系下zyxzyxzyxAAAeeeArot()()()yyzxzxxyzAAAAAAAAeeeyzzxxy 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若在矢量场中，若A=J 0,称之为旋度场称之为旋度场( (或涡旋场或涡旋场) )， J 称为旋度源称为旋度源( (或涡旋源或涡旋源) )； 点点P的旋度的方向是该点最大环

27、量密度的方向。的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 若矢量场处处若矢量场处处A=0，称之为无旋场。称之为无旋场。 (3) (3)旋度的物理意义旋度的物理意义旋度的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于旋度的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于0 0()0A A A 是环量密度，即围绕单位面积环是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此路上的环量。因此iiddlilSAA)(SAAdldSl)( 在电磁场理论中，在电磁场理论中，GaussGauss定理和定理和 StockesStockes定理是两个非常定理是两个非常重要的定理。重要的定理。 矢量函数的线积分与面积分的互换矢量函数的线积

28、分与面积分的互换 该公式表明了区域该公式表明了区域S S中场中场A与边界与边界L L上的场上的场A之间的关系之间的关系 (4) (4)斯托克斯斯托克斯(Stockes)(Stockes)定理定理 Stocke Stockes s定理定理zyxzyxexyezxeyzxyzzxyyzxzyxeeeAArot)()()()()()( 例题例题 求矢量场 在点M(1,0,1)处的旋度以及沿 方向的环量面密度。 zyxexyzezxyeyzxA)()()(zyxeeen362解：解： 矢量场A的旋度在点M(1，0，1)处的旋度 zyxMeeeA2n方向的单位矢量 zyxzyxeeeeeen737672

29、)362(3621222在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 7177327672nAM1.5 1.5 标量函数的方向导数与梯度标量函数的方向导数与梯度( (Directivity derivative and and gradient of Scalar functionof Scalar function） 在一定条件下，矢量场是可以用标量（标量函数）来在一定条件下，矢量场是可以用标量（标量函数）来描述的，这样就可以简化运算。由矢量和标量的定义可知描述的，这样就可以简化运算。由矢量和标量的定义可知，二者之间的差别就是，矢量有大小有方向，而标量有大，二者之间的差别就是，矢量有大小有方向

30、，而标量有大小却无方向。那么，如果要用标量来描述矢量场，势必就小却无方向。那么，如果要用标量来描述矢量场，势必就需要给标量添加上方向因素后，这种描述才成立。但如何需要给标量添加上方向因素后，这种描述才成立。但如何给标量添加上方向因素呢？在研究标量场时，我们常常关给标量添加上方向因素呢？在研究标量场时，我们常常关心的是标量函数值随空间位置的变化规律，即标量函数最心的是标量函数值随空间位置的变化规律，即标量函数最大变化率及其方向。这个标量函数在空间中的最大变化率大变化率及其方向。这个标量函数在空间中的最大变化率和最大变化率的方向正是我们所需要的方向因素。和最大变化率的方向正是我们所需要的方向因素。

31、 1.1.标量函数的方向导数标量函数的方向导数（1 1）标量场）标量场-等值线等值线( (面面) )constzyxu),(其方程为其方程为等值线等值线标量场中每一点都有一个标量场中每一点都有一个等值面通过，且只有一个。等值面通过，且只有一个。也就是说，等值面充满整也就是说，等值面充满整个标量场所在的空间，且个标量场所在的空间，且互不相交。互不相交。 等值面的性质等值面的性质u=2u=2u=3u=3u=4u=4等值面等值面（2 2）方向导数）方向导数 方向导数表示函数方向导数表示函数(x,y,z)(x,y,z)在一给定点处沿某一方向在一给定点处沿某一方向的标量函数的变化率。的标量函数的变化率。

32、 式中式中coscoscoslcoscoscosyxzlll，222llxyxyze e ze称为称为方向余弦方向余弦M（x,y,z）M（x+ x,y + y,z + z） 设一个标量函数设一个标量函数 (x,y,z), ,若函数若函数 在点在点P可微可微, ,则则 在在点点P沿任意方向沿任意方向 的方向导数为的方向导数为: : l),cos(|lleGGeGl则有则有: :式中式中 分别是与分别是与x,y,z轴的夹角轴的夹角， 设设zueyuexueGzyxcoscoscoslxyzeeeecoscoscoslxyz当当 , ,即即 与与 方向一致时方向一致时, , 为最大为最大. .0),

33、(leGleGlxyzGeeegradxyz 哈密顿算子哈密顿算子zeyexexxx式中式中 则可定义梯度则可定义梯度 (gradient)标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量, ,是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数; ; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向, ,即与等值线（面）即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向相垂直的方向，它指向函数的增加方向. . 梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最的最大变化率，即该点最 大方向导数大方向导数; ; 梯度的物理意义梯度的物理意义例例1 1 三维高度场的梯度三维

34、高度场的梯度例例2 2 电位场的梯度电位场的梯度高度场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变化率；数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。指向地势升高的方向。电位场的梯度电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数；数值等于该点的最大方向导数； 梯度的重要性质：梯度的重要性质：梯度的旋度恒等于梯度的旋度恒等于0 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeye

35、xe22)22()1 , 1 , 1( 例题：例题：设一标量函数设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量描述了空间标量场。试求：场。试求： (1) 该函数该函数 在点在点 P(1,1,1) 处的梯度。处的梯度。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并将点方向的方向导数，并将点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度处的方向导数值与该点的梯度值作比较。值作比较。ooo60cos45cos60coszyxleeee (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向方向的方向导数为导数为对于给定的对于给定的P P 点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212 yx而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函